第20讲特殊的平行四边形考点1矩形矩形的定义有一个角是①的平行四边形叫做矩形.矩形的性质(1)矩形具有平行四边形所有的性质.(2)矩形的四个角都是②，对角线互相平分并且③.(3)矩形既是一个轴对称图形，它有两条对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心就是④.矩形的判定(1)定义法.(2)有三个角是直角的四边形是矩形.(3)⑤的平行四边形是矩形.考点2菱形菱形的定义有一组⑥的平行四边形叫做菱形.菱形的性质(1)菱形具有平行四边形所有的性质.(2)菱形的四条边⑦，对角线互相⑧，并且每条对角线平分一组对角.(3)菱形既是一个轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心就是⑨.(4)菱形的面积等于对角线乘积的⑩.菱形的判定(1)定义法.(2)四条边⑪的四边形是菱形.(3)对角线⑫的平行四边形是菱形.考点3正方形正方形的定义有一组邻边⑬，并且有一个角是⑭的平行四边形叫做正方形.正方形的性质(1)正方形的四条边⑮，四个角都是⑯，对角线互相且，并且每一条对角线平分一组对角，具有矩形和菱形的所有性质.(2)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有条，对称中心是对角线的交点.正方形的判定(1)有一组邻边相等的是正方形.(2)有一个角是直角的是正方形.(3)对角线的四边形是正方形.【易错提示】在判定矩形、菱形、正方形时，要注意明确是在“四边形”还是“平行四边形”的基础上.1.牢固掌握矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定定理，它们大多是从边、角、对角线三个方面来描述的，分类记忆，便于灵活应用.2.适当进行动手操作训练，从实践中认识特殊平行四边形的轴对称性和中心对称性，再进行相应的证明和计算，也是正确解答综合性问题的有效途径.命题点1矩形的性质与判定例1(2022·12\n巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E,F，连接BE,CF.(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明；(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由.【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH或BE∥CF或∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH；(2)由(1)可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形.【解答】方法归纳：矩形具有平行四边形的所有性质，同时也具有其特殊的性质；判定矩形的方法是多样的，可以先判定这个四边形是平行四边形，然后利用一内角为90°或对角线相等判定矩形.1.(2022·重庆B卷)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()A.30°B.60°C.90°D.120°2.在数学活动课上，老师要同学们判断自己的课桌是不是矩形，经过测量，小明说：“我的课桌是矩形，我测量了对角线相等.”小华说：“我的课桌也是矩形，我测量了一组对角是直角.”小丽说：“那我的课桌更是矩形，我测量了其中三个角都为直角.”请问说法不正确的同学有()A.0位B.1位C.2位D.3位3.(2022·邵阳)如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件，使四边形ABCD为矩形.4.(2022·泉州)已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF.求证：AF=CE.12\n命题点2菱形的性质与判定例2(2022·莱芜)如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α(α<60°)，D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F,连接DE,BE,DF.(1)求证：BE=CD；(2)若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明.【思路点拨】(1)根据等腰三角形及旋转的性质，利用SAS证△EAB≌△DAC，进而得出结论；(2)先证BE=BD=CD，再证EB=EF，则BE=EF=BD，又EF∥BD，即可得证四边形BDFE为菱形.【解答】方法归纳：菱形的判定一般先判定为平行四边形，然后从内角、邻边或对角线这三个角度分析，也可直接判定四条边相等.1.(2022·宁波)菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是()A.10B.8C.6D.52.(2022·重庆A卷)如图，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为.3.(2022·常州)如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA.求证：四边形ABCD是菱形.12\n命题点3正方形的性质与判定例3(2022·南京)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形.【思路点拨】(1)根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到∠ADB=∠CDB；(2)因为∠ADC=90°，由(1)中的条件可得四边形MPND是矩形，由角平分线的性质可得出PM＝PN，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形.【解答】方法归纳：正方形的性质集矩形和菱形的性质于一体；在判定正方形的过程中，通常是先证明此四边形为矩形，再去证明有一组邻边相等或者对角线互相垂直；或先证明其为菱形，再证有一个角是直角或者对角线相等.1.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是()A.(1，1)B.(-1，-1)C.(1，-1)D.(-1，1)2.(2022·株洲)已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是()A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④3.(2022·泸州)如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G，求证：AE=BF.12\n第1课时基础训练1.(2022·珠海)边长为3cm的菱形的周长是()A.6cmB.9cmC.12cmD.15cm2.(2022·成都)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为()A.1B.2C.3D.43.(2022·福州)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为()A.45°B.55°C.60°D.75°4.(2022·丽水)如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度的一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求.连接AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知四边形ADBC一定是()A.矩形B.菱形C.正方形D.不能确定5.(2022·玉林)下列命题是假命题的是()A.四个角相等的四边形是矩形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.对角线垂直的四边形是菱形D.对角线垂直的平行四边形是菱形6.(2022·菏泽)如图，把一个长方形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为120°12\n的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为()A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60°7.如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为-4和1，则BC=.8.(2022·衡阳)如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为.9.(2022·淄博)已知□ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使□ABCD成为一个菱形.你添加的条件是.10.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是.(填上你认为正确的一个答案即可)11.(2022·苏州)已知正方形ABCD的对角线AC=，则正方形ABCD的周长为.12.(2022·临沂)如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC,AF⊥CD，垂足分别为E,F，连接EF，则△AEF的面积是.13.(2022·广州)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长.14.(2022·牡丹江一模)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形边上的点，AE=5，BF⊥AE，垂足为点F，求BF的长.12\n15.(2022·宜昌)如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE=AF；分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF.(1)请你判断所画四边形的形状，并说明理由；(2)连接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求线段EF的长.16.(2022·枣庄)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论.第2课时能力训练1.(2022·毕节)如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于()A.3.5B.4C.7D.142.如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是()A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形12\n3.(2022·聊城)如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD，若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为()A.2B.3C.6D.4.(2022·南京)如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是(-2，1)，点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是()A.(，3)、(-，4)B.(，3)、(-，4)C.(，)、(-，4)D.(，)、(-，4)5.(2022·资阳)如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为.6.(2022·十堰)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是(只填写序号).7.(2022·上海)如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G.设AB＝t，那么△EFG的周长为(用含t的代数式表示).12\n8.(2022·聊城)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E.求证：AE=CE.参考答案考点解读①直角②直角③相等④对角线的交点⑤对角线相等⑥邻边相等⑦相等⑧垂直平分⑨对角线的交点⑩一半⑪相等⑫互相垂直⑬相等⑭直角⑮相等⑯直角垂直平分相等四矩形菱形互相垂直平分且相等各个击破例1(1)添加条件：BE∥CF(答案不唯一).证明：∵BE∥CF，∴∠EBH=∠HCF.∵点H是边BC的中点，∴BH=CH.又∵∠BHE=∠CHF，∴△BEH≌△CFH(ASA).(2)当BH=EH时，四边形BFCE是矩形.理由如下：∵△BEH≌△CFH，∴BH=CH，EH=FH，∴四边形BFCE是平行四边形.又∵BH=EH，∴EF=BC，∴四边形BFCE是矩形.题组训练1.B2.C3.∠B=90°或∠BAC+∠BCA=90°4.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，DC=AB，∴CF∥AE.∵DF=BE，∴CF=AE,∴四边形AFCE是平行四边形,∴AF=CE.例2(1)证明：由题知AE＝AD,AB＝AC,∠BAC＝∠EAD＝α.∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC,∠EAD＝∠BAD+∠EAB,∴∠EAB＝∠DAC，∴△EAB≌△DAC(SAS),∴BE＝CD.(2)四边形BDFE是菱形.∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠C=∠DBF,∴BE=BD=CD.12\n由△EAB≌△DAC，得∠EBF=∠C，∴∠EBF=∠DBF.∵EF∥BC，∴∠DBF=∠EFB，∴∠EBF=∠EFB，∴EB=EF，∴EF=BD，∴四边形BDFE是平行四边形.又∵BE=BD，∴四边形BDFE是菱形.题组训练1.D2.283.证明：∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形,∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∠FAC=∠ACE=120°.又∵AD平分∠FAC，CD平分∠ECA，∴∠FAD=∠ECD=60°,∴AD∥BC，CD∥AB,∴四边形ABCD是平行四边形.∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形.例3证明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB.(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形.∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN，∴四边形MPND是正方形.题组训练1.C2.B3.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°.又∵AE⊥BF，垂足为G，∴∠CBF+∠AEB=90°,∴∠BAE=∠CBF.在△ABE与△BCF中,∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE=BF.整合集训第1课时基础训练1.C2.B3.C4.B5.C6.D7.58.109.AB=BC或AC⊥BD等10.∠A=90°11.412.13.∵四边形ABCD是菱形，∴OA⊥OB.∵AB=5，AO=4，∴OB=3，∴BD=6.12\n14.由勾股定理得，BE===3，∵BF⊥AE，∴S△ABE=AE·BF=AB·BE，即×5·BF=×4×3，解得BF=.15.(1)四边形AEDF为菱形.理由如下：∵AE=AF=ED=DF，∴四边形AEDF为菱形.(2)∵AE=AF，∠A=60°，∴△EAF为等边三角形，∴EF=AE=8厘米.16.(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA=OC.∵AE=CF，∴OE=OF.∵DF∥BE，∴∠OEB=∠OFD.∵∠EOB=∠FOD，∴△BOE≌△DOF(ASA).(2)四边形ABCD是矩形.证明如下：∵△BOE≌△DOF，∴OD=OB.∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形.∵OD=AC，OD=BD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形.第2课时能力训练1.A2.A3.B4.B提示：首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案.5.66.③7.8.证明：作BF⊥CE于F.12\n∵∠BCF+∠DCE=90°，∠D+∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D.又BC=CD,∴Rt△BCF≌Rt△CDE，∴BF=CE.又∠BFE=∠AEF=∠A=90°，∴四边形ABFE是矩形，∴BF=AE，∴AE=CE.12
