四边形(时间:90分钟 总分:120分)一、选择题(每小题4分,共40分)1.当多边形的边数增加1时,它的内角和与外角和( ) A.都不变B.内角和增加180°,外角和不变C.内角和增加180°,外角和减少180°D.都增加180°2.李明设计了下面四种正多边形的瓷砖图案,用同一种瓷砖可以平面密铺的是( )A.①②④B.②③④C.①③④D.①②③3.如图,在平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,对角线AC,BD相交于点O,则OA的取值范围是( )A.3cm<OA<5cmB.2cm<OA<8cmC.1cm<OA<4cmD.3cm<OA<8cm4.如图,矩形ABCD的周长为20cm,两条对角线相交于点O,过点O作AC的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F,连接CE,则△CDE的周长为( )A.10cmB.9cmC.8cmD.5cm5.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AC⊥BC,点E是AB的中点,EC∥AD,则∠ABC等于( )A.75°B.70°C.60°D.30°6.如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,AF⊥DE于点O,则等于( )A.B.C.D.10\n7.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,E,F分别是BC,CD的中点,连接AE,EF,AF,则△AEF的周长为( )A.2B.3C.4D.38.如图,菱形ABCD由6个腰长为2,且全等的等腰梯形镶嵌而成,则线段AC的长为( )A.3B.6C.3D.69.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为( )A.16B.17C.18D.1910.正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示,点G在线段DK上,正方形BEFG的边长为4,则△DEK的面积为( )A.10B.12C.14D.16二、填空题(每小题4分,共24分)11.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,OA=OC,OB=OD,添加一个条件使四边形ABCD是菱形,那么所添加的条件可以是 (写出一个即可). 12.已知正六边形的边长为1cm,分别以它的三个不相邻的顶点为圆心,1cm长为半径画弧(如图),则所得到的三条弧的长度之和为 cm.(结果保留π) 10\n13.如图所示,两个全等菱形的边长为1米,一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,行走2015米停下,则这个微型机器人停在点 . 14.如图,边长为1的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点A顺时针旋转45°,则这两个正方形重叠部分的面积是 . 15.如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠ADC+∠BCD=90°,且DC=2AB,分别以DA,AB,BC为边向梯形外作正方形,其面积分别为S1,S2,S3,则S1,S2,S3之间的关系是 . 16.如图,在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB,PQ,则△PBQ周长的最小值为 cm.(结果不取近似值) 三、解答题(56分)17.(6分)已知,如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.(1)求证:△AFD≌△CEB;(2)四边形ABCD是平行四边形吗?请说明理由.18.(8分)如图,在▱ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,连接DE,BF,BD.10\n(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)若AD⊥BD,则四边形BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论.19.(10分)如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.(1)试说明AC=EF;(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.20.(10分)如图,把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A'B'CD'(此时,点B'落在对角线AC上,点A'落在CD的延长线上),A'B'交AD于点E,连接AA',CE.求证:(1)△ADA'≌△CDE;(2)直线CE是线段AA'的垂直平分线.21.(10分)如图,△ADC,△ABE,△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.(1)当AB≠AC时,证明四边形ADFE为平行四边形;(2)当AB=AC时,顺次连接A,D,F,E四点所构成的图形有哪几类?直接写出构成图形的类型和相应的条件.22.(12分)如图是小红设计的钻石形商标,△ABC是边长为2的等边三角形,四边形ACDE是等腰梯形,AC∥ED,∠EAC=60°,AE=CD=1.10\n(1)求证:△ABE≌△CBD;(2)图中存在多对相似三角形,请你找出一对进行证明,并求出其相似比(不添加辅助线,不找全等的相似三角形);(3)小红发现AM=MN=NC,请证明此结论;(4)求线段BD的长.##一、选择题(每小题4分,共40分)1.B 多边形的外角和为360°,与边数无关;由内角和公式(n-2)180°得n增加1,内角和增加180°,故选B.2.A ③是正五边形,几个正五边形的内角绕着一点不能拼成一个周角,所以正五边形不可以密铺.3.C 在△ABC中,BC-AB<AC<AB+BC,所以2cm<AC<8cm,所以1cm<OA<4cm.4.A ∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,AB=CD,OA=OC.∵EF⊥AC,∴AE=CE.∴CE+CD+ED=AE+ED+CD=AD+CD=(AB+BC+CD+AD)=×20=10(cm).5.C 由题知:CE=AB=BE,∵CE∥AD,DC∥AB,∴AECD为平行四边形.∴CE=AD=BC.∴CE=BE=BC.∴△BCE为等边三角形.∴∠ABC=60°.故选C.6.D ∵E为AB的中点,∴AE=AB.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD.∴AE=AD.由△OAE∽△ODA得,则.7.B 由对称性知,AE=AF.如图,连接AC,由题意可得,AE,AF分别是等边△ABC,△ADC顶角的平分线,∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°,10\n∴∠EAF=60°.∴△AEF是等边三角形.在Rt△ABE中,由勾股定理可得,AE=,∴△AEF的周长为3,故选B.8.D ∵菱形ABCD由6个腰长为2,且全等的等腰梯形镶嵌而成,∴分析图形可得,这个菱形的边长为6,且较小的内角为60°.连接AC,BD交于点O,则AC⊥BD,AC=2AO,∠CAB=∠DAB=30°.在Rt△AOB中,∠CAB=30°,AB=6,∴AO=ABcos∠CAB=6×=3.∴AC=2AO=6.故选D.9.B 如图,由正方形的性质可知,∠FAE=∠AFE=45°.∴AE=EF.又∵EF=EB,∴AE=EF=EB.∴EF=AB=3.∴S1=3×3=9.设DN=x,则由勾股定理得MN=x.∴NK=KC=MN=x.由勾股定理得NC=NK=2x.∴DC=DN+NC=3x.∴3x=6.∴x=2.∴NK=x=2.∴S2=(2)2=8.∴S1+S2=9+8=17.故选B.10.D 设正方形ABCD的边长为a,正方形RKPF的边长为c,可得S△DEK=S正方形ABCD+S正方形BEFG+S正方形RKPF+S△REK-S△DCG-S△GKP-S△ADE=a2+42+c2+c(4-c)-a(a-4)-c(4+c)-a(4+a)=a2+16+c2+2c-c2-a2+2a-2c-c2-2a-a2=16.故选D.二、填空题(每小题4分,共24分)11.AB=AD(答案不唯一) ∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.∵邻边相等的平行四边形是菱形,∴添加的条件可以是AB=AD(答案不唯一).12.2π ∵正六边形的内角为120°,10\n∴每条弧的长度为圆周长的.∴三条弧的长度之和为圆的周长,等于2πcm.13.G 机器人从A点开始循环运动一次经过9个点运动8米,而运动1米一个点,所以2015÷8=251余7,即循环运动251次余7米,故到点G停止.14.-1 在Rt△ABC中,∵AB=BC=1,∠CAB=45°,∴AC=.又∵AD'=1,∴CD'=-1.在Rt△CD'E中,∵∠D'CE=45°,∴CD'=D'E=-1.∴这两个正方形重叠部分的面积是S△ABC-S△CD'E=×1×1-×(-1)2=-1.15.S2=S1+S3 如图,过点B作BE∥AD,交BC于点E,则∠BEC=∠ADC.∵∠ADC+∠BCD=90°,∴∠BEC+∠BCD=90°.∴△BEC为直角三角形.∵其面积为S1,S2,S3的正方形的边长为DA=,AB=,BC=,又∵DC=2AB,AB=DE,DA=BE,∴EC=,BE=.在Rt△BEC中,BE2+BC2=EC2,∴S2=S1+S3.16.(+1) 如图,连接QD交AC于点P,连接BP,BD.∵点D是点B关于直线AC的对称点,而AC垂直平分BD,∴PB=PD.∴PB+PQ=PD+PQ=QD最小.在Rt△DCQ中,QC=1,DC=2,∴QD=.∴△PBQ周长的最小值为(+1)cm.三、解答题(56分)17.解:(1)证明：∵DF∥BE,∴∠DFA=∠BEC.∵在△AFD和△CEB中,DF=BE,∠DFA=∠BEC,AF=CE,10\n∴△AFD≌△CEB(SAS).(2)四边形ABCD是平行四边形,理由如下:∵△AFD≌△CEB,∴AD=CB,∠DAF=∠BCE.∴AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形.18.解:(1)证明：在▱ABCD中,∠A=∠C,AD=CB,AB=CD,∵E,F分别是AB,CD的中点,∴AE=CF.在△AED和△CFB中,∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)若AD⊥BD,则四边形BFDE是菱形.∵AD⊥BD,∴△ABD是直角三角形,且AB是斜边.∵E是AB的中点,∴DE=AB=BE.由题意知EB∥DF,且EB=DF,∴四边形BFDE是平行四边形.∵DE=BE,∴四边形BFDE是菱形.19.解:(1)∵△ABE是等边三角形,FE⊥AB于点F,∴∠AEF=30°,AB=AE,∠EFA=90°.在Rt△AEF和Rt△BAC中,∴△AEF≌△BAC(AAS).∴AC=EF.(2)∵△ACD是等边三角形,∴∠DAC=60°,AC=AD.∴∠DAB=60°+30°=90°.又EF⊥AB,∴∠EFA=90°=∠DAB.∴AD∥EF.又∵AC=EF(已证),AC=AD,∴AD=EF.∴四边形ADFE是平行四边形.20.解：证明：(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADC=90°.∴∠A'DE=90°,根据旋转的方法可得,∠EA'D=45°.∴∠A'ED=45°.∴A'D=DE.在△AA'D和△CED中,∴△AA'D≌△CED.(2)∵AC=A'C,∴点C在AA'的垂直平分线上.10\n∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠CAE=45°.∵AC=A'C,CD=CB',∴AB'=A'D.在△AEB'和△A'ED中,∴△AEB'≌△A'ED,∴AE=A'E.∴点E也在AA'的垂直平分线上.∴直线CE是线段AA'的垂直平分线.21.解:(1)证明：∵△ABE,△BCF为等边三角形,∴AB=BE=AE,BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF=60°.∴∠FBE=∠CBA.∴△FBE≌△CBA.∴EF=AC.又△ADC为等边三角形,∴CD=AD=AC.∴EF=AD.同理可得AE=DF.∴四边形AEFD是平行四边形.(2)构成的图形有两类,一类是菱形,一类是线段.当图形为菱形时,∠BAC≠60°(或A与F不重合、△ABC不为正三角形);当图形为线段时,∠BAC=60°(或A与F重合、△ABC为正三角形).22.解:(1)证明：∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∠BAC=∠BCA=60°.∵四边形ACDE是等腰梯形,∠EAC=60°,∴∠ACD=∠CAE=60°.∴∠BAC+∠CAE=120°=∠BCA+∠ACD,即∠BAE=∠BCD.在△ABE和△CBD中,∴△ABE≌△CBD.(2)答案不唯一.如△ABN∽△CDN.∵∠BAN=60°=∠DCN,∠ANB=∠DNC,∴△ANB∽△CND.其相似比为=2.(3)由(2)得=2,∴CN=AN=AC.同理AM=AC.∴AM=MN=NC.(4)如图,作DF⊥BC交BC的延长线于点F,10\n∵∠BCD=120°,∴∠DCF=60°.在Rt△CDF中,∴∠CDF=30°.∴CF=CD=.∴DF=.在Rt△BDF中,BF=BC+CF=2+,DF=,∴BD=.10
