立体几何专题分析与复习策略\n命题者原则\n高考并非中国独有．世界上的许多国家也都有高考，如美国的“学业能力评估考试”（SAT）和“美国大学测评考试”（ACT）、英国的“普通教育证书高级考试”（A-LEVEL）．但相关研究表明，国外命题的指导思想都是单一的——选拔，考试的组织与实施也非国家层面．我国是唯一的从国家意志的层面上明确教育方针、进而明确高考命题基本指导思想的国家．\n国务院在其发布的《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》的第三十四条“推进考试招生制度改革”中指出：“按照有利于科学选拔人才、促进学生健康成长、维护社会公平的原则，......．”\n我国高考命题指导思想：一、“政治与政策”二、“学科与科学”三、“目标与任务”．\n一：政治和政策教育的基本目标在于为社会主义的精神文明和物质文明建设培养合格的建设人才，这就必然地要求高考命题时必须将政治与政策方面的要求与规定作为最为重要的遵循．数学学科的命题就必须在“中国优秀传统文化”和“创新能力”两个方面回应这一要求．\n\n评价：亮点题6：以《九章算术》为背景考察锥体的体积计算，命题角度新颖。\n\n案例3【2015年高考湖北卷·理19】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．（以下的考查内容为常规的立体几何内容，略）\n评价：亮点题2、19，第2题以算数《数书九章》为背景，将分层抽样融入其中，实为一种创新，极具湖北特色；第19题以算法《九章算术》为背景，考察立体几何中的线面关系，空间几何体的体积，试题新颖。\n二、“学科与科学”《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称为《课标》）是高中数学教学的基本纲领，是高考命题的基本依据．高考命题对《课标》相关规定的遵循不仅体现在对《课标》的内容要求的遵循，更体现在对《课标》内容设置方面的遵循\n课程标准十个核心观念十个核心观念数感符号意识空间观念几何直观数据分析观念运算能力推理能力模型思想应用意识创新意识\n数学课程标准中的核心内容平面解析几何初步函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）数列立体几何初步算法初步集合平面向量数系的扩充与复数的引入统计与概率不等式基本初等函数Ⅱ（三角函数）核心内容圆锥曲线与方程解三角形空间向量与立体几何导数及其应用\n高考《考试大纲》的要求强调能力立意，突出问题解决”“以能力立意命题”是数学的学科特点和考试目标所决定的．不仅考查考生数学知识的积累是否达到进入高等学校学习的基本水平，而且要以数学知识为载体，测量考生将知识迁移到不同情境的能力，从而检测考生已有的和潜在的学习能力．\n了解掌握理解知识的要求\n①利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．1.空间几何体的结构：特殊几何体的概念、基本性质，几何体的各种组合\n2.三视图与直观图：建立空间观念，提高空间想象能力和几何直观能力的重要内容②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二测法画出它们的直观图．\n③通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．④完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）．\n3.空间几何体的体积与表面积⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（没说是否要求记忆公式）．注意与三视图的结合\n4.直线与平面的位置关系①借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．\n◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．\n②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．\n通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理．◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．◆一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直．\n通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明．◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．\n考试说明要求\n第二部分空间向量与立体几何\n一、考试说明要求：\n\n..空间向量的认识①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.\n(2)空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量．②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）．④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．\n重视数学思维能力，突出数学思想应用课标中对能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识．立体几何主要考查学生的空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，强调综合性、应用性，加强思维品质的考查．\n一、空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质．空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力．识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志．\n案例42011理科第6题在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）新课标中的直观图考题\n.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6.B9.C12.D18.案例52012理科第7题\n案例6文理相同的三视图题目（2013年理科第8题；文科第11题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）\n案例72014理科第12题.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的棱中，最长的棱的长度为（）\n案例82015理科第11题,文科第11题.(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16+20r，则r=()（A）1（B）2（C）4（D）8\n立体几何的考查特点\n新课标卷中的球的组合问题案例8一、球中截面问题：如2011文科第12题：2012文科第8题相近；2013年文科第15题已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成600二面角的平面β截该球面得圆N，若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）(A)7π(B)9π(C)11π(D)13π\n案例九二、球中内接几何体：2011理科第15题已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且,则棱锥O—ABCD的体积为_____________.2012理科第11题：已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的求面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且；SC=2则此棱锥的体积为（）ABCD\n小题考查，推陈出新.将球与多面体糅合考查，试题更灵活，对考生的知识掌握、空间想象能力和推理论证能力的要求更高.这类题与广东的差异大，2016年备考要加大力度训练.\n案例十球与其他几何体的组合：2013理科第6题：如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）ABCD\n二）抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程．抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论．抽象概括能力是对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或做出新的判断．\n\n三、推理论证能力：推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成；论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程．推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法．一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明．中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力．\n立体几何的考查特点\n\n\n\n\n\n\n\n主要知识块的考查特点分析（三）立体几何的考查特点\n\n四、运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算．运算求解能力是思维能力和运算技能的结合．运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等．运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力．\n立体几何考纲研究比较显示，《2015年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版理科）》、《2015年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（课程标准实验版理科）》、《2015年普通高等学校招生全国统一考试广东省考试说明（理科）》要求基本保持一致，存在的主要差异是：1．《全国考试说明》未涉及的内容主要有：“会画某些建筑物的视图与直观图”．2．《广东考试说明》不要求记忆“球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式”，而《全国考试说明》及《全国考试大纲》无此限定．\n二、考点分布\n知识点、题量、题序、文理关系\n近五年广东卷理科卷立体几何考点统计与全国卷对比年份客观题（选择与填空）解答题分值2011广东第12题【命题意图】本题主要考三视图与棱柱体积计算第18题【命题意图】以斜四棱锥为载体考查线面垂直证明和二面角的计算，注重与平面几何的综合.192011课标第6题【命题意图】本题考三视图第15题【命题意图】本题主要考查球中棱锥第18题【命题意图】以直四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合.22\n近五年广东卷理科卷立体几何考点统计与全国卷对比年份客观题（选择与填空）解答题分值2012广东第6题【命题意图】本题主要考圆柱与圆锥的体积计算第18题【命题意图】以直四棱锥为载体考查线面垂直证明和二面角计算192012课标第7题【命题意图】三棱锥的三视图第11题【命题意图】球内接三棱锥的体积第19题【命题意图】以直三棱柱为载体，证明线线垂直与二面角计算。22\n近五年广东卷理科卷立体几何考点统计与全国卷对比年份客观题（选择与填空）解答题分值2013广东第5题【命题意图】本题主要考四棱台的三视图与体积计算第18题【命题意图】以等腰直角三角形翻折形成四棱锥为载体，考查线面垂直证明和二面角的计算，注重与平面几何的综合.192013课标第6题【命题意图】球与正方体的组合体积计算。第8题【命题意图】组合体的三视图体积计算。第18题【命题意图】倾倒型三棱柱中线线垂直与线面角计算。22.COBDEACDOBE图1图2\n近五年广东卷理科卷立体几何考点统计与全国卷对比年份客观题（选择与填空）解答题分值2014广东第7题【命题意图】命题判断第18题【命题意图】以组合图形为载体，证明线面垂直与二面角计算。192014课标第12题【命题意图】三棱锥的三视图第19题【命题意图】以三棱柱为载体，证明线线垂直与二面角计算。17ABCDEFP\n近五年广东卷理科卷立体几何考点统计与全国卷对比年份客观题（选择与填空）解答题分值2015广东第8题【命题意图】本题主要考查空间的点第19题【命题意图】以面面垂直为载体，考察异面垂直，二面角以及线面角计算192015课标第6题【命题意图】本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式第11题【命题意图】简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式。第19题【命题意图】空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力。22\n1．全国卷对旋转体特别是球的问题经常考（一是考查球的表面积、体积及距离等基本量的计算；二是考查球与多面体的相切接，考查了学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力），而广东卷则较少涉及，广东试卷2012年文科只出现了一次半球的三视图．2．在选填题中，全国卷近五年对空间位置关系都未涉及，广东卷2014年和2015年都出现了命题判断式的客观题，此类题目是过去立体几何高考题的常见形式，通常得分率也比较高，说明新课标卷I更侧重于实际图形应用中的考察。3．在解答题中，全国卷近五年对线面平行问题都未涉及，广东卷也少有考查线面平行问题，但全国课标卷Ⅱ常考查平行问题，2013年、2014年均有考查线面平行．全国卷与广东卷在考点分布的主要差异（一）内容：\n4．全国卷考查三视图的试题难度较大，空间想象能力要求比较高，广东卷比较基础．5．全国卷有出现“直棱柱、正棱柱、正棱锥”等概念，而广东卷从未涉及这些概念．6.全国卷文理科背景材料经常是相近的，甚至是同题（2011年~2014年），广东卷文理科试题背景材料也相近的，但少同题．全国卷命题特点及与广东卷命题思路的主要差异：\n结构：全国卷经常是1道选择题、1道填空题、1道解答题，共3道题；广东卷经常是1道选择题或填空题、1道解答题，共2道题．分数比例：全国卷对立体几何考查的分值为22分，占全卷分值约15%，广东卷的分值为19分，占全卷分值约13%．难度定位：全国卷对立体几何的考查难度相对稳定，选择题、填空题难度为中等偏难，选择题基本在后六题的位置，填空题基本在后二题的位置（时而作为选择题压轴题，如2014年理12、2011年文16、2012年及2014年理11、2013年及2015年文11）；解答题属于中等难度，且基本定位在第2、3题的位置．广东卷对立体几何的考查，选择题、填空题为基础题，选择题在前六题的位置，填空题在前二题的位置；解答题广东卷波动较大．从整体上，对于选择题、填空题的考查，全国卷难于广东卷；解答题方面，广东有时难于全国卷（但都处在解答题第三道）．全国卷与广东卷在考点分布的主要差异（二）结构与难度：\n1.平稳过渡、先易后难试题总的来说过渡比较平稳，由易到难，逐步递进，符合学生做题习惯。文理科试卷结构基本稳定不变，分为两部分：第Ⅰ卷12个选择题，第Ⅱ卷非选择题为4道填空题和5道必做题和三道三选一解答题。解答题基本是数列和三角函数（二选一）、概率与统计、立体几何、解析几何、函数与导数，三选一包括几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲。其题目的顺序也基本保持一致，先易后难，层次分明。目标和任务\n2.立足基础、覆盖面广在全面考查的前提下，高中数学的六大主干知识仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点内容。另外，考试内容体现了新课标要求，算法与框图、三视图、统计、概率和分布列、推理与证明等均在试卷中都有所体现。\n3.背景公平，情景熟悉，风格灵动，突出理性思维，有效区分考生的数学素养。试题科学规范，并继续保持全国高考试卷往年简洁、清爽、明快的特色，客观题知识点清楚明确，不堆砌组合.重视课本知识的考查，三种题型中体现出明显的层次感，选择题、填空题、解答题，层层递进.试卷的入口题和每种题型的入口题都较好的把握了难度，突出了选拔性.\n4.注意了文理学生的学习差异2012年文理科试题有7个题是相同的，还有三道大题为姊妹题。2013年文理科试题有7个题是相同的，还有一道立体几何姊妹题。2014年高考文理科试题命题差异变大，相同的题目只有5道。还有一道概率统计姊妹题。2015年高考文理科试题命题差异基本不变，相同的题目有6道。理科第5题（文科第6题）、理科第8题（文科第8题）、理科第9题（文科第9题）、理科第11题（文科第11题）、理科19题（文科19题）和三选一试题。几年的文理试题差异逐渐增大并趋于稳定，文理试卷中的相同试题都控制在7题左右。\n试题难度河南数学2014年2013年2012年理科83.94分77.38分75分文科71.63分70.21分57.69分2014年理科数学难度系数为0.56，文科数学为0.48.2.选考题答题、得分情况（1）文科选考几何证明有增多趋势，而理科选考坐标系与参数方程越来越多；（2）文科受选考题难度影响较大，理科坐标系与参数方程平均分基本是三种题型中最高的.\n立体几何复习策略\n教育部发言人徐梅在2015年3月接受采访时表示：高考使用全国卷，只是出题单位变了，包括考试大纲、考试难度等一律不变，至于高考的录取、分数线也不会因为出题单位变化而出现大的变化.因为招生计划是各省份确定的，分数线也是各省份来定的，不会影响录取率.\n我们努力要做到的是：概念清原理透方法热思想通\n.复习建议\n复习策略“三基”基础知识基本技能基本思想概念公理与定理基本几何结构几何直观能力空间想象能力化归特殊与一般具体与抽象割补法逻辑推理能力\n二、夯实基础：必备能力基本图形坐标系的建立点的坐标\n\n强化训练坐标计算模的计算数量积法向量\n三、常用公式的使用1.几何体的体积与表面积公式大多数不要求记忆\n2.求空间角的基本公式异面直线AB、CD所成角直线AB与平面α所成的角两个平面α和β所成的角\n3.求空间距离的基本公式点到平面的距离直线到平面的距离平面到平面的距离两条异面直线间的距离\n学情反馈复读生反馈：“原来的老师上课讲得很快，对于书上有详细解析的例题是不会讲的，他只会讲书上没有解析的“变式题”．对于作业，也只是挑一些比较难的题做些解析．”“现在上课，老师会把知识点讲得很详细很透彻，而且一道题会把它的解题思路讲出来，这样有利于我们对题目的把握．对于经典的题目，老师会把所有的方法都很详细地进行解答．”“还有一点，同学们数学课上会做课堂笔记”\n数学解题教学就是解题时你是怎么想的，经历了怎么样的挫折，为什么要突出思想方法，如何启迪学生的思维，学生为什么会这样想?我们要如何从解题经历中获得线索，当你有解题的亲身体验后，才能透析学生的解题思路，才会对学生的解法具备职业的敏感，从而也才能有效地为研究学生的思维活动积累素材。高三复习教学重在关注学生，展示思维过程\n数学教师要注重对学生的思维分析与预计。要换位思考：假如我是学生。对此题我会怎么想?有解决问题的困难或障碍在哪里?通过实际了解学生的真实想法，才能正确把握好学生的思维特点，进而针对性地设计教学，顺应大多数学生的认知规律和思维走向。\n1)分析题目的大致意思，尤其要说明题目的已知条件和难点的位置、程度和成因，特别要注意挖掘题中的隐含条件；2)分析题目背景，即题目的出处、涉及的知识点以及选择此题的目的；3)分析题目的解答，即解题的步骤和结论；4)分析解题的数学思想方法、策略和规律；5)分析题目的变化，即解法的优化、变化和结论的一般变式、推广、拓展等。\n高三复习应注意提高课堂教学效率。1．在高三复习课上教师除了精心设计课堂教学内容外，还要舍得挤时间让学生思考。2要鼓励学生敢于思考、敢于质疑、勇于创新。\n要做到这些，应该做好以下几点：（1）引导落实。教师要思想重视，自己应该熟悉课本；（2）上课落实。在复习时适当引入课本例题或习题，或引导学生看课本；（3）训练落实。布置的作业或单元测试中，设计部分课本例题或习题的变形或引申。注意回归课本\n在高三复习中，试卷讲评要做到有的放矢。
