综合模拟测试一(时间:120分钟 总分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列说法错误的是( )A.的平方根是±2B.是无理数C.是有理数D.是分数答案:D2.据分析,到2022年底,我国纯电驱动的新能源汽车销量预计达到250000辆,250000用科学记数法表示为( )A.2.5×106B.2.5×104C.2.5×10-4D.2.5×105解析:把250000变成2.5,小数点需要向左移动5位,于是250000可表示为2.5×105.答案:D3.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为,则△ABC与△DEF对应中线的比为( )A.B.C.D.答案:A4.在下列命题中,真命题有( )①邻补角的平分线互相垂直;②对角线互相垂直平分的四边形是正方形;③四边形的外角和等于360°;④矩形的两条对角线相等.A.1个B.2个C.3个D.4个解析:①③④正确,②错误.答案:C5.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则圆柱的侧面积为( )A.2B.4C.2πD.4π答案:D6.一个几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积为( )A.4πB.3πC.2π+4D.3π+4答案:D7.甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛,参赛学生每分钟录入汉字的个数统计结果如下表:班级参赛人数中位数方差平均数10\n甲55149191135乙55151110135某同学分析上表后得出如下结论:①甲、乙两班学生成绩平均水平相同;②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟录入汉字≥150个为优秀);③甲班成绩的波动比乙班大.上述结论正确的是( )A.①②③B.①②C.①③D.②③答案:A8.关于x的方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是( )A.k为任何实数,方程都没有实数根B.k为任何实数,方程都有两个不相等的实数根C.k为任何实数,方程都有两个相等的实数根D.根据k的取值不同,方程根的情况分为没有实数根,有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种解析:∵Δ=(2k)2-4(k-1)=4k2-4k+4=4+3≥3,∴k为任何实数,方程都有两个不相等的实数根.答案:B9.如图,函数y1=|x|和y2=x+的图象相交于(-1,1),(2,2)两点.当y1>y2时,x的取值范围是( )A.x<-1B.-1<x<2C.x>2D.x<-1或x>2答案:D10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,分析下列四个结论:①abc<0;②b2-4ac>0;③3a+c>0;④(a+c)2<b2,其中正确的结论为( )A.①②B.②④C.①③④D.①③解析:①因为抛物线的开口向下,所以a<0.因为抛物线与y轴交于正半轴,所以c>0.因为抛物线的对称轴在y轴左侧,所以b与a同号,即b<0.所以abc>0.故①错误.②因为抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0.故②正确.③当x=-2时,y<0,即4a-2b+c<0(1),10\n当x=1时,y<0,即a+b+c<0(2),(1)+(2)×2,得6a+3c<0,即2a+c<0.又因为a<0,所以a+(2a+c)=3a+c<0.故③错误.④当x=1时,y=a+b+c<0,当x=-1时,y=a-b+c>0,所以(a+b+c)(a-b+c)<0,即[(a+c)+b][(a+c)-b]=(a+c)2-b2<0.所以(a+c)2<b2.故④正确.综上所述,正确的结论为②④.故选B.答案:B二、填空题(每小题3分,共21分)11.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,则a+3b= . 解析:∵(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)=(3x-7)(2x-21-x+13)=(3x-7)(x-8),又由题意知,这个多项式可分解因式为(3x+a)(x+b),∴(3x-7)(x-8)=(3x+a)(x+b).∴a=-7,b=-8.∴a+3b=-7+3×(-8)=-7-24=-31.答案:-3112.若a2-b2=,a-b=,则a+b的值为 . 解析:利用平方差公式将a2-b2=变形为(a+b)(a-b)=.将a-b=整体代入可得(a+b)=.所以a+b=.答案:13.如图,在三角形纸片ABC中,AB=10cm,BC=7cm,AC=6cm,沿过点B的线段折叠这个三角形,使顶点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,则△AED的周长为 . 答案:9cm14.如图,在☉O中,已知∠BAC=∠CDA=20°,则∠ABO的度数为 . 解析:如图,连接OA.10\n由题意,得∠AOB=2(∠ADC+∠BAC)=80°.∵OA=OB,∴∠ABO=∠OAB=(180°-∠AOB)÷2=50°.答案:50°15.如图,在平面直角坐标系中,点O为原点,菱形OABC的对角线OB在x轴上,顶点A在反比例函数y=的图象上,则菱形的面积为 . 答案:416.如图,已知圆锥的高为,高所在直线与母线的夹角为30°,圆锥的侧面积为 . 答案:2π17.蜂巢的构造非常美丽、科学,如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络,正六边形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上.设定AB边如图所示,则△ABC是直角三角形的个数有 . 解析:如图,当AB是直角边时,点C共有6个位置,即有6个直角三角形;当AB是斜边时,点C共有4个位置,即有4个直角三角形.综上所述,△ABC是直角三角形的个数有6+4=10(个).答案:10三、解答题(69分)18.(5分)解不等式组:并把解集在如图的数轴上表示出来.10\n解:因为解不等式①,得x>2,解不等式②,得x<3,把不等式①②的解集在数轴上表示出来:所以不等式组的解集为2<x<3.19.(6分)甲、乙两名学生练习计算机录入汉字,甲录入一篇1000字的文章与乙录入一篇900字的文章所用的时间相同.已知甲每分钟比乙每分钟多录入5个汉字,问:甲、乙两人每分钟各录入多少个汉字?解:设乙每分钟录入x个汉字,根据题意,得.去分母,得1000x=900(x+5).解得x=45.经检验x=45是原方程的解.所以x+5=50.故甲每分钟录入50个汉字,乙每分钟录入45个汉字.20.(10分)在四张编号为A,B,C,D的卡片(除编号外,其余完全相同)的正面分别写上如图所示的正整数后,背面朝上,洗匀放好,现从中随机抽取一张(不放回),再从剩下的卡片中随机抽取一张.(1)请用画树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果;(卡片用A,B,C,D表示)(2)我们知道,满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为勾股数,求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率.解:(1)列表法:ABCDAABACADBABBCBDCACBCCDDADBDCD树状图(2)在A中,22+32≠42;在B中,32+42=52;在C中,62+82=102;在D中,52+122=132.则A中正整数不是勾股数,B,C,D中的正整数是勾股数.∴P=.21.(10分)如图,直线y=2x+2与y轴交于点A,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点M,过点M作MH10\n⊥x轴于点H,且tan∠AHO=2.(1)求k的值;(2)点N(a,1)是反比例函数y=(x>0)图象上的点,在x轴上是否存在点P,使得PM+PN最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由y=2x+2可知点A的坐标为(0,2),即OA=2.因为tan∠AHO=2,所以OH=1.因为MH⊥x轴,所以点M的横坐标为1.因为点M在直线y=2x+2上,所以点M的纵坐标为4,即M(1,4).因为点M在y=上,所以k=1×4=4.(2)存在点P使得PM+PN最小.因为点N(a,1)在反比例函数y=(x>0)上,所以a=4,即点N的坐标为(4,1).过点N作N关于x轴的对称点N1,连接MN1,交x轴于点P,此时PM+PN最小.因为N与N1关于x轴对称,点N的坐标为(4,1),所以N1的坐标为(4,-1).设直线MN1的解析式为y=kx+b(k≠0).由解得k=-,b=.所以直线MN1的解析式为y=-x+.令y=0,得x=.所以点P的坐标为.22.(12分)如图,AB是☉O的直径,AC是弦,CD是☉O的切线,C为切点,AD⊥CD于点D.10\n求证:(1)∠AOC=2∠ACD;(2)AC2=AB·AD.证明:(1)∵CD是☉O的切线,∴∠OCD=90°.∴∠ACD+∠ACO=90°.①∵OC=OA,∴∠ACO=∠CAO.∴∠AOC=180°-2∠ACO,即∠AOC+∠ACO=90°.②由①②得∠ACD=∠AOC,即∠AOC=2∠ACD.(2)如图,连接BC.∵AB是直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ACD与Rt△ABC中,∵∠AOC=2∠B,∴∠B=∠ACD.又∠ADC=∠ACB,∴△ACD∽△ABC.∴,即AC2=AB·AD.23.(12分)如图①,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE.点F是对角线BD上一动点(点F不与点B重合),将线段AF绕点A顺时针旋转60°得到线段AM,连接EM,FM.图①图②(1)求AO的长;(2)如图②,当点F在线段BO上,且点M,F,C三点在同一条直线上时,求证:AC=AM;(3)若△AEM的面积为40,请直接写出△AFM的周长.10\n(1)解:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OB=OD=BD.∵BD=24,∴OB=12.在Rt△OAB中,∵AB=13,∴OA==5.(2)证明:如题图②,∵四边形ABCD是菱形,∴BD垂直平分AC.∴FA=FC,∠FAC=∠FCA.由已知AF=AM,∠MAF=60°,∴△AFM为等边三角形.∴∠M=∠AFM=60°.∵点M,F,C三点在同一条直线上,∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°.∴∠FAC=∠FCA=30°.∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°.在Rt△ACM中,∵tan∠AMC=,∴tan60°=.∴AC=AM.(3)解:∵△ABE是等边三角形,∴AE=AB,∠EAB=60°.由(2)知△AFM为等边三角形,∴AM=AF,∠MAF=60°.∴∠EAM=∠BAF.在△AEM和△ABF中,∴△AEM≌△ABF(SAS).∵△AEM的面积为40,△ABF的高为AO,∴BF·AO=40,BF=16,∴FO=BF-BO=16-12=4,AF=,∴△AFM的周长为3.24.(14分)如图甲,抛物线y=-x2平移后过点A(8,0)和原点,顶点为B,对称轴与x轴相交于点C,与原抛物线相交于点D.(1)求平移后抛物线的解析式;(2)如图乙,直线AB与y轴相交于点P,点M为线段OA上一动点,∠PMN为直角,边MN与AP相交于点N,设OM=t,试探究:①当t为何值时,△MAN为等腰三角形?②当t为何值时,线段PN的长度最小,最小长度是多少?10\n解:(1)设平移后抛物线的解析式为y=-x2+bx,将点A(8,0)代入,得b=,即y=-x2+x.(2)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),由(1)知点B的坐标为(4,3),将A(8,0),B(4,3)代入,得直线AB的解析式为y=-x+6,如图,作NQ垂直于x轴于点Q.①当MN=AN时,点N的横坐标为,纵坐标为,由△NQM和△MOP相似可知,,解得t1=,t2=8(舍去).当AM=AN时,AN=8-t,由△ANQ和△APO相似可知NQ=(8-t),AQ=(8-t),MQ=.由△NQM和△MOP相似可知,得,解得t=18(舍去).当MN=MA时,∠MNA=∠MAN<45°,故∠AMN是钝角,显然不成立,故t=.②方法一:找出PN的中点E,连接EM,则EM=PE=PN.当EM垂直于x轴且M为OQ的中点时,PN最小,此时t=3,证明如下:假设t=3时M记为M0,E记为E0,10\n若M不在M0处,即M在M0左侧或右侧,若E在E0左侧或者E在E0处,则EM一定大于E0M0,而PE却小于PE0,这与EM=PE矛盾,故E在E0右侧,此时PE大于PE0,相应PN也会增大,故若M不在M0处时,PN大于M0处的PN的值,故当t=3时,MQ=3,NQ=,根据勾股定理可求出PM=3与MN=,PN=.故当t=3时,PN取最小值为.方法二:由MN所在直线方程为y=x-,与直线AB的解析式y=-x+6联立,得点N的横坐标为xN=,即t2-xNt+36-xN=0,令判别式Δ=-4≥0,得xN≥6或xN≤-24(舍).又因为0<xN<8,所以xN的最小值为6,此时t=3,当t=3时,点N的坐标为,此时PN取最小值为.10
