三角形（含多边形及其内角和）一、选择题1.（2022湖南长沙，4题，3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.4cm,5cm,9cmB.8cm,8cm,15cmC.5cm,5cm,10cmD.6cm,7cm,14cm【答案】B【解析】三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。A选项中4+5=9，两边之和等于第三边，故A错误；C选项5+5=10，两边之和等于第三边，故C错误；D选项6+7=13<14，两边之和小于第三边，故D错误；B选项8+8=16>15，故B正确。【知识点】三角形三边关系2.（2022山东省济宁市，8，3）如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E=300°.DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是()A.50°B.55°C.60°D.65°13\n【答案】D【解析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°-300°=240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点P，∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，∴∠P=180°-120°=60°，因此，本题应该选D.【知识点】多边形的内角和公式角平分线的定义3.（2022浙江杭州，5，3分）若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】AM和AN可以看成是直线为一定点到直线上两定点的距离，由垂线段最短，则，再考虑特殊情况，当AB=AC的时候AM=AN【知识点】垂线段最短4.（2022宁波市，5题，4分）已知正多边形的一个外角等于40°,那么这个正多边形的边数为A．6B．7C．8D．9【答案】D【解析】利用正多边形的每个外角都相等，外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数解：360°÷40°=9【知识点】多边形外角和1.（2022湖北鄂州，5，3分）一副三角板如图放置，则∠AOD的度数为（）A．75°B．100°C．105°D．120°13\n【答案】C【解析】如下图（1），由题意可知，∠ABC＝45°，∠DBC＝30°，∴∠ABO＝∠ABC－∠DBC＝45°－30°＝15°，又∵∠BOC是△AOB的一个外角，∴∠BOC＝∠ABO＋∠A＝15°＋90°＝105°，∴∠AOD＝∠BOC＝105°．【知识点】三角形的外角；对顶角2.（2022内蒙古呼和浩特，3，3分）已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（）A.九边形B.八边形C.七边形D.六边形答案B【解析】设这个多边形为n边形，则（n-2）180=1080，解得n=8，故选B.【知识点】多边形的内角和3.（2022河北省，1，3）下列图形具有稳定性的是()【答案】A【解析】三角形是具有稳定性的图形，故选A．13\n【知识点】三角形的稳定性4.（2022福建A卷，3，4）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是()A．1，1，2B.1，2，4C.2，3，4D.2，3，5【答案】C【解析】三数中，若最小的两数和大于第三数，符合三角形的三边关系，则能成为一个三角形三边长，否则不可能．解：∵1＋1=2，∴选项A不能；∵1＋2＜4，∴选项B不可能；∵2＋3＞4，∴选项C能；∵2＋3=5，∴选项D不能．故选C．【知识点】三角形三边的关系5.（2022福建A卷，4，4）一个边形的内角和是360°，则等于()A．3B.4C.5D.6【答案】B【解析】先确定该多边形的内角和是360゜，根据多边形的内角和公式，列式计算即可求解．解：∵多边形的内角和是360゜，∴多边形的边数是：360゜=(-2)×180°，=4.【知识点】多边形；多边形的内角和6.（2022福建B卷，3，4）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是()A．1，1，2B.1，2，4C.2，3，4D.2，3，5【答案】C【解析】三数中，若最小的两数和大于第三数，符合三角形的三边关系，则能成为一个三角形三边长，否则不可能．解：∵1＋1=2，∴选项A不能；∵1＋2＜4，∴选项B不可能；∵2＋3＞4，∴选项C能；∵2＋3=5，∴选项D不能．故选C．【知识点】三角形三边的关系13\n7.（2022福建B卷，4，4）一个边形的内角和是360°，则等于()A．3B.4C.5D.6【答案】B【解析】先确定该多边形的内角和是360゜，根据多边形的内角和公式，列式计算即可求解．解：∵多边形的内角和是360゜，∴多边形的边数是：360゜=(-2)×180°，=4.【知识点】多边形；多边形的内角和8.（2022四川雅安，5题，3分）已知n边形的每个外角都等于60°，则它的内角和是A.180°B.270°C.360°D.720°【答案】D【解析】n边形的外角和为360°，因为每个外角都等于60°，所以这个多边形是六边形，所以内角和=(6-2)×180°=720°，故选D【知识点】多边形的内角和、外角和9.（2022浙江省台州市，7，3分）正十边形的每一个内角的度数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】要计算正十边形的内角，首先利用内角和公式计算出正十边形的内角和，然后再计算每一个内角.∵（10-2）×180°=1440°，∴1440°÷10=144°，还有1种解法，利用正多边形的外角和是360°进行计算，360°÷10=36°，180°-36°=144°，故选D.【知识点】正多边形的内角和公式，外角和是360°；邻补角的定义；10.（2022·北京，5，2）若正多边形的一个外角为60°，则该多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°13\n【答案】C．【解析】∵正多边形的一个外角为60°，∴该正多边形的边数n＝＝6．∴正多边形的的内角和＝(6－2)×180°＝720°．故选C．【知识点】多边形的内角和；正多边形11.（2022江苏省宿迁市，6，3）若实数m、n满足等式∣m－2∣＋＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12B．10C．8D．6【答案】B【解析】根据两个非负数的和为0，则各自为0．∴m－2＝0，n－4＝0．∴m＝2，n＝4．根据三角形中两边之和大于第三边，则三条边长分别是2，4，4，∴周长是10．故选B．【知识点】非负数的性质，三角形的三边关系二、填空题1.（2022山东滨州，13，5分）在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝50°，则∠C＝___________．【答案】100°【解析】∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠C＝100°【知识点】三角形内角和定理。2.（2022甘肃白银，13，4）若正多边形的内角和是1080°，则该正多边的边数是。【答案】8【解析】由多边形的内角公式得：，解得：n=8.故填8.【知识点】多边形的内角和公式：多边形的内角和=13\n3.（2022甘肃白银，15，4）已知是△ABC的三边长，满足，为奇数，则=。【答案】7.【解析】∵∴，即a=7,b=1∴由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得到：7-1<<7+1即：6<<8又因为为奇数，所以=7.故填7.【知识点】非负数性质，三角形的三边关系定理，奇数与偶数的概念。4.（2022山东聊城，16，3分）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是.【答案】180°或360°或540°【解析】如图所示，一个正方形被截掉一个角后，可能得到如下的多边形：∴这个多边形的内角和是180°或360°或540°.【知识点】三角形、四边形、五边形的内角和公式5.（2022四川广安，题号12，分值：3）一个n边形的每个内角的等于108°，那么n=____.【答案】5.【解析】根据多边形的内角和公式可知(n-2)×180°=108n，13\n解得n=5.【知识点】多边形的内角和6.（2022江苏泰州，12，3分）已知三角形两边的长分别为1,5，第三边长为整数，则第三边的长为.【答案】5【解析】由“三角形三边关系”得5－1＜第三边的长＜5＋1，即4＜第三边的长＜6，又因为第三边长为整数，所以第三边的长为5.【知识点】三角形三边关系1.(2022山东菏泽，11，3分)若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是．【答案】8【解析】∵每一个内角为135°，∴每一个外角是45°，360°÷45°=8，∴这个正多边形的边数是8．【知识点】正多边形的内角和、外角和；2.（2022贵州遵义，16题，4分）每一层三角形的个数与层数的关系如下图所示，则第2022层的三角形个数为_____个第16题图【答案】4035【解析】每层的三角形个数构成一个等差数列：1,3,5，......，第n层有三角形(2n-1)个，所以第2022层有4035个三角形【知识点】找规律3.（2022湖南郴州，11，3）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是.【答案】720°13\n【解析】先确定该多边形的外角和是360゜，根据多边形的每一个外角都相等，多边形的边数＝360°÷60°=6，再代入内角和公式（n－2）·180°求解即可．【知识点】多边形；多边形的外角和4.（2022河北省，19，3）如图（1），作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，∠BPC＝90°，而90°2＝45°是360°（多边形外角和）的18，这样就恰好可以作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图（2）所示．图（2）中的图案外轮廓周长是；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是．【答案】14，21【解析】外轮廓一共14条边，∴周长是14．故第一个空填14．当∠BPC＝120°时，图案由三个正六边形组成，外部轮廓一共12条边，故周长是12；当∠BPC＝60°时，图案的上方是一个等边三角形，下方是两个正十二边形，外部轮廓一共21条边，∴周长是21．当∠BPC＜60°，不能构成符合要求的图案．∴外部轮廓的最大周长是21，故第（2）空填21．【知识点】正多边形的周长，图形的镶嵌5.（2022江苏省宿迁市，12，3）一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是．【答案】8【解析】设边数为n，则（n－2）×180°＝360°×3．n＝8．故填8．【知识点】多边形的内角和与外角和13\n6.（2022陕西，12，3分）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为．【答案】72°【解析】∵五边形内角和为（5－2）·180°=540°．∴∠ABC=∠BAE=540°÷5=108°．∵AB=BC,∴∠BAC=∠ACB=．同理：∠ABE=36°．∴∠AFE=∠BAC＋∠ABE=36°＋36°=72°．【知识点】正多边形，等腰三角形三、解答题1.（2022山东省淄博市，19，5分）已知：如图，△ABC是任意一个三角形.求证：∠A+∠B+∠C=180°.【思路分析】经过点A作BC的平行线，将三角形各内角转移到一个顶点上即可.13\n【解题过程】证明：过点A作DE∥BC.∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC.∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°∴∠BAC+∠B+∠C=180°【知识点】平行线的性质1.（2022湖北宜昌，18，7分）如图，在中，，,的外角的平分线交的延长线于点.(1)求的度数；(2)过点作,交的延长线于点.求的度数.(第18题图)【思路分析】（1）由直角三角形的两个锐角互余，求出∠ABC,由补角求出∠DBC,再由外角的平分线，求出∠CBE.(2)由直角三角形的两个锐角互余，求出再根据平行线的性质，求出∠F.【解析】解：(1)在中，,,13\n,∴,∵是的平分线，.(2)∵,,∵,∴.【知识点】直角三角形的两个锐角互余，角的平分线，平行线的性质.2.（2022江西，15，6分）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB＝2CD，E为AB的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹)．(1)在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；(2)在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的AD边上的高．第15题图【思路分析】(1)连接CE，∵AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点，∴四边形AECD是平行四边形.由AECD得DC＝AE＝BE，∴四边形EBCD也是平行四边形，∴AF为BD上的中线．（2）由(1)知AF、DE为等腰△ABD两腰上的中线，∴G是等腰△ABD三条中线的交点，故连接BG并延长交AD于H，则利用三线合一知BH为高．【解析】(1)如解图①，AF为所求；如解图②，BH为所求．13\n第15题解图①第15题解图②【知识点】等腰三角形，平行四边形，创新作图13
