第9讲二次函数的应用【今日目标】1、学会建立二次函数模型解决实际问题（与方程、分段函数、最值相结合）；2、能在限制条件下求出符合题意的最值。【精彩知识】【引例】求下列二次函数的最值：（1）求函数的最值．（2）求函数的最值．★方法归纳：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在处取得最大值（或最小值）．如果自变量的取值范围是，分两种情况：顶点在自变量的取值范围内时，以为例，最大值是；最小值是顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性专题一应用之利润最值问题【例1】某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?●变式练习：某商品的进价为每件20元，售价为每件30，每个月可买出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨元（为整数），每个月的销售利润为的取值范围为元。（1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？★解题回顾：总利润=*；找出价格和销售量之间的关系，注意结合自变量的取值求得相应的售价．【例2】某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程发现，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=－2x+100.(利润=售价－制造成本)（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间函数解析式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不得高于32元.如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？-6-\n★解题回顾：先利用“成本不高于多少，利润不低于多少”等条件求得自变量的，然后根据函数性质并结合函数图象求最值．【例3】某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元?(2)设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)★解题回顾：分段函数求最值时，要根据各段函数自变量的求相应的最值。专题二应用之面积最值问题【例4】把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。●变式练习：如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A．B．C．D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？-6-\n专题三实际应用问题【例5】如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。【例6】卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）． （1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出自变量的取值范围； （2）如果DE与AB的距离OM＝0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）．●变式练习：如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距8米．（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．-6-\n【课后测试】（成都各区、县2022—2022年度期末调研试卷26小题选编）1、（青羊区26）近年来，我市为了增强市民环保意识，政府决定对购买太阳能热水器的市民实行政府补贴。规定每购买一台热水器，政府补贴若干元，经调查某商场销售太阳能热水器台数y（台）与每台补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低，且Z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售太阳能热水器的总收益额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售太阳能热水器台数y和每台太阳能热水器的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售太阳能热水器的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少并求出总收益w的最大值．2、（金牛区26）某地区准备筹办特色小商品展销会，芙蓉工艺厂设计一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销。经过调查，得到如下数据：（1）已知y与x之间是一次函数关系，求出此函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）3、（高新区26）政府大力支持大学生创业。大学毕业生小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件30元的学生台灯。销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数：=-10+700.(1)小明每月获得的利润为w(元)，试问当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润？最大利润是多少？(2)如果小明想要每月获得3000元的利润，那么销售单价应定为多少元？4、某汽车租赁公司拥有20辆同类汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为 元（用含x的代数式表示，要求填写化简后的结果）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？（3）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？-6-\n【部分答案】例1变式解析：（1）销售利润=每件商品的利润×（180－10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；（2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可；（3）让（1）中的y=1920求得合适的x的解即可．解答：解：（1）y=（30－20+x）（180－10x）=－10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；（2）当x=时，y最大=1960元；∴每件商品的售价为34元．答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；（3））1920=－10x2+80x+1800，x2－8x+12=0，即（x－2）（x－6）=0，解得x=2或x=6，∵0≤x≤5，∴x=2，∴售价为32元时，利润为1920元．【例2】解：（1）z=(x－18)y=(x－18)(－2x+100).∴z与x之间的函数解析式为.（2）由z=350，得350=，解此方程，得.∴销售单价应定为25元或43元.把z配方，得z.因此，当销售单价为34元时，厂商每月能够获得最大利润，最大利润是512元.（3）结合（2）及函数z的图象（如图所示）可知，25≤x≤43时，z≥350.又由限价为32元，得25≤x≤32.根据一次函数的性质，得y=－2x+100中y随x的增大而减小.∴当x=32时，每月制造成本最低.最低成本是18×（－2×32+100）=648（万元）.因此，每月的最低制造成本需要648万元.【例3】解：（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。（2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x；当10＜x≤50时，y=x，即y=－10x2+700x；当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x。∴。（3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y有最大值，此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元，答：公司应将最低销售单价调整为2750元。【例4】解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm。则（40－2x）2=484，解得（不合题意，舍去），。∴剪掉的正方形的边长为9cm。②侧面积有最大值。设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：，∴x=10时，y最大=800。即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2。（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm。则，-6-\n解得：（不合题意，舍去），。∴剪掉的正方形的边长为15cm。此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm。【例4变式】解：（1）根据题意，知这个正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，∴x+2x+x=24，解得：x=6。则a=6，∴V=a3=（6）3=432（cm3）；（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a=x，，∴S=4ah+a2=。∵0＜x＜12，∴当x=8时，S取得最大值384cm2。【例5】解：（1）把x=0，y=,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h，即2=a(0－6)2+2.6，∴∴当h=2.6时，y与x的关系式为y=(x－6)2+2.6（2）当h=2.6时，y=(x－6)2+2.6∵当x=9时，y=(9－6)2+2.6=2.45＞2.43，∴球能越过网。∵当y=0时，即(18－x)2+2.6=0，解得x=＞18，∴球会过界。（3）把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得。x=9时，y=(9－6)2+h＞2.43①x=18时，y=(18－6)2+h=≤0②由①②解得h≥。∴若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围为h≥。变式解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC=30o，OA=8，∴AC=OA·sin30o=8×=，OC=OA·cos30o=8×=12．∴点A的坐标为（12，）．…………………………………2分设OA的解析式为y=kx，把点A（12，）的坐标代入得：=12k，∴k=，∴OA的解析式为y=x；…………………………………………4分(2)∵顶点B的坐标是（9，12）,点O的坐标是（0，0）∴设抛物线的解析式为y=a(x-9)+12，…………………………………6分把点O的坐标代入得：0=a（0-9）+12，解得a=，∴抛物线的解析式为y=(x-9)+12及y=x+x；…………………………………………………8分(3)∵当x=12时，y=，∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．…………10分-6-
