2022年北京市东城区中考数学二模试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．（4分）（2022•随州）3的相反数是（ ） A．﹣3B．3C．D．﹣考点：相反数．分析：根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．解答：解：根据概念，（3的相反数）+（3）=0，则3的相反数是﹣3．故选A．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 2．（4分）（2022•临沂）太阳的半径大约是696000千米，用科学记数法可表示为（ ） A．696×103千米B．69.6×104千米C．6.96×105千米D．6.96×106千米考点：科学记数法—表示较大的数．专题：计算题．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：696000=6.96×105；故选C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（4分）（2022•义乌）下列四个立体图形中，主视图为圆的是（ ） A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图．分析：主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案．解答：解：A、主视图是正方形，故此选项错误；B、主视图是圆，故此选项正确；C、主视图是三角形，故此选项错误；D、主视图是长方形，故此选项错误；故选：B．点评：此题主要考查了简单几何体的主视图，关键是掌握主视图所看的位置． 4．（4分）（2022•东城区二模）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，那么AB的长为（ ） A．3sinαB．3cosαC．D．17\n考点：解直角三角形；锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：利用∠A的余弦值解答即可．解答：解：∵cosA=，∠A=α，AC=3，∴AB==，故选D．点评：考查解直角三角形的知识；掌握和一个角的邻边与斜边有关的三角函数值是余弦值的知识是解决本题的关键． 5．（4分）（2022•东城区二模）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为（ ） A．B．C．D．考点：概率公式．分析：由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个，利用概率公式直接求解即可求得答案．解答：解：∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个，∴掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为：=．故选C．点评：此题考查了概率公式的应用．注意掌握概率=所求情况数与总情况数之比． 6．（4分）（2022•西藏）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（ ） A．5B．6C．7D．8考点：多边形内角与外角．专题：压轴题．分析：利用多边形的内角和公式即可求解．解答：解：因为多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，所以（n﹣2）×180°=720°，解得n=6，所以这个多边形的边数是6．故选B．点评：本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．内角和公式可能部分学生会忘记，但是这并不是重点，如果我们在学习这个知识的时候能真正理解，在考试时即使忘记了公式，推导一下这个公式也不会花多少时间，所以，学习数学，理解比记忆更重要． 7．（4分）（2022•南充）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：成绩（m）1.501.601.651.701.751.80人数124332这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（ ） A．1.65，1.70B．1.70，1.70C．1.70，1.65D．3，417\n考点：众数；中位数．分析：根据中位数的定义与众数的定义，结合图表信息解答．解答：解：15名运动员，按照成绩从低到高排列，第8名运动员的成绩是1.70，所以中位数是1.70，同一成绩运动员最多的是1.65，共有4人，所以，众数是1.65．因此，中位数与众数分别是1.70，1.65．故选C．点评：本题考查了中位数与众数，确定中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数有时不一定是这组数据的数；众数是出现次数最多的数据，众数有时不止一个． 8．（4分）（2022•东城区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为1，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（ ） A．﹣1≤x≤1B．C．D．考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．专题：探究型．分析：设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可．解答：解：∵直线AB与x轴正方向夹角为45°，∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC，∵⊙O的半径为1，∴△AOC是等腰直角三角形，∴OC=PC=1，∴OA==，∴P（，0），同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0），∴﹣≤x≤．故选D．点评：本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 17\n二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2022•东城区二模）函数的自变量x的取值范围是 x≠2 ．考点：反比例函数的定义；函数自变量的取值范围．分析：此题对函数中x的取值范围的求解可转化为使分式有意义，分式的分母不能为0的问题．解答：解：根据题意x﹣2≠0，解得x≠2．故答案为：x≠2．点评：本题主要是考查函数自变量x的取值问题，比较简单． 10．（4分）（2022•东城区二模）分解因式：mn2+4mn+4m= m（n+2）2 ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：首先提取公因式m，再利用完全平方公式进行二次分解即可．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．解答：解：原式=m（n2+4n+4）=m（n+2）2，故答案为：m（n+2）2．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 11．（4分）（2022•荆州）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为 8 ．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题；探究型．分析：先设正方形的边长为a，再根据对角线长为2求出a的值，由图形翻折变换的性质可知AD=A′B′，A′H=AH，B′G=DG，由阴影部分的周长=A′B′+A′H+BH+BC+CG+B′G即可得出结论．解答：解：设正方形的边长为a，则2a2=（2）2，解得a=2，翻折变换的性质可知AD=A′B′，A′H=AH，B′G=DG，阴影部分的周长=A′B′+（A′H+BH）+BC+（CG+B′G）=AD+AB+BC+CD=2×4=8．故答案为：8．17\n点评：本题考查的是翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 12．（4分）（2022•乐山）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=θ．则：（1）∠A1= ；（2）∠An= ．考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质．专题：压轴题；规律型．分析：（1）根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解；（2）与（1）同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．解答：解：（1）∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠A1CD的平分线，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A，∵∠A=θ，∴∠A1=；（2）同理可得∠A2=∠A1，=•θ=，所以∠An=．故答案为：（1），（2）．点评：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）17\n13．（5分）（2022•平凉）计算：2cos45°﹣（﹣）﹣1﹣﹣（π﹣）0．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据45°角的余弦等于，有理数的负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，二次根式的化简，任何非0数的0次幂等于1进行计算即可得解．解答：解：2cos45°﹣（﹣）﹣1﹣﹣（π﹣）0，=2×﹣（﹣4）﹣2﹣1，=+4﹣2﹣1，=3﹣．点评：本题考查了实数的运算，主要利用了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的化简，零指数幂，是基础运算题，注意运算符号的处理． 14．（5分）（2022•东城区二模）解分式方程：．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：分式方程去分母得：2x﹣1+1=3（x﹣2），去括号得：2x﹣1+1=3x﹣6，解得：x=6，经检验x=6是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 15．（5分）（2022•东城区二模）已知：如图，点E、F分别为▱ABCD的BC、AD边上的点，且∠1=∠2．求证：AE=FC．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题．分析：根据平行四边形的对边相等，对角相等，易得△ABE≌△CDF，即可得AE=CF．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D．在△ABE与△CDF中，17\n∴△ABE≌△CDF．∴AE=CF．点评：此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．还考查了全等三角形的判定与性质．此题比较简单，解题要细心． 16．（5分）（2022•东城区二模）已知x2﹣4x+1=0，求的值．考点：分式的化简求值．分析：把分式进行同分相减，然后把已知的式子写成x2﹣4x=﹣1的形式，代入求解即可．解答：解：原式==∵x2﹣4x+1=0，∴x2﹣4x=﹣1.．点评：化简求值是课程标准中所规定的一个基本内容，它涉及对运算的理解以及运算技能的掌握两个方面，也是一个常考的题材．为了降低计算的难度，杜绝繁琐的计算，本题代数式结构简单，化简后的结果简单，计算简单，把考查重点放在化简的规则和方法上． 17．（5分）（2022•苏州）我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13800m3，问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少（单位：m3）？考点：二元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：设中国人均淡水资源占有量为xm3，美国人均淡水资源占有量为ym3，根据题意所述等量关系得出方程组，解出即可得出答案．解答：解：设中国人均淡水资源占有量为xm3，美国人均淡水资源占有量为ym3．根据题意得：，解得：．答：中、美两国人均淡水资源占有量各为2300m3，11500m3．点评：此题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，根据题意所述等量关系得出方程组，难度一般． 17\n18．（5分）（2022•东城区二模）如图，一次函数y=﹣x﹣1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数图象的一个交点为M（﹣2，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数图象上一点，且S△BOP=2S△AOB，求点P的坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：（1）将M坐标代入一次函数解析式求出m的值，确定出M坐标，将M坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（2）对于一次函数，分别令x与y为0求出A与B坐标，确定出三角形AOB面积，根据面积的关系求出三角形BOP的面积，由BO的长，利用面积公式求出P的横坐标，代入反比例解析式即可求出纵坐标，确定出满足题意得P坐标．解答：解：（1）∵M（﹣2，m）在一次函数y=﹣x﹣1的图象上，∴m=2﹣1=1，∴M（﹣2，1），又M（﹣2，1）在反比例函数y=图象上，∴k=﹣2，∴y=﹣；（2）由一次函数y=﹣x﹣1，令x=0，求出y=﹣1；令y=0求出x=﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，﹣1），即OA=OB=1，∴S△AOB=•|OA|•|OB|=，∴S△BOP=2△AOB=1，设△BOP边OB上的高位h，则h=2，则P点的横坐标为±2，把P点的横坐标为±2代入y=﹣，可得P点的纵坐标为﹣1或1，∴P（2，﹣1）或P（﹣2，1）．点评：17\n此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（2022•安徽）九（1）班同学为了解2022年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理．请解答以下问题：月均用水量x（t）频数（户）频率0＜x≤560.125＜x≤100.2410＜x≤15160.3215＜x≤20100.2020＜x≤25425＜x≤3020.04（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；（2）若该小区用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比；（3）若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20t的家庭大约有多少户？考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．专题：压轴题．分析：（1）根据0＜x≤5中频数为6，频率为0.12，则调查总户数为6÷0.12=50，进而得出在5＜x≤10范围内的频数以及在20＜x≤25范围内的频率；（2）根据（1）中所求即可得出不超过15t的家庭总数即可求出，不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比；（3）根据样本数据中超过20t的家庭数，即可得出1000户家庭超过20t的家庭数．解答：解：（1）如图所示：根据0＜x≤5中频数为6，频率为0.12，则6÷0.12=50，50×0.24=12户，4÷50=0.08，故表格从上往下依次是：12户和0.08；（2）×100%=68%；（3）1000×（0.08+0.04）=120户，答：该小区月均用水量超过20t的家庭大约有120户．17\n点评：此题主要考查了利用样本估计总体以及频数分布直方图与条形图综合应用，根据已知得出样本数据总数是解题关键． 20．（5分）（2022•东城区二模）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E．（1）求证：AM=2CM；（2）若∠1=∠2，，求ME的值．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．专题：探究型．分析：（1）先根据四边形ABCD是菱形得出BC∥AD，故△CFM∽△ADM，由相似三角形的性质可知=，再根据CF=BC=AD即可得出结论；（2））先根据AB∥DC得出∠1=∠4，再由∠1=∠2可知∠2=∠4．由等腰三角形的性质得出CE=CD．再根据四边形ABCD是菱形得出∠3=∠4．根据F为边BC的中点可知CF=CE，根据SAS定理得出△CMF≌△CME，故可得出∠CFM=∠CEM=90°．再由∠2=∠3=∠4=30°得出=的值，根据CD=2CE即可得出结论．解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形．∴BC∥AD．∴△CFM∽△ADM．∴=，∵F为边BC的中点，∴CF=BC=AD，∴==．17\n∴AM=2MC；（2）∵AB∥DC，∴∠1=∠4．∵∠1=∠2，∴∠2=∠4．∵ME⊥CD，∴CE=CD．∵四边形ABCD是菱形，∴∠3=∠4．∵F为边BC的中点，∴CF=BC．∴CF=CE，∵在△CMF和△CME中，，∴△CMF≌△CME（SAS）．∴∠CFM=∠CEM=90°．∵∠2=∠3=∠4，∴∠2=∠3=∠4=30°．∴=．∵CD=2CE=2，∴CE=，∴ME=1．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质及特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解答此题的关键． 21．（5分）（2022•临沂）如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．17\n考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．分析：（1）首先连接OA，由∠B=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，又由OA=OC，即可求得∠OAC与∠OCA的度数，利用三角形外角的性质，求得∠AOP的度数，又由AP=AC，利用等边对等角，求得∠P，则可求得∠PAO=90°，则可证得AP是⊙O的切线；（2）由CD是⊙O的直径，即可得∠DAC=90°，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD的长．解答：（1）证明：连接OA．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°，∴∠AOP=60°，∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP，∴AP是⊙O的切线，（2）解：连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°，∴AD=AC•tan30°=3×=，∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°，∴∠P=∠PAD，∴PD=AD=．点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．17\n 22．（5分）（2022•东城区二模）阅读并回答问题：数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：作法：①在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD=OE．②分别以D，E为圆心，以大于为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C．③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：作法：①利用三角板上的刻度，在OA，OB上分别截取OM，ON，使OM=ON．②分别过以M，N为OM，ON的垂线，交于点P．③作射线OP，则OP就是∠AOB的平分线．小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．根据以上情境，解决下列问题：（1）小聪的作法正确吗？请说明理由；（2）请你帮小颖设计用刻度尺作∠AOB平分线的方法．（要求：不与小聪方法相同，请画出图形，并写出画图的方法，不必证明）．考点：作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据HL可证Rt△OMP≌Rt△ONP，再根据全等三角形的性质即可作出判断；（2）根据用刻度尺作角平分线的方法作出图形，写出作图步骤即可．解答：解：（1）小聪的作法正确．理由如下：∵PM⊥OM，PN⊥ON，∴∠OMP=∠ONP=90°．在Rt△OMP和Rt△ONP中，∵OP=OP，OM=ON，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠MOP=∠NOP．∴OP平分∠AOB；（2）如图所示．步骤：①利用刻度尺在OA、OB上分别截取OG=OH．②连接GH，利用刻度尺作出GH的中点Q．③作射线OQ．则OQ为∠AOB的平分线．17\n点评：本题考查了用刻度尺作角平分线的方法，全等三角形的判定与性质，难度不大． 五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2022•东城区二模）已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0（m为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点；（3）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．考点：抛物线与x轴的交点．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出的关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0（m为实数）的解的情况；（2）用十字相乘法来转换y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1，即y=[（m﹣1）x+1]（x﹣1），则易解；（3）利用（2）的解题结果x=﹣1，再根据两根之积等于﹣是整数，得出m的值，进而得出平移后的解析式．解答：解：（1）根据题意，得△=（m﹣2）2﹣4×（m﹣1）×（﹣1）＞0，即m2＞0解得，m＞0或m＜0①又∵m﹣1≠0，∴m≠1②由①②，得m＜0，0＜m＜1或m＞1．证明：（2）由y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1，得y=[（m﹣1）x﹣1]（x+1）抛物线y=[（m﹣1）x﹣1]（x+1）与x轴的交点就是方程[（m﹣1）x﹣1]（x+1）=0的两根．解方程，得，由（1）得，x=﹣1，即一元二次方程的一个根是﹣1，∴无论m取何值，抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点（﹣1，0）．（3）∵x=﹣1是整数，∴只需是整数．∵m是整数，且m≠1，m≠0，∴m=2，当m=2时，抛物线的解析式为y=x2﹣1，把它的图象向右平移3个单位长度，则平移后的解析式为y=（x﹣3）2﹣1．点评：（1）在解一元二次方程的根时，利用根的判别式△=b2﹣4ac与0的关系来判断该方程的根的情况；（2）用十字相乘法对多项式进行分解，可以降低题的难度；（3）函数图象平移规律是向右或向左平移时X=|x+d|；向上或向下平移时Y=|y+d|．17\n 24．（7分）（2022•东城区二模）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是AB边上一点，EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH=∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N．（1）如图1，当点H与点F重合时，求BE的长；（2）如图2，当点H在线段FD上时，设BE=x，DN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）连结AC，当以点E，F，H为顶点的三角形与△AEC相似时，求线段DN的长．考点：四边形综合题．分析：（1）求出∠BEC=45°，推出BE=BC，即可得出答案；（2）过点E作EG⊥CN，垂足为点G，推出BE=CG，求出∠N=∠ECN，得出EN=EC，推出CN=2CG=2BE，根据BE=x，DN=y，CD=AD=4即可得出答案；（3）求出∠AFE=∠CEB，推出∠HFE=∠AEC，分为两种情况：（ⅰ）若∠FHE=∠EAC时，推出∠EAC=∠ECB，求出tan∠EAC=tan∠ECB，代入=求出BE即可；（ⅱ）若∠FHE=∠ECA，EG与AC交于点O．求出∠AHE=∠BCE，∠ENC=∠ECN．求出∠CEG=∠ECA，推出EO=CO，设EO=CO=3k，则AE=4k，AO=5k，根据AO+CO=8k=5求出k，求出AE=，BE=，即可得出答案．解答：解：（1）如图1，∵EF⊥EC，∴∠AEF+∠BEC=90°，∵∠AEF=∠BEC，∴∠BEC=45°，∵∠B=90°，∴BE=BC，∵BC=3，∴BE=3；（2）如图2，过点E作EG⊥CN，垂足为点G，∴BE=CG，∵AB∥CN，∴∠AEH=∠N，∠BEC=∠ECN，∵∠AEH=∠BEC，∴∠N=∠ECN，∴EN=EC，∴CN=2CG=2BE，∵BE=x，DN=y，CD=AD=4，∴y=2x﹣4（2≤x≤3）；（3）如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，17\n∴∠AFE+∠AEF=90°，∵EF⊥EC，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠AFE=∠CEB，∴∠HFE=∠AEC，当以点E，F，H为顶点的三角形与△AEC相似时，（ⅰ）若∠FHE=∠EAC时，∵∠BAD=∠B，∠AEH=∠BEC，∴∠FHE=∠ECB，∴∠EAC=∠ECB，∴tan∠EAC=tan∠ECB，∴=，∴BE=，∴DN=；（ⅱ）若∠FHE=∠ECA，如图3，EG与AC交于点O．∵∠AEH=∠BEC，∴∠AHE=∠BCE，∠ENC=∠ECN．∵EN=EC，EG⊥CN，∴∠HEG=∠CEG，∵AH∥EG，∴∠FHE=∠HEG，∴∠FHE=∠CEG，∴∠CEG=∠ECA，∴EO=CO，设EO=CO=3k，则AE=4k，AO=5k，∴AO+CO=8k=5，∴k=，∴AE=，BE=，∴DN=1，综上所述，线段DN的长为或1．点评：本题考查了平行线性质，矩形性质，相似三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是难度偏大． 17\n25．（8分）（2022•东城区二模）定义：P，Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中的四点．（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是 2 ；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离是 ．（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，求线段BC与线段OA的距离d．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，若线段BC的中点为M，直接写出点M随线段BC运动所形成的图形的周长 16+4π ．考点：圆的综合题．专题：几何综合题；新定义．分析：（1）m=2时，线段OA与线段BC间的距离即为两线段的距离；m=5时，过点B作BD⊥x轴于D，求出AD的长，然后利用勾股定理列式求出AB，即为线段OA与线段BC的距离；（2）先确定出2≤m≤6，再分2≤m≤4时，d等于两平行线间的距离，（或过点B作BE⊥OA于E，求出AE的长，再利用勾股定理列式求出BE的长，即为两线段的距离）；4≤m≤6，d等于点B与点A的距离，即为⊙A的半径；（3）根据线段与线段的距离的定义画出图形，可得点M形成的图形是两条线段和两个半圆，再分别求解即可．解答：解：（1）当m=2，n=2时，线段BC与线段OA的距离等于平行线间的距离，即为2；当m=5，n=2时，B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，如图，过点B作BD⊥x轴于点D，则AD=5﹣4=1，BD=2，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB===；（2）如图，17\n当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：①当2≤m＜4时，d=|n|（﹣2≤n≤2），或：过点B作BE⊥x轴于点E，线段BC与线段OA的距离等于BE长，OE=m，AE=OA﹣OE=4﹣m，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，d===；②当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；（3）根据题意画出图形，点M形成的图形为图中红线表示的封闭图形，由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．故答案为：（1）2，；（2）当2≤m≤4时，d=|n|（﹣2≤n≤2）或；当4≤m≤6时，d=2；（3）16+4π．点评：本题考查了圆的综合题型，主要利用了勾股定理，读懂题目信息，理解线段与线段的距离的定义是解题的关键，（3）根据动线段BC与线段OA的距离始终为2画出点M形成的图形是解题的关键，也是本题的难点．17
