专题升级训练17 概率、统计与统计案例(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．从2007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率( )．A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为D．都相等，且为2．(2012·浙江高考冲刺卷，4)在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )．A．92,2B．92,2.8C．93,2D．93,2.83．向假设的三座相互毗邻的军火库投掷一颗炸弹，只要炸中其中任何一座，另外两座也要发生爆炸．已知炸中第一座军火库的概率为0.2，炸中第二座军火库的概率为0.3，炸中第三座军火库的概率为0.1，则军火库发生爆炸的概率是( )．A．0.006B．0.4C．0.5D．0.64．(2012·浙江高考名校《创新》冲刺卷，6)甲和乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为( )．A．B．C．D．5．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )．A．32B．0.2C．40D．0.256．(2012·浙江重点中学高三联考，理3)在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为( )．A．B．C．D．7．(2012·浙江高考冲刺卷，理10)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，试问点(P1，P2)与直线l2：x＋2y＝2的位置关系是( )．A．P在直线l2的右下方B．P在直线l2的左下方C．P在直线l2的右上方D．P在直线l2上8．从标有1,2,3，…，7的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是( )．A．B．C．D．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)9．某校有高一学生400人，高二学生302人，高三学生250人，现在按年级分层抽样，从所有学生中抽取一个容量为190人的样本，应该从高______学生中剔除______人，高一、高二、高三抽取的人数依次是________．10．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是__________．-6-\n11．(2012·浙江金华十校高考模拟，理17)如图所示的正方形中，将边AB，AD各4等分，分别作AB，AD的平行线段成4×4方格网，则从图中取出一由网格线形成的矩形，恰好为正方形的概率是__________．12．(2012·浙江高考冲刺卷，理15)将3个完全相同的小球随机地放入编号依次为1,2,3,4,5的盒子里，用随机变量ξ表示有球盒子编号的最大值，则ξ的数学期望E(ξ)＝__________.三、解答题(本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13．(本小题满分10分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均数；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y1∶12∶13∶44∶514．(本小题满分10分)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．15．(本小题满分12分)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题．若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现有n＋m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题．以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量．(1)求X＝n＋2的概率；(2)设m＝n，求X的分布列和均值(数学期望)．16．(本小题满分12分)某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路②堵车的概率为p，不堵车的概率为1－p.若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．-6-\n(1)若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；(2)在(1)的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数ξ的分布列和数学期望．-6-\n参考答案一、选择题1．C2．B 解析：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为90,90,93,94,93，则平均值为＝92，方差为2.8，故选B.3．D 解析：设A，B，C分别表示炸中第一、第二、第三座军火库这三个事件，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1.设D表示“军火库爆炸”，则D＝A∪B∪C.又∵A，B，C彼此互斥，∴P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6.4．B 解析：甲和乙在同一岗位服务的概率为P＝＝，故甲和乙不在同一岗位服务的概率为1－P＝.5．A 解析：设中间的长方形面积为x，则其他的10个小长方形的面积为4x，所以可得x＋4x＝1，得x＝0.2；又因为样本容量为160，所以中间一组的频数为160×0.2＝32，故选A.6．C 解析：设事件A在每次试验中发生的概率为p，则有1－(1－p)3＝，得p＝，则事件A恰好发生一次的概率为C××2＝.7．B 解析：因为两直线平行的充要条件是b＝2a，且a≠1，故只能是a＝2，b＝4和a＝3，b＝6两种情形，则P1＝＝.从而有P2＝1－－＝.又点在直线l2的左下方，故选B.8．A二、填空题9．二 2 80,60,50 解析：总体人数为400＋302＋250＝952(人)，∵＝5……2，＝80，＝60，＝50，∴从高二年级中剔除2人．从高一，高二，高三年级中分别抽取80人、60人、50人．10． 解析：∵以1为首项，－3为公比的等比数列的10个数为1，－3,9，－27，…，其中有5个负数，1个正数一共6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是＝.11． 解析：网格线形成的矩形个数为C×C＝100个，其中正方形的个数为1＋22＋32＋42＝30个，则所求概率为＝.12．4 解析：当ξ＝1时，只有1种放法；当ξ＝2时，则2号盒子里放1个球时，有1种放法；2号盒子里放2个球时，有1种放法；2号盒子里放3个球时，有1种放法；共有3种放法；当ξ＝3时，则3号盒子里放一个球时，另2个球放入1,2号盒子里，有3种放法；3号盒子里放2个球时，另1个球放入1,2号盒子里，有2种放法；3号盒子里放3个球时，有1种放法；共有6种放法．当ξ＝4时，则4号盒子里放一个球时，另2个球放入1,2,3号盒子里，有3＋C＝6种放法；4号盒子里放2个球时，另1个球放入1,2,3号盒子里，有3种放法；4号盒子里放3个球时，有1种放法；共有10种放法；当ξ＝5时，则5号盒子里放一个球时，另2个球放入1,2,3,4号盒子里，有4＋C-6-\n＝10种放法；5号盒子里放2个球时，另1个球放入1,2,3,4号盒子里，有4种放法；5号盒子里放3个球时，有1种放法；共有15种放法．从而3个完全相同的小球随机地放入编号依次为1,2,3,4,5的盒子里总共有35种放法，则有P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝，故E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝4.三、解答题13．解：(1)依题意得，10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005.(2)这100名学生语文成绩的平均数为：55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.(3)数学成绩在[50,60)的人数为：100×0.05＝5，数学成绩在[60,70)的人数为：100×0.4×＝20，数学成绩在[70,80)的人数为：100×0.3×＝40，数学成绩在[80,90)的人数为：100×0.2×＝25，所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100－5－20－40－25＝10.14．解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P(ξ＝)＝＝，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，所以随机变量ξ的分布列是ξ01P(ξ)因此E(ξ)＝1×＋×＝.15．解：以Ai表示第i次调题调用到A类型试题，i＝1,2.(1)P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝·＝.(2)X的可能取值为n，n＋1，n＋2.P(X＝n)＝P()＝·＝.P(X＝n＋1)＝P(A1)＋P(A2)＝·＋·＝，P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝·＝，从而X的分布列是Xnn＋1n＋2-6-\nPE(X)＝n×＋(n＋1)×＋(n＋2)×＝n＋1.16．解：(1)由已知条件得C···(1－p)＋2·p＝，即3p＝1，则p＝.即走公路②堵车的概率为.(2)ξ可能的取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝··＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝··＋C···＝，P(ξ＝3)＝··＝.ξ的分布列为：ξ0123P所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.-6-
