专题升级训练31 解答题专项训练(概率与统计)1．(2012·北京西城一模，理16)乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．(1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；(3)求比赛局数的分布列．2．(2012·河北保定一模，理18)第七届全国农民运动会将于2012年在河南省南阳市举办，某代表队为了在比赛中取得好成绩，已组织了多次比赛演练．某次演练中，该队共派出甲、乙、丙、丁、戊五位选手进行100米短跑比赛，这五位选手需通过抽签方式决定所占的跑道．(1)求甲、乙两位选手恰好分别占据1,2跑道的概率；(2)若甲、乙两位选手之间间隔的人数记为X，求X的分布列和数学期望．3．(2012·河北石家庄二模，理18)我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准a，用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：t)，制作了频率分布直方图．(1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(2)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准a，则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；(3)若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽样)，其中月均用水量不超过(2)中最低标准的人数为X，求X的分布列和均值．4．(2012·山东烟台一模，理18)某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2,4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款，其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数4020a10b(1)求上表中的a，b值；(2)若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P(A)；(3)求η的分布列及数学期望E(η)．5．(2012·北京石景山统测，理16)甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮．(1)记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)；(2)求乙至多投中2次的概率；(3)求乙恰好比甲多投中2次的概率．6．(2012·陕西西安二模，理18)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：-6-\n日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货．若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．7．(2012·江西南昌二模，理17)某地农民种植A种蔬菜，每亩每年生产成本为7000元，A种蔬菜每亩产量及价格受天气、市场双重影响．预计明年雨水正常的概率为，雨水偏少的概率为.若雨水正常，A种蔬菜每亩产量为2000公斤，单价为6元/公斤的概率为，单价为3元/公斤的概率为；若雨水偏少，A种蔬菜每亩产量为1500公斤，单价为6元/公斤的概率为，单价为3元/公斤的概率为.(1)计算明年农民种植A种蔬菜不亏本的概率；(2)在政府引导下，计划明年采取“公司加农户，订单农业”的生产模式，某公司为不增加农民生产成本，给农民投资建立大棚，建立大棚后，产量不受天气影响，预计每亩产量为2500公斤，农民生产的A种蔬菜全部由公司收购，为保证农民每亩预期收入增加1000元，收购价格至少为多少？8．(2012·河南郑州二测，理18)为加强中学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，郑州市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛．某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：分组频数频率一60.5～70.5a0.26二70.5～80.515c三80.5～90.5180.36四90.5～100.5bd合计50e(1)若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000,001,002，…，199，试写出第二组第一位学生的编号；(2)求出a，b，c，d，e的值(直接写出结果)，并作出频率分布直方图；(3)若成绩在95.5分以上的学生为一等奖，现在，从所有一等奖同学中随机抽取5名同学代表学校参加决赛，某班共有3名同学荣获一等奖，若该班同学参加决赛人数记为X，求X的分布列和数学期望．-6-\n参考答案1．解：(1)由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是.记“甲以4比1获胜”为事件A，则P(A)＝()3·()4－3·＝.(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.因为乙以4比2获胜的概率为P1＝··＝，乙以4比3获胜的概率为P2＝··＝，所以P(B)＝P1＋P2＝.(3)设比赛的局数为X，则X的可能取值为4,5,6,7.P(X＝4)＝()4＝，P(X＝5)＝·＝，P(X＝6)＝·＝，P(X＝7)＝·＝.比赛局数的分布列为：X4567P2．解：(1)设“甲、乙两位选手恰好分别占据1、2跑道”为事件A，则P(A)＝＝.所以，甲、乙两位选手恰好分别占据1、2跑道的概率为.(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝.随机变量X的分布列为：X0123P因为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1，-6-\n所以随机变量X的数学期望为1.3．解：(1)(2)月均用水量的最低标准应定为2.5吨．样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨．(3)依题意可知，居民月均用水量不超过(2)中最低标准的概率是，则X～B，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝·＝，P(X＝3)＝＝.X的分布列为：X0123PE(X)＝3×＝.4．解：(1)由＝0.2，得a＝20.∵40＋20＋a＋10＋b＝100，∴b＝10.(2)记分期付款的期数为ξ，依题意得：P(ξ＝1)＝＝0.4，P(ξ＝2)＝＝0.2，P(ξ＝3)＝0.2，P(ξ＝4)＝＝0.1，P(ξ＝5)＝＝0.1.则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率：P(A)＝0.83＋0.2×(1－0.2)2＝0.896.(3)∵η的可能取值为：1,1.5,2(单位：万元)，P(η＝1)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝1.5)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.4，P(η＝2)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，∴η的分布列为η11.52P0.40.40.2∴η的数学期望E(η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4(万元)．5．解：(1)ξ的可能取值为：0,1,2,3.-6-\nP(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝·＝；P(ξ＝3)＝＝.ξ的分布列如下表：ξ0123PE(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.(2)乙至多投中2次的概率为1－＝.(3)设乙比甲多投中2次为事件A，乙恰好投中2次且甲恰好投中0次为事件B1，乙恰好投中3次且甲恰好投中1次为事件B2，则A＝B1∪B2，B1，B2为互斥事件．P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝×＋×＝.所以乙恰好比甲多投中2次的概率为.6．解：(1)P(“当天商店不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为1件”)＝＋＝.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(“当天商品销售量为1件”)＝＝；P(X＝3)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为2件”)＋P(“当天商品销售量为3件”)＝＋＋＝.故X的分布列为X23PX的数学期望为E(X)＝2×＋3×＝.7．解：(1)只有当价格为6元/公斤时，农民种植A种蔬菜才不亏本，所以农民种植A种蔬菜不亏本的概率是P＝×＋×＝.(2)按原来模式种植，设农民种植A种蔬菜每亩收入为ξ元，则ξ可能取值为：5000,2000，－1000，－2500.-6-\nP(ξ＝5000)＝×＝，P(ξ＝2000)＝×＝，P(ξ＝－1000)＝×＝，P(ξ＝－2500)＝×＝，E(ξ)＝5000×＋2000×－1000×－2500×＝500.设收购价格为a元/公斤，农民每亩预期收入增加1000元，则2500a≥7000＋1500，即a≥3.4，所以收购价格至少为3.4元/公斤．8．解：(1)编号为004.(2)a，b，c，d，e的值分别为13,4,0.30,0.08,1.频率分布直方图如图．(3)在被抽到的学生中获一等奖的人数为2(人)，占样本的比例是＝0.04，即获一等奖的概率为4%，所以获一等奖的人数估计为200×4%＝8(人)，随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.随机变量X的分布列为：X0123P因为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝，所以随机变量X的数学期望为.-6-
