2013年高考数学易错点点睛与高考突破专题12排列、组合、二项式定理难点1利用空间向量解立几中的探索性问题1．如图11-23，PD⊥面ABCD，ABCD为正方形，AB=2，E是PB的中点，且异面直线DP与AE所成的角的余弦为。1，m），∴cos<>=得m=1.43\n∴P(0,0,2),E(1,1,1)2．如图11-25，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，面ABCD是一个直角梯形，AB、CD为梯形的两腰，且AB=AD=AA1=a。（Ⅰ）如果截面ACD1的面种为S，求点D到平面ACD1的距离；（Ⅱ）当为何值时，平面AB1C⊥平面AB1D1。证明你的结论。43\n难点2利用空间向量求角和距离1．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BC=a，AA1=1。（1）棱BC上是否存在点P，使A1P⊥PD，说明理由；（2）若BC上有且仅有一点P，使A1P⊥PD，试求此时的二面角P-A1D-A的大小。43\n易错点1求异面直线所成的角1．如图11-1，四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（1）证明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC与PB所成的角；（3）求面AMC与面BMC所成二面角A-CM-B的大小。43\n2．如图11-2，在直四棱术ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足为E。（1）求证BD⊥A1C；（2）求二面角A1-BD-C1的大小；（3）求异面直线AD与BC1所成角的大小。43\n43\n0，0）、D（-，0，0）、A（0，-1，0），其中A1、D、A的坐标容易求错。【特别提醒】利用空间向量求异面直线所成的角，公式为cos关键是正确地建立坐标系进而写出各有关点的坐标，建立坐标会出现用三条两两不垂直的直线作x轴、y轴、z轴的错误，还会出现用三条两两互相垂直但不过同一点的三条直线作x轴、y轴、z轴的错误。写点的坐标也容易出现错误，学习时要掌握一些特殊点坐标的特点，如x轴上的点坐标为（a，0，0），xoz面上的点坐标为（a,0,b）等，其次还43\n应学会把某个平面单独分化出来，利用平面几何的知识求解，如本节的例2，求B的坐标。【变式训练】1．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2a,高为b，求异面直线AC1和A1B所成的角。43\n43\n43\n易错点2求直线与平面所成的角1．如图在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=KPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC。（1）当k=时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；（2）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？43\n2．如图11-7，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点。43\n【特别提醒】求直线与平面所成角的公式为：sinθ=,其中a为直线上某线段所确定的一个向量，n为平面的一个法向量，这个公式很容易记错，关键是理解，有些学生从数形结合来看，认为n应过直线上某个点，如例4中n应过C点，这是错误的，这里n是平面的任意一个法向量，再说一个向量过某一个具体的点这种说法也是错误的。【变式训练】1如图11-9，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°AC=2，BC=6，D为A1B1的中点，异面直线CD与A1B垂直。43\n（1）求直三棱术ABC-A1B1C1的高；=(-2，2，-4)，由·=0知A1C⊥BE，·BD=0知A1C⊥BD，∴A1C⊥平面BED（2）求A1B与平面BDE所成的角是正弦值。答案：由(1)知=(-2，2，-4)为平面BED的一个法向量，=(0，2，-4),∴sinθ=43\n（3）求二面角P-MN-Q的余弦值。答案：由(Ⅰ)，MN⊥平面PAD，知MQ⊥MN,MP⊥MN,∴∠PMQ即为二面角P—MN—Q的平面角．而PM=,MQ=，MD=,43\n43\n（1）证明：PC⊥平面PAB；（2）求二面角P-AB-C的平面角的余弦值；（3）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长。PO=∴P（0，0，a），C（0，0），A（0），C（0，0），B（0）。43\n【特别提醒】利用空间向量求二面角，先求两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出两法现量的夹角，二面角的平面角与法向量的夹角相等或互补，具体是哪一种，一般有两种判断方法：（1）根据图形判断二面角是锐角还是钝角；（2）根据两法向量的方向判断。实际上很多求二面角的题目，还是传统方法（如三垂线定理作出二面角的平面角）简单，或传统方法与空间向量相结合来解。【变式训练】1.如图，在三棱锥P-OAC中，OP、OA、OC两两互相垂直，且OP=OA=1，OC=2，B为OC的中点。43\n43\n3如图所示，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为4，AA1=6，Q为BB1的中点，P∈DD1，M∈A1B1，N∈C1D1，A M=1，D1N=3。43\n43\n43\n43\n【特别提醒】立体几何中的距离以点到面的距离最为重要利用空间和量求点到面的距离关键是对公式d=的理解和记忆，其中a为过该点且与平面相交的线段确定的向量，n为平面的任意一个法向量，这个任意给解题带来了很大的方便。当然有些题目用空间向量来解可能没有传统方法简单。【变式训练】1已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，PC垂直于ABCD所在的平面，且PC=2。43\n求点B到平面PEF的距离。2如图：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长是，侧棱长是3，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A2C。43\n3在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，BC=2a，AC=a，AB=a，点P到平面ABC的距离为a（2）求点B’到平面PAC的距离。43\n3在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM43\nA．是AC和MN的公垂线B．垂直于AC，但不垂直于MNC．垂直于MN，但不垂直于ACD．与AC、MN都不垂直4在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1积与平面CBC1所成的角为（）43\nA．点P在线段AB上43\nB．点P在线段AB的延长线上C．点P在线段BA的延长线上D．点P不一定在直线AB上解析：∵0<t<1，∴P点在线段AB上．答案：A8．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )A.B.C.D.解析：∵a、b、c三向量共面，所以存在实数m、n，使得c＝ma＋nb.即∴λ＝.答案：D9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为( )43\n10．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．则以，为边的平行四边形的面积为________．43\n则－5＋＋＝0.∴A、B、C、D共面．13．设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b以及a与b所成角的余弦值，并确定λ，μ应满足的条件，使λa＋μb与z轴垂直．解：2a＋3b＝2×(3,5，－4)＋3×(2,1,8)＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)．3a－2b＝3×(3,5，－4)－2×(2,1,8)43\n＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)．a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21.∵|a|＝＝，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝－.∵λa＋μb与z轴垂直，∴(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ.∴当λ，μ满足λ＝2μ时，可使λa＋μb与z轴垂直．14.直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．(2)＝－a＋c，∴43\n设二面角C-AB-D为θ，则由tanθ=因此43\n16、四棱锥P=ABCD中，AB⊥CD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。（1）求证BM∥平面PAD； （3）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值。43\n18、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，（1）求证：PA⊥底面ABCD；答案：∵∴AP⊥PB，AP⊥AD，∴AP⊥底面ABCD．（2）求四棱锥P-ABCD的体积；43\n(1)证明：EM⊥BF；(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．43\n20．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.43\n21．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点．(1)求证：AB∥平面DEG；(2)求证：BD⊥EG；(3)求二面角C－DF－E的余弦值．43\n令z＝1，得n＝(－1,2,1)．设二面角C－DF－E的大小为θ，43\n＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则即因此可取n＝(，1，)．43\n23．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60°.(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)求二面角F－BE－D的余弦值；(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．43\n43
