综合模拟测试三(时间:120分钟 总分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.方程x2+x-12=0的两个根为( )A.x1=-2,x2=6B.x1=-6,x2=2C.x1=-3,x2=4D.x1=-4,x2=3答案:D2.下列等式一定成立的是( )A.a2÷a3=a5B.(a-b)2=a2-b2C.(2ab2)3=6a3b6D.(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab答案:D3.在下列命题中,是真命题的是( )A.位似图形一定是相似图形B.等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C.四条边相等的四边形是正方形D.垂直于同一条直线的两条直线互相垂直解析:位似图形一定是相似图形,所以选项A是真命题;等腰梯形是轴对称图形,但不是中心对称图形,所以选项B是假命题;四条边相等的四边形是菱形,所以选项C是假命题;同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行,所以选项D是假命题.故选A.答案:A4.若不等式组的解集是x>2,则m的取值范围是( )A.m<1B.m≥1C.m≤1D.m>1解析:由第一个不等式得x>2,由第二个不等式得x>m+1.因为不等式组的解集是x>2,所以m+1≤2,所以m≤1.答案:C5.如图,将一张正六边形纸片的阴影部分剪下,拼成一个四边形,若拼成的四边形的面积为2a,则纸片的剩余部分的面积为( )A.5aB.4aC.3aD.2a答案:B6.将两个大小完全相同的杯子(如图甲)叠放在一起(如图乙),则图乙中实物的俯视图是( )9\n答案:C7.某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价,某团体需购买140张,其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍,则购买这两种票最少共需要( )A.12120元B.12140元C.12160元D.12200元解析:设购买票价为60元的票x张,由题意,得140-x≥2x,解得x≤,所以0≤x≤46(x取整数).购买这两种票的钱数为60x+100(140-x)=14000-40x,所以当x=46时,需要的钱数最少,且为12160元.答案:C8.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左或向右转.若这三种可能性大小相同,则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为( )A.B.C.D.答案:C9.函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是( )解析:当a>0时,直线从左向右是上升的,抛物线开口向上,B,D是错误的;函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图象必过点(0,1),A是错误的,故选C.答案:C10.学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛.各组的平时成绩的平均数(单位:分)及方差s2如下表所示:甲乙丙丁7887s211.211.8如果要选出一个成绩较好且状态稳定的小组去参赛,那么应选的小组是( )A.甲B.乙C.丙D.丁答案:C9\n二、填空题(每小题3分,共21分)11.当实数x的取值使得有意义时,函数y=4x+1中y的取值范围是 . 答案:y≥912.在△ABC中,D为AB边上一点,且∠BCD=∠A,已知BC=2,AB=3,则BD= . 答案:13.若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是-2,则另一个根是 . 答案:114.如图,AB为☉O的直径,点C,D在☉O上.若∠AOD=30°,则∠BCD的度数是 . 解析:∵∠AOD=30°,∴的度数为210°,∠BCD=105°.答案:105°15.如图,甲、乙两盏路灯底部间的距离是30m,一天晚上,当小华走到距路灯乙底部5m处时,发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部.已知小华的身高为1.5m,则路灯甲的高(不带灯罩)为 m. 解析:设路灯的高为xm,由三角形相似得,解得x=9,所以路灯甲的高为9m.答案:916.如图,∠ACB=90°,D为AB的中点,连接DC并延长到点E,使CE=CD,过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F.若BF=10,则AB的长为 . 答案:89\n17.如图,在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点B顺时针旋转α度,得到△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC,BC于点D,F,下列结论:①∠CDF=α,②A1E=CF,③DF=FC,④AD=CE,⑤A1F=CE.其中正确的是 (写出正确结论的序号). 解析:∵∠A1=∠A,∠A1ED=∠AEB,∴∠A1DE=∠A1BA=α.∴∠CDF=∠A1DE=α,①正确.∵∠C1=∠A,∠FBC1=∠EBA,BC1=AB,∴△FBC1≌△EBA.∴BF=BE,FC1=AE.∵A1B=BC,A1C1=AC,∴A1E=CF,A1F=CE.②⑤正确.答案:①②⑤三、解答题(69分)18.(6分)先化简,再求值:,其中x=-.解:原式==.当x=-时,原式==-.19.(8分)如图,点P的坐标为,过点P作x轴的平行线交y轴于点A,交双曲线y=kx(x>0)于点N,作PM⊥AN交双曲线y=kx(x>0)于点M,连接AM.已知PN=4.(1)求k的值;(2)求△APM的面积.解:(1)∵P,PN=4,∴N.把N代入y=kx,得k=9.(2)∵PM⊥AN,P,∴M(2,y),∵k=9,点M在双曲线y=kx上,把M(2,y)代入y=9x,得y=.9\n∴M.又P,∴MP=3,AP=2.∴S△APM=×2×3=3.20.(8分)为了了解学生关注热点新闻的情况,“两会”期间,小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查,调查结果统计如图所示(其中男生收看3次的人数没有标出).根据上述信息,解答下列各题:(1)该班级女生人数是 ,女生收看“两会”新闻次数的中位数是 ; (2)对于某个群体,我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%,试求该班级男生的人数;(3)为进一步分析该班级男生、女生收看“两会”新闻次数的特点,小明给出了男生的部分统计量(如下表).统计量平均数中位数众数方差…该班级男生3342…比较该班级男生、女生收看“两会”新闻次数的波动大小.解:(1)20 3(2)由题意得该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为×100%=65%,所以男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%.设该班男生有x人,则=60%,解得x=25.故该班男生有25人.(3)该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为1脳2+2脳5+3脳6+4脳5+5脳220=3,女生收看“两会”新闻次数的方差为=,因为2>,所以男生比女生的波动幅度大.21.(10分)为创建“国家卫生城市”,进一步优化市中心城区的环境,某市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施进行更新改造,根据市政的建设需要,需在60天内完成此工程.现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程.经调查:乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天,甲、乙两队合作完成此项工程需要30天,甲队每天的工程费用是2500元,乙队每天的工程费用是2000元.9\n(1)甲、乙两个工程队单独完成各需多少天?(2)请你设计一种符合要求的施工方案,并求出所需的工程费用.解:(1)设甲工程队单独完成该工程需x天,则乙工程队单独完成该工程需(x+25)天.根据题意得=1,即x2-35x-750=0.解得x1=50,x2=-15.经检验,x1=50,x2=-15都是原方程的解.但x2=-15不符合题意,应舍去.所以x=50.当x=50时,x+25=75.故甲工程队单独完成该工程需50天,则乙工程队单独完成该工程需75天.(2)此问题只要设计出符合条件的一种方案即可.有如下两种方案可供选择.方案一:由甲工程队单独完成.所需费用为2500×50=125000(元).方案二:甲、乙两队合作完成.所需费用为(2500+2000)×30=135000(元).22.(12分)已知AB是☉O的直径,点P在弧AB上(不含点A,B),把△AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在☉O上.(1)当P在AB上方而C在AB下方时(如图①),判断PO与BC的位置关系,并证明你的判断;(2)当P,C都在AB上方时(如图②),过点C作CD⊥直线AP于D,且PC=2PD,证明CD是☉O的切线.图①图②(1)解:PO∥BC.理由如下:如图①,∵△AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在☉O上,∴∠1=∠2.∵OA=OP,∴∠A=∠1.∴∠A=∠2.∵∠A=∠3,∴∠2=∠3.∴PO∥BC.9\n图①图②(2)证明:如图②,∵CD⊥直线AP,∴∠PDC=90°.∵PC=2PD,∴∠1=30°.∴∠2=60°.∵△AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在☉O上,∴∠3=∠4.∴∠3=×(180°-60°)=60°.而OP=OC,∴△OPC为等边三角形.∴∠5=60°.∴∠OCD=∠1+∠5=90°.∴OC⊥CD,∴CD是☉O的切线.23.(12分)已知△ABC,分别以AB,AC为边作△ABD和△ACE,且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC与BE,G,F分别是DC与BE的中点.(1)探索发现:如图①,若∠DAB=60°,则∠AFG= ;如图②,若∠DAB=90°,则∠AFG= . (2)探究证明如图③,若∠DAB=α,试探究∠AFG与α的数量关系?并给予证明.(3)动手实践:如果∠ACB为锐角,AB≠AC,∠BAC≠90°,点M在线段BC上运动,连接AM,以AM为一边,以点A为直角顶点,且在AM的右侧作等腰直角△AMN,连接NC.试探究:若NC⊥BC(点C,M重合除外),则∠ACB等于多少度?请同学们自己动手画出相应图形.(画图不写作法)解:(1)60° 45°(2)连接AG,9\n∵∠DAB=∠CAE,∴∠DAC=∠BAE.又AD=AB,AC=AE,∴△ADC≌△ABE(SAS).∴∠1=∠2.又DG=DC,BF=BE,于是DG=BF,且AD=AB,∴△ADG≌△ABF(SAS).∴AG=AF,且∠DAG=∠BAF,于是易得∠GAF=∠DAB=α.也就是说△AGF是顶角为α的等腰三角形,∴∠AFG=90°-伪2.(3)简易画图步骤:1.先画等腰直角三角形AMN;2.找个点C,使得CM⊥CN;3.在CM的延长线上任取一点B,连接AB,AC.(作图不计分)过点A作AC的垂线交BC于点G,由于∠1和∠2均与∠MAC互余,∴∠1=∠2.由于∠3和∠4均与∠ACM互余,∴∠3=∠4.又AM=AN,∴△AMG≌△ANC(AAS).∴AG=AC.又AG⊥AC,∴△AGC为等腰直角三角形.∴∠ACB=∠ACG=45°.24.(13分)如图,已知抛物线C0:y=x2,顶点记作A0.首先我们将抛物线C0关于直线y=1对称翻折过去得到抛物线C1称为第一次操作,再将抛物线C1关于直线y=2对称翻折过去得到抛物线C2称为第二次操作,……,将抛物线Cn-1关于直线y=2n-1对称翻折过去得到抛物线Cn(顶点记作An)称为第n次操作(n=1,2,3…).设抛物线C0与抛物线C1交于两点B0与B1,顺次连接A0,B0,A1,B1四个点得到四边形A0B0A1B1,抛物线C2与抛物线C3交于两点B2与B3,顺次连接A2,B2,A3,B3四个点得到四边形A2B2A3B3,……,抛物线Ck-1与抛物线Ck交于两点Bk-1与Bk,顺次连接Ak-1,Bk-1,Ak,Bk四个点得到四边形Ak-1Bk-1AkBk(k=1,3,5…).(1)请分别直接写出抛物线Cn(n=1,2,3,4)的解析式.(2)一系列四边形Ak-1Bk-1AkBk(k=1,3,5…)为哪种特殊的四边形(说明理由)?它们都相似吗?如果全都相似,请证明之;如果不全都相似,请举出一对不相似的反例.(3)试归纳出抛物线Cn的解析式,无需证明.并利用你归纳出来的Cn的解析式求四边形Ak-1Bk-1AkBk(k=1,3,5…)的面积(用含k的式子表示).9\n解:(1)C1:y=-x2+2;C2:y=x2+2;C3:y=-x2+6;C4:y=x2+10.(2)根据抛物线的对称性以及翻折的原理不难得出四边形Ak-1Bk-1AkBk(k=1,3,5…)的两条对角线Bk-1Bk与Ak-1Ak互相垂直且平分,故一系列四边形Ak-1Bk-1AkBk均为菱形;它们并不都相似,反例:四边形A0B0A1B1和四边形A2B2A3B3不相似,理由如下:不难算出A0A1=B0B1=2,于是四边形A0B0A1B1为正方形.而A2A3=4,B2B3=2,即A2A3≠B2B3,四边形A2B2A3B3为菱形.故它们不相似.(3)抛物线Cn的解析式为y=由于四边形Ak-1Bk-1AkBk(k=1,3,5…)是抛物线Ck-1关于直线y=2k-1翻折得到抛物线Ck后连接交点和顶点所形成的图形,利用上述结论不难得出:Ak-1Ak=.∴Bk-1Bk==2.∴·Ak-1Ak·Bk-1Bk=·(2k-1+2)·.9
