课时训练(二十七) 特殊的平行四边形(限时:40分钟)|夯实基础|1.[2022·淮安]如图K27-1,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是( )图K27-1A.20B.24C.40D.482.下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形;②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;③对角线相等的四边形一定是矩形;④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中正确的个数为( )12\nA.4B.3C.2D.13.如图K27-2,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ACB=30°,则∠AOB的大小为( )图K27-2A.30°B.60°C.90°D.120°4.如图K27-3,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使点C与点C'重合.若AB=2,则C'D的长为( )图K27-3A.1B.2C.3D.45.[2022·陕西]如图K27-4,在菱形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD和DA的中点,连接EF,FG,GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是( )图K27-4A.AB=2EFB.AB=2EFC.AB=3EFD.AB=5EF6.如图K27-5,正方形ABCD的边长为2,H在CD的延长线上,四边形CEFH也为正方形,则△DBF的面积为( )12\n图K27-5A.4B.2C.22D.27.如图K27-6,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,若点E为边CD的中点,连接AE,过点B作BF⊥AE于点F,则BF的长为( )图K27-6A.3102B.3105C.105D.3558.[2022·桂林]如图K27-7,在正方形ABCD中,AB=3,点M在CD边上,且DM=1,△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称,将△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF,连接EF,则线段EF的长为( )图K27-7A.3B.23C.13D.159.如图K27-8,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE=22.5°,EF⊥AB,垂足为F,则EF的长为( )图K27-8A.1B.2C.4-22D.32-412\n10.如图K27-9,在正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,则C到直线AF的距离是( )图K27-9A.322B.5C.355D.211.如图K27-10,矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F,G,H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为( )图K27-10A.55B.105C.103D.15312.已知:如图K27-11,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则∠BED= 度. 图K27-1113.菱形ABCD中,∠A=60°,其周长为24cm,则菱形的面积为 cm2. 14.如图K27-12,在矩形ABCD中,AD=5,AB=7.点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对应点D'落在∠ABC的平分线上时,DE的长为 . 12\n图K27-1215.如图K27-13,P是正方形对角线上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥DC于点F.若PE=2,PF=4,则AP= . 图K27-1316.如图K27-14,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点A落在矩形ABCD的边CD上,连接CE,则CE的长是 . 图K27-1417.[2022·石景山初三毕业考试]问题:将菱形的面积五等分.小红发现只要将菱形周长五等分,再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题.如图K27-15,点O是菱形ABCD的对角线交点,AB=5,下面是小红将菱形ABCD面积五等分的操作与证明思路,请补充完整.图K27-15(1)在AB边上取点E,使AE=4,连接OA,OE;(2)在BC边上取点F,使BF= ,连接OF; (3)在CD边上取点G,使CG= ,连接OG; (4)在DA边上取点H,使DH= ,连接OH. 12\n由于AE= + = + = + = . 可证S△AOE=S四边形EOFB=S四边形FOGC=S四边形GOHD=S△HOA.18.[2022·东城二模]如图K27-16,在菱形ABCD中,∠BAD=α,点E在对角线BD上.将线段CE绕点C顺时针旋转α,得到CF,连接DF.图K27-16(1)求证:BE=DF;(2)连接AC,若EB=EC,求证:AC⊥CF.12\n|拓展提升|19.[2022·舟山]用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,下列作法中错误的是( )图K27-1712\n参考答案1.A 2.C3.B [解析]∵矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∴OB=OC,∴∠OBC=∠ACB=30°,∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°.故选B.4.B [解析]在矩形ABCD中,CD=AB.∵矩形ABCD沿对角线BD折叠后点C和点C'重合,∴C'D=CD,∴C'D=AB=2.故选B.5.D [解析]连接AC,BD交于点O.∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF=12AC.∵四边形ABCD为菱形,∴AO=12AC,AC⊥BD.∴EF=AO.同理:EH=BO.∵EH=2EF,∴BO=2AO.在Rt△ABO中,设AO=x,则BO=2x.∴AB=x2+(2x)2=5x=5AO.∴AB=5EF.12\n故选择D.6.D [解析]设正方形CEFH的边长为a.根据题意得S△DBF=4+a2-12×4-12a(a-2)-12a(a+2)=2+a2-12a2+a-12a2-a=2.故选D.7.B [解析]由题意得△ADE∽△BFA,∴ADBF=DEFA,由题意可知AD=3,DE=1,设AF=x(x>0),则BF=3x,由勾股定理得:AF2+BF2=AB2,即x2+(3x)2=22,解得x=105(负值舍去),所以3x=3105,即BF=3105,故选B.8.C [解析]如图,连接BM,则由题意可得,△ADM≌△AEM≌△ABF,∴∠BAF=∠EAM,BA=AE,AF=MA,∴∠BAF+∠BAE=∠EAM+∠BAE,即∠EAF=∠BAM,则在△EAF和△BAM中,∵AE=BA,∠EAF=∠BAM,AF=AM,∴△EAF≌△BAM,∴FE=BM,又∵DM=1,在正方形ABCD中,AB=3,∴CM=3-1=2,CB=3,∠C=90°,∴BM=BC2+CM2=32+22=13,∴FE=BM=13,故选C.9.C [解析]在正方形ABCD中,∵∠ABD=∠ADB=45°,∠BAE=22.5°,∴∠DAE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°.在△ADE中,∵∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°,∴∠DAE=∠AED,∴AD=DE=4.∵正方形的边长为4,∴BD=42,∴BE=BD-DE=42-4.∵EF⊥AB,∠ABD=45°,∴△BEF是等腰直角三角形,∴EF=22BE=22×(42-4)=4-22.12\n10.C11.B [解析]作点F关于CD的对称点F',易证四边形EFGH为平行四边形,△AEH≌△CGF,AH=CF=CF'.当H,G,F'三点共线时,GH+GF'最小,即GH+GF最小.过点F'作F'M⊥AD,交AD延长线于点M.则HM=5,F'M=10,根据勾股定理可求得HF'=55,所以GH+GF的最小值为55,即四边形EFGH周长的最小值为105.12.45 [解析]由题意得,AB=AE,∠BAD=90°,∠DAE=∠AED=60°.所以∠BAE=150°,∠AEB=15°.所以∠BED=∠AED-∠AEB=60°-15°=45°.13.183 [解析]∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,∵∠A=60°,∴△ABD是等边三角形,又周长为24cm,即BD=AB=6cm,如图,在Rt△AOB中,OD=3cm,∴AO=AD2-OD2=62-32=33(cm),∴AC=2AO=63(cm),菱形的面积=12AC·BD=12×63×6=183(cm2).14.53或52 [解析]如图,连接BD',过点D'作MN⊥AB,交AB于点M,交CD于点N,作D'P⊥BC交BC于点P,则四边形BPD'M是矩形.∵点D的对应点D'落在∠ABC的平分线上,∴MD'=PD',则四边形BPD'M是正方形.设MD'=x,则PD'=BM=x,∴AM=AB-BM=7-x.12\n由折叠的性质可得AD'=5,∴x2+(7-x)2=25,解得x=3或x=4.即MD'=3或MD'=4.在Rt△END'中,设ED'=a.①当MD'=3时,D'N=5-3=2,EN=7-CN-DE=7-3-a=4-a,∴a2=22+(4-a)2,解得a=52,即DE=52;②当MD'=4时,D'N=5-4=1,EN=7-CN-DE=7-4-a=3-a,∴a2=12+(3-a)2,解得a=53,即DE=53.故答案为52或53.15.2516.3105 [解析]连接AG,在Rt△BCG中,根据勾股定理求出CG=4,所以DG=1,在Rt△ADG中,根据勾股定理求出AG=10,再利用△ABG∽△CBE,由对应边成比例,可得CE=3105.17.解:3 2 1 EB BF FC CG GD DH HA18.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴BC=DC,∠BAD=∠BCD=α.∵∠ECF=α,∴∠BCD=∠ECF.∴∠BCE=∠DCF.∵线段CF由线段CE绕点C顺时针旋转得到,∴CE=CF.12\n在△BEC和△DFC中,BC=DC,∠BCE=∠DCF,CE=CF,∴△BEC≌△DFC(SAS).∴BE=DF.(2)∵四边形ABCD是菱形,∴∠ACB=∠ACD,AC⊥BD.∴∠ACB+∠EBC=90°.∵EB=EC,∴∠EBC=∠BCE.由(1)可知∠EBC=∠DCF,∴∠DCF+∠ACD=∠EBC+∠ACB=90°.∴∠ACF=90°.∴AC⊥CF.19.C12
