1．函数的单调性（1）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的（2）单调区间的定义如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．2．函数的最值前提设函数的定义域为，如果存在实数满足条件（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得（3）对于任意的，都有；（4）存在，使得结论为最大值为最小值3．函数单调性的常用结论（1）对在D上是增函数；在D上是减函数．（2）对勾函数的增区间为和，减区间为和．（3）在区间上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．8\n（4）函数的单调性与函数和的单调性的关系是“同增异减”．4．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数关于y对称奇函数一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数关于原点对称5．周期性（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个正数就叫做的最小正周期．6．函数奇偶性常用结论（1）如果函数是偶函数，那么．（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．（3）在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．7．函数周期性常用结论对定义域内任一自变量的值：（1）若，则．（2）若，则．（3）若，则．8\n1．【2020天津9】已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，转化题意为的交点，在有一个交点，如图所示：在与右侧相切是为临界值，此时经过计算；当时，根据图像翻折都可以．【点睛】通过分离，再数形结合．2．【2020北京卷14】若函数的最大值为2，则常数的一个取值为．【答案】（答案不唯一，满足即可）【解析】法一：取最大值2时，与同时取最大值1，此时，且，易知，答案不唯一，可取．法二：，取最大值2时，，化简得，则，8\n答案不唯一，可取．【点睛】由最大值为2，只可能与同时取1，则可以求出满足的要求．一、单选题．1．函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵函数，∴，即，解得或，∴函数的定义域为，故选D．2．设，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，∵，又由，∴，故选C．3．当时，函数和的图象只能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于且，∴可得：当时，为过点的增函数，8\n，函数为减函数，故选B．4．已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，，∴，故选B．5．已知函数与互为反函数，函数的图象与的图象关于轴对称，若，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵函数与互为反函数，∴函数，∵函数的图象与的图象关于轴对称，∴函数，∵，即，∴，故选D．6．若，则（）A．B．1C．D．2【答案】B【解析】∵，∴，，∴，故选B．7．已知是定义在上的奇函数，且，若，则（）A．B．0C．3D．2018【答案】C【解析】∵为的奇函数，∴且，又由，∴，8\n∴是周期为4的函数，又，，∴，，∴，，故选C．8．已知，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，，当，；当，，∴函数在上增函数，在上减函数，∴，，故选C．9．函数，若函数只一个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵只有一个零点，∴与只有一个交点，作出函数与的图像，与只有一个交点，则，即，与只有一个交点，它们则相切，∵，令，则，故切点为，∴，即，综上所述，的取值范围为，故选A．二、多选题．10．设函数，则（）A．是奇函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递增C．是偶函数，且在单调递增D．是偶函数，且在单调递减8\n【答案】AB【解析】在上为单调递增函数，则在上为单调递减函数，结论：增函数-减函数=增函数，所以在上为单调递增函数．11．已知函数，则（）A．的最小值为2B．的图像关于中心对称C．的图像关于直线对称D．的图像关于直线对称【答案】BD【解析】由于，A错误；为奇函数，B正确；不成立，C错误；在定义域上恒成立，则D正确．三、填空题．12．已知，且，函数的图象恒过点，若在幂函数图像上，则__________．【答案】【解析】∵，∴，即时，，∴点的坐标是．由题意令，由于图象过点，得，，∴，，故答案为．13．【2018北京卷理13】能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是．【答案】【解析】函数的单调性，答案不唯一．8\n14．【2020全国3卷理16】关于函数有如下四个命题：①的图像关于y轴对称；②的图像关于原点对称；③的图像关于直线对称；④的最小值为2．其中所有真命题的序号是_________．【答案】②③【解析】对于①，由知函数定义域为，定义域关于原点对称，，该函数为奇函数关于原点对称，故①错，②为正确；对于③，由，所以关于对称，③正确；对于④，令，则，∴由可知，所以无最小值，错误，综上所述，真命题的序号是②③．8
