2-6 幂函数与函数的图象变换基础巩固强化1.已知点(，)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)( )A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数[答案] A[解析] 设f(x)＝xα，则()α＝，即3α＝3，故α＝－1，因此f(x)＝x－1，所以f(x)是奇函数．故选A.2．(文)函数y＝x在[－1,1]上是( )A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数[答案] A[解析] ∵的分子分母都是奇数，∴f(－x)＝(－x)＝－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又>0，∴f(x)在第一象限内是增函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在[－1,1]上是增函数．(理)设a∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且该函数为奇函数的所有α值为( )A．1,3 B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3[答案] A[解析] 在函数y＝x－1，y＝x，y＝x，y＝x3中，只有函数y＝x和y＝x3的定义域是R，且是奇函数，故α＝1或3.14\n3．设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a、b、c的大小关系是( )A．a>b>cB．a<b<cC．b<a<cD．a<c<b[答案] C[分析] a、b的指数相同，可以构建幂函数，使用幂函数的单调性比较大小，再构造对数函数以确定c与1的大小关系，然后综合作出判断．[解析] 根据幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b<a<1；根据对数函数y＝log0.3x在(0，＋∞)上单调递减，可得log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1.所以b<a<c.故选C.4．幂函数y＝x－1及直线y＝x、y＝1、x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“区域”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y＝x的图象经过的“区域”是( )A．⑧，③B．⑦，③C．⑥，②D．⑤，①[答案] C[解析] y＝x是增函数，∵>1，∴其图象向下凸，过点(0,0)，(1,1)，故经过区域②，⑥.5．给出以下几个幂函数fi(x)(i＝1,2,3,4)，其中f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝.若gi(x)＝fi(x)＋3x(i＝1,2,3,4)．则能使函数gi(x)有两个零点的幂函数有( )14\nA．0个B．1个C．2个D．3个[答案] B[解析] 函数gi(x)的零点就是方程gi(x)＝0的根，亦即方程fi(x)＋3x＝0的根，也就是函数fi(x)与y＝－3x的图象的交点，作出函数fi(x)(i＝1,2,3,4)的图象，可知只有f2(x)的图象与y＝－3x的图象有两个不同的交点，故能使gi(x)有两个零点的幂函数只有f2(x)，选B.6．(2011·青岛一中模拟)函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m的值为( )A．2B．3C．4D．5[答案] A[解析] 由题意知m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2，又由题意知m2－2m－3<0，得m＝2.故选A.7．(文)幂函数y＝f(x)的图象过点，那么f′(8)的值为________．[答案] －[解析] 设f(x)＝xα，由条件知＝4α，∴α＝－，∴f(x)＝x，∴f′(x)＝－x，∴f′(8)＝－.(理)若幂函数f(x)的图象经过点A，设它在A点处的切线为l，则过点A与l垂直的直线方程为________．[答案] 4x＋4y－3＝0[解析] 设f(x)＝xα，∵f(x)图象过点A，∴α＝，∴α＝.∴f(x)＝x，∴f′(x)＝，∴f′＝1，故切线的斜率为1，从而与l垂直的直线斜率为－1，故过A与l垂直的直线方程为y－＝－1×，14\n即4x＋4y－3＝0.8．已知函数f(x)＝x的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，则最小的自然数a＝________.[答案] 3[解析] ∵f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠0}，∴<0，∴a>1.又∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)为偶函数，∵a∈N，∴a的最小值为3.9．(文)(2011·淮北模拟)已知函数f(x)＝x－1，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________．[答案] (－∞，－1)∪(3,5)[解析] 由题意，得或或∴a<－1或3<a<5.(理)若函数f(x)＝(a、b、c，d∈R)，其图象如图所示，则a:b:c:d＝________.[答案] 1:(－6):5:(－8)[解析] 由图象知，x≠1且x≠5，故ax2＋bx＋c＝0的两根为1,5.∴∴又f(3)＝2，∴d＝18a＋6b＋2c＝－8a.14\n故a:b:c:d＝1:(－6):5:(－8)．10．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出示意图中曲线C1、C2分别对应哪一个函数？(2)若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a、b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a、b的值，并说明理由；(3)结合函数图象示意图，请把f(8)、g(8)、f(2012)、g(2012)四个数按从小到大的顺序排列．[解析] (1)C1对应函数g(x)＝x3，C2对应函数f(x)＝2x.(2)由于交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，令h(x)＝f(x)－g(x)，显然有h(1)＝f(1)－g(1)＝1>0，h(2)＝f(2)－g(2)＝－4<0，h(9)＝29－93＝－217<0，h(10)＝24>0，∴x1∈[1,2]，x2∈[9,10]，∴a＝1，b＝9.(3)由幂函数及指数函数增长率可知，f(8)<g(8)<g(2012)<f(2012).能力拓展提升11.(文)y＝|x－|的图象为( )14\n[答案] A[解析] y＝|x－|为偶函数，故选A.(理)(2012·潍坊市高三模拟)定义一种运算：a⊗b＝已知函数f(x)＝2x⊗(3－x)，那么函数y＝f(x＋1)的大致图象是( )[答案] B14\n[解析] 如图．在同一坐标系内分别作出y＝2x与y＝3－x的图象，据已知函数f(x)的定义知，相同x对应的上方图象即为函数f(x)的图象(如实线部分所示)，然后将其图象左平移1个单位即得函数y＝f(x＋1)的图象，故选B.12．(文)幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么，αβ＝( )A．1 B．2 C．3 D．无法确定[答案] A[解析] 由条件知，M、N，∴＝α，＝β，∴αβ＝α＝α＝，∴αβ＝1.故选A.(理)函数y＝ax＋b的图象如图所示，则函数y＝b＋的大致图象为( )14\n[答案] C[解析] 由函数y＝ax＋b的图象知0<a<1，b<－1，∵函数y＝b＋的图象可视作函数y＝的图象，向左平移a个单位，向下平移－b个单位得到的图象，即其中心(－a，b)应位于第三象限，故选C.13．(2012·湖北重点中学联考)已知a＝ln－，b＝ln－，c＝ln－，则( )A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a[答案] A[解析] 记f(x)＝lnx－x，则f′(x)＝－1＝，当0<x<1时，f′(x)>0，14\n所以函数f(x)在(0,1)上是增函数．∵1>>>>0，∴a>b>c，选A.14．(文)函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是________．[答案] x0<－1或x0>1[解析] 当x0≤0时，不等式可化为2－x0－1>1，即2－x0>2，解得x0<－1；当x0>0时，不等式可化为x0>1，解得x0>1，故x0的取值范围是x0<－1或x0>1.(理)在y＝()x，y＝log2x，y＝x2，y＝x四个函数中，当0<x1<x2<1时，使f()>恒成立的函数个数是________．[答案] 2个[解析] 当0<x1<x2<1时，使f()>恒成立，说明函数图形是向上凸的，而所考查函数图象只有y＝log2x，y＝x两个符合要求．15．已知f(x)＝xα(其中α＝，n是偶数)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x2－x)>f(x＋3)．[解析] 由条件知>0，即－n2＋2n＋3>0，解得－1<n<3.又n是偶数，∴n＝0,2.当n＝0,2时，f(x)＝x.∴f(x)在R上单调递增．∴f(x2－x)>f(x＋3)转化为x2－x>x＋3，解得x<－1或x>3，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．16．(文)已知函数f(x)＝，g(x)＝.(1)证明f(x)是奇函数，并求其单调区间；(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，并由此概括一个涉及函数f(x)、g(x)的对所有非零实数x都成立的等式，并证明．14\n[解析] (1)证明：因为f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．设x1<x2，x1，x2∈(0，＋∞)，则f(x1)－f(x2)＝，∵，∴f(x1)－f(x2)<0.故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(－∞，0)上也是单调递增函数，即f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)经过计算可得f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)g(3)＝0，由此可得对所有非零实数x都成立的一个等式是f(x2)－5f(x)g(x)＝0.证明如下：(理)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)且满足f(－1)＝0，对任意实数x，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)时，有f(x)≤2.(1)求f(1)的值；(2)证明a>0，c>0；(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx(x∈R)是单调函数，求证：m≤0或m≥1.[解析] (1)对x∈R，f(x)－x≥0恒成立，当x＝1时，f(1)≥1，又∵1∈(0,2)，由已知得f(1)≤2＝1，∴1≤f(1)≤1，∴f(1)＝1.(2)证明：∵f(1)＝1，f(－1)＝0，∴a＋b＋c＝1，14\na－b＋c＝0，∴b＝.∴a＋c＝.∵f(x)－x≥0对x∈R恒成立，∴ax2－x＋c≥0对x∈R恒成立，∴∴∴c>0，故a>0，c>0.(3)证明：∵a＋c＝，ac≥，由a>0，c>0及a＋c≥2，得ac≤，∴ac＝，当且仅当a＝c＝时，取“＝”．∴f(x)＝x2＋x＋.∴g(x)＝f(x)－mx＝x2＋x＋＝[x2＋(2－4m)x＋1]．∵g(x)在[－1,1]上是单调函数，∴2m－1≤－1或2m－1≥1，∴m≤0或m≥1.1．(2011·山东济南调研)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－114\nD．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1[答案] B[解析] y＝x2为偶函数，对应②；y＝x定义域x≥0，对应③；y＝x－1为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y＝x3与y＝x均为奇函数，但y＝x3比y＝x增长率大，故①对应y＝x3.2．有min{a，b}表示a、b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－对称，则t的值为( )A．－2B．2C．－1D．1[答案] D[解析] 如图，要使f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－对称，则t＝1.3．(2011·新课标全国文，12)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有( )A．10个B．9个C．8个D．1个[答案] A[解析] 由y＝f(x)与y＝|lgx|图象(如图)可知，选A.14\n4．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．[答案] (－∞，1)[解析] 在同一直角坐标系内画出函数y＝f(x)和y＝x＋a的图象如图可知a<1.5．(2012·浙江余姚中学模拟)已知实数a、b满足等式log2a＝log3b，给出下列五个关系式：①a>b>1；②b>a>1；③a<b<1；④b<a<1；⑤a＝b.其中可能的关系式是________．[答案] ②④⑤[解析] 由已知log2a＝log3b，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝log3x的图象，当纵坐标相等时，可以得到相应横坐标的大小关系，从而得出②④⑤可能成立．14\n6．已知幂函数f(x)的图象过点(，2)且幂函数g(x)＝xm2－m－2(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称．(1)求f(x)、g(x)的解析式；(2)当x为何值时①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．[解析] (1)设f(x)＝xα，∵f(x)的图象过点(，2)，∴2＝()α，∴α＝2，∴f(x)＝x2；又g(x)＝xm2－m－2的图象与x轴、y轴都无公共点，∴m2－m－2≤0，∴－1≤m≤2.∵m∈Z，∴m＝0或±1或2，当m＝0或1时，g(x)＝x－2是偶函数，图象关于y轴对称，当m＝－1或2时，y＝x0也满足，故g(x)＝x－2或g(x)＝x0.(2)若g(x)＝x0＝1，则由f(x)>g(x)得，x2>1，∴x>1或x<－1.故x>1或x<－1时，f(x)>g(x)，x＝±1时，f(x)＝g(x)，－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．若g(x)＝x－2，则由f(x)>g(x)得，x2>，∴x4>1，∴x>1或x<－1，故当x>1或x<－1时，有f(x)>g(x)；当x＝±1时，f(x)＝g(x)；当－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．综上知，x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；x＝±1时，f(x)＝g(x)；－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．14
