专题升级训练30 解答题专项训练(解析几何)1．设有半径为3千米的圆形村落，A，B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇．设A，B两人速度一定，其速度比为3∶1，问两人在何处相遇？2．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线l，使得l被圆C截得的弦为AB，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．3．设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．4．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．5．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且.(1)求椭圆方程；(2)求m的取值范围．6．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|AB|＝，求椭圆C的方程．7．已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，且|F1F2|＝2，∠F1PF2＝，△F1PF2的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)点M的坐标为，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，对于任意的k∈R，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．8．已知抛物线C1：x2＝y，圆C2：x2＋(y－4)2＝1的圆心为点M.(1)求点M到抛物线C1的准线的距离；(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．-5-\n参考答案1．解：建立如图所示平面直角坐标系，由题意，可设A，B两人速度分别为3v千米/时，v千米/时，再设出发x0小时后，A在点P改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇．则P，Q两点坐标为(3vx0,0)，(0，vx0＋vy0)．由|OP|2＋|OQ|2＝|PQ|2知，(3vx0)2＋(vx0＋vy0)2＝(3vy0)2，即(x0＋y0)(5x0－4y0)＝0.∵x0＋y0＞0，∴5x0＝4y0.①将①代入kPQ＝－，得kPQ＝－.又已知PQ与圆相切，直线PQ在y轴上的截距就是两人相遇的位置．设直线y＝－x＋b(b＞0)与圆x2＋y2＝9相切，则有＝3，解得b＝.答：A，B相遇点在离村中心正北千米处．2．解：假设l存在，设其方程为y＝x＋m，代入x2＋y2－2x＋4y－4＝0，得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0.再设A(x1，y1)，B(x2，y2)，于是x1＋x2＝－(m＋1)，x1x2＝.以AB为直径的圆经过原点，即直线OA与OB互相垂直，也就是kOA·kOB＝－1，所以·＝－1，即2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0，将x1＋x2＝－(m＋1)，x1x2＝，代入整理得m2＋3m－4＝0，解得m＝－4或m＝1.故所求的直线存在，且有两条，其方程分别为x－y＋1＝0，x－y－4＝0.3．证明：(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k12＋2＝0，这与k1为实数的事实相矛盾．从而k1≠k2，即l1与l2相交．(2)方法一：由方程组解得交点P的坐标为，而2x2＋y2＝2＋＝＝＝1.此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．-5-\n方法二：交点P的坐标(x，y)满足故知x≠0.从而代入k1k2＋2＝0，得·＋2＝0.整理后，得2x2＋y2＝1.所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上．4．解：(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4，知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)．设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y32＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.5．解：(1)由题意，知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意，知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝，所以椭圆方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，即消去y则(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)＞0，由根与系数的关系，知又＝，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，∴－x1＝2x2.∴∴＝.整理，得(9m2－4)k2＝8－2m2，又9m2－4＝0时不成立，所以k2＝＞0，得＜m2＜4，此时Δ＞0，所以m的取值范围为∪.6．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，y1＜0，y2＞0.(1)直线l的方程为y＝(x－c)，其中c＝.联立得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0，解得y1＝，y2＝.因为，所以－y1＝2y2.即＝2·，得离心率e＝＝.-5-\n(2)因为|AB|＝|y2－y1|，所以·＝，由＝，得b＝a.所以a＝，得a＝3，b＝.椭圆C的方程为＋＝1.7．解：(1)设|PF1|＝m，|PF2|＝n.在△PF1F2中，由余弦定理得22＝m2＋n2－2mncos，化简得，m2＋n2－mn＝4.由＝，得mnsin＝.化简得mn＝.于是(m＋n)2＝m2＋n2－mn＋3mn＝8.∴m＋n＝2，由此可得，a＝.又∵半焦距c＝1，∴b2＝a2－c2＝1.因此，椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由已知得F2(1,0)，直线l的方程为y＝k(x－1)，由消去y得，(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.∵＝＝＋y1y2＝＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2＋1)x1x2－(x1＋x2)＋＋k2＝(k2＋1)－＋＋k2＝＋＝－.由此可知＝－为定值．8．解：(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：y＝－，所以圆心M(0,4)到准线的距离是.(2)设P(x0，x02)，A(x1，x12)，B(x2，x22)，由题意得x0≠0，x0≠±1，x1≠x2.设过点P的圆C2的切线方程为y－x02＝k(x－x0)，-5-\n即y＝kx－kx0＋x02.①则＝1，即(x02－1)k2＋2x0(4－x02)k＋(x02－4)2－1＝0.设PA，PB的斜率为k1，k2(k1≠k2)，则k1，k2是上述方程的两根，所以k1＋k2＝，k1k2＝.将①代入y＝x2，得x2－kx＋kx0－x02＝0，由于x0是此方程的根，故x1＝k1－x0，x2＝k2－x0，所以kAB＝＝x1＋x2＝k1＋k2－2x0＝－2x0，.由MP⊥AB，得kAB·kMP＝·＝－1，解得x02＝，即点P的坐标为，所以直线l的方程为y＝±x＋4.-5-
