2013年高考数学预测—（3）1、（本小题满分12分）在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c向量（1）求角A的大小；（2）若的面积.2、（本小题满分12分）已知函数（1）已知数列满足，，求数列的通项公式；（2）求证:.3、（本小题满分14分）设函数f(x)=x2―mlnx，h(x)=x2―x+a.（1）当a=0时，f(x)≥h(x)在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m=2时，若函数k(x)=f(x)―h(x)在［1，3］上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？4、设曲线C1：（a为正常数）与C2：y2=2（x+m）在x轴上方仅有一个公共点P．⑴求实数m的取值范围（用a表示）；⑵O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0<a<时，试求ΔOAP的面积的最大值（用a表示）．答案：1、解析：（1）又，（2），，为等腰三角形，。2、解析：（1）由两边同减去1，得，-4-\n所以，所以，是以2为公差以为首项的等差数列，所以（2）因为所以所以>3、解析：（1）由a=0，f(x)≥h(x)可得―mlnx≥―x 即，记，则f(x)≥h(x)在(1，+∞)上恒成立等价于.求得当时；；当时，，故在x=e处取得极小值，也是最小值，即，故.（2）函数k(x)=f(x)―h(x)在［1，3］上恰有两个不同的零点等价于方程x―2lnx=a，在［1，3］上恰有两个相异实根。令g(x)=x―2lnx，则；当时，，当时，；g(x)在[1，2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。故又g(1)=1，g(3)=3―2ln3，∵g(1)>g(3)，∴只需g(2)<a≤g(3)，故a的取值范围是(2―2ln2，3―2ln3)。（3）存在m=，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性，，函数f(x)的定义域为（0，+∞）。若，则，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，不合题意；-4-\n若，由可得2x2―m>0，解得x>或x<―（舍去）故时，函数的单调递增区间为(，+∞)单调递减区间为(0，)而h(x)在(0，+∞)上的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，+∞)故只需=，解之得m=即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。4、解析：⑴由消去y得，x2+2a2x+2a2m―a2=0．①设f(x)=x2+2a2x+2a2m―a2，问题⑴转化为方程①在x∈(―a，a)上有唯一解或等根．只须讨论以下三种情况：1°Δ=0得m=．此时xp=―a2，当且仅当―a<―a2<a，即0<a<1时适合；2°f(a)·f(―a)<0当且仅当–a<m<a；3°f(―a)=0得m=a．此时xp=a―2a2，当且仅当―a<a―2a2<a，即0<a<1时适合．f(a)=0得m=―a，此时xp=―a―2a2，由于―a―2a2<―a，从而m≠―a．综上可知，当0<a<1时，m=或―a<m≤a；当a≥1时，―a<m<a.⑵ΔOAP的面积S=ayp．∵0<a<，故―a<m≤a时，，由唯一性得xp=．显然当m=a时，xp取值最小．由于xp>0，从而取值最大，此时yp=2，∴S=a．当m=时，xp=―a2，yp=，此时S=a．下面比较a与a的大小：-4-\n令a=a，得a=．故当0<a≤时，，此时Smax=；当<a<时，，此时Smax=a．-4-
