空间与图形(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1.(2022·昆明)左下图是由3个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是()2.如图，AB∥CD，∠CDE=140°，则∠A的度数为()A.140°B.60°C.50°D.40°3.下列4个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.(2022·兰州)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于()A.B.C.D.5.下列命题中的真命题是()A.三个角相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形D.正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形6.(2022·嘉兴)如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为()A.2B.4C.6D.87.(2022·天津)正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是()A.B.2C.3D.28\n8.(2022·益阳)如图，平行四边形ABCD中，E,F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，那么添加的条件不能是()A.AE=CFB.BE=FDC.BF=DED.∠1=∠29.(2022·淄博)如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C.则矩形的一边AB的长度为()A.1B.C.D.210.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF.下列结论中正确的个数有()①∠EAF=45°，②△ABE∽△ACD，③EA平分∠CEF，④BE2+DC2=DE2.A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(每小题4分，共24分)11.如图，AB=AC，AD=AE，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于.12.如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A(1,0)与点A′(-2,0)是对应点，△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是.13.(2022·兰州)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于.8\n14.如图，正方形ABCD的边长为1，若将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，连接AD′，则sin∠D′=.15.如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E，F分别是PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2，若S=2，则S1+S2=.16.如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，则AD的长为.三、解答题(共66分)17.(8分)如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC.(1)求证：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数.18.(8分)(2022·孝感模拟)如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF.求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形BFDE是平行四边形.8\n19.(8分)如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，连接BE、CD，其交点为O.(1)如果AB=AC，AD=AE，求证：OB=OC；(2)在①OB=OC，②BD=CE，③∠ABE=∠ACD，④∠BDC=∠CEB四个条件中选取两个作为条件，就能得到结论“△ABC是等腰三角形”，那么这两个条件可以是：(只要填写一种情况).20.(8分)(2022·益阳)如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5°.请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置.(以A，B为参照点，结果精确到0.1米)(参考数据：sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50)21.(10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE.(1)求证：AB⊥AE；(2)若BC2=AD·AB，求证：四边形ADCE为正方形.8\n22.(12分)(2022·自贡)如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=6cm.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积.(结果保留π)23.(12分)(2022·威海)猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论.拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为.(2)如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明(1)中的结论仍然成立.参考答案1.B2.D3.B4.D5.C6.D7.B8.A9.C10.C11.70°12.613.36°14.15.816.5π8\n17.(1)证明：∵∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，∴∠ABE=∠CBD=90°.在△ABE和△CBD中，∴△ABE≌△CBD(SAS).(2)∵AB=CB，∠ABC=90°，∴∠CAB=45°.又∵∠CAE=30°，∴∠BAE=15°.∵△ABE≌△CBD，∴∠BCD=∠BAE=15°.∴∠BDC=90°-∠BCD=90°-15°=75°.18.(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠A=∠C.在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF(SAS).(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC且AD∥BC.∵AE=CF，∴DE=BF.又∵DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形.19.(1)证明：在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD(SAS).∴∠ABE=∠ACD.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∴∠OBC=∠OCB.∴OB=OC.(2)①③或①④或②③或②④.20.设PD=x米.∵PD⊥AB，∴∠ADP=∠BDP=90°.在Rt△PAD中，tan∠PAD=，∴AD=≈=x.在Rt△PBD中，tan∠PBD=，∴DB=≈=2x.又∵AB=80.0，∴x+2x=80.0.解得x≈24.6.即PD≈24.6.∴DB=2x≈49.2.答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米.21.证明：(1)∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°.8\n又∵∠DCE=90°,∴∠ACD+∠ACE=90°.∴∠ACE=∠BCD.在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴∠CAE=∠B=45°.∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°.∴AB⊥AE.(2)∵BC2＝AD·AB,∴=.又∵AC=BC,∴=.∵∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC.∴∠ADC=∠ACB=90°.又∵∠BAE=∠DCE=90°,∴四边形ADCE是矩形.∵DC=CE,∴四边形ADCE为正方形.22.(1)证明：连接CO，交DB于E，∵∠CDB=30°，∴∠O=2∠D=60°.又∵∠OBE=30°，∴∠BEO=180°-60°-30°=90°.∵AC∥BD，∴∠ACO=∠BEO=90°.∴AC是⊙O的切线.(2)∵OE⊥DB，∴EB=DB=3cm.在Rt△EOB中，cos30°=，∴OB=3÷=6(cm).又∵∠D=∠DBO，DE=BE，∠CED=∠OEB，∴△CDE≌△OBE(ASA).∴S△CDE=S△OBE.∴S阴影=S扇形OCB=π·62=6π(cm2).23.猜想与证明：猜想：DM=ME.证明：如图1，延长EM交AD于点H，8\n∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM.在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH(ASA).∴HM=EM.在Rt△HDE中，HM=EM，∴DM=HM=ME，即DM=ME.拓展与延伸：(1)∵正方形是特殊的矩形，∴DM=ME.(2)如图2，连接AC.∵四边形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，∴A、E、C在同一条直线上.在Rt△ADF中，AM=MF，∴DM=AM=MF.在Rt△AEF中，AM=MF，∴AM=MF=ME，∴DM=ME.8
