第14讲代数反比例函数与二次函数的相关知识是期末考试重点，二次函数的考察也是一难点，所以本次专题以这二者的讲解与训练为主。【典例精析】●专题一一元二次方程考点1：一元二次方程的根的判别式、韦达定理、根的定义以及整体思想【例1】1、方程有两个实数根，则k的取值范围是．2、已知是方程的根,则代数式的值为．考点2：一元二次方程的应用【例2】“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销售量自2022年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆。（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？●专题二反比例函数和二次函数考点1：反比例函数图像及性质应用【例3】1、如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上。若点A的坐标为（－2，－2），则k的值为()A．1B．－3C．4D．1或－32、如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点，若AB:BC=(m－1):1（m>1），则△OAB的面积（用m表示）为.图1图2图33、如图，M为双曲线上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线于D、C两点，若直线与y轴交与点A，与x轴交与点B，则AD·BC的值为。考点2：规律探索【例4】1、如图12，一段抛物线：y＝－x(x－3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；……如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m=_________．2、如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，点Pn（xn，yn）在函数（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，…，An﹣1An都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是；点Pn的坐标是（用含n的式子表示）．考点3：反比列函数与一次函数的综合运用-9-\n【例5】如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为。双曲线的图像经过的中点，且与交于点，连接。（1）求的值及点的坐标；（2）若点是边上一点，且，求直线的解析式。【例6】如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F。（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值。.考点4：求二次例函数解析式【例7】§1、（已知顶点坐标、对称轴、或极值求二次函数的解析式）已知二次函数的图象过点（－1，2），对称轴为且最小值为－2，求这个函数的解析式。§2、（已知图象与x轴两交点间的距离求解析式）已知二次函数的图象x轴两交点间的距离为6，对称轴为且经过点（３，－4），求这个二次函数的解析式。§3、（由二次函数的图象变换求解析式）把函数的图象绕其图象与y轴的交点旋转1800，求所得抛物线的解析式。考点2：二次函数图像及性质运用【例8】1、对于二次函数，有下列说法：①它的图象与轴有两个公共点；②如果当≤1时随的增大而减小，则；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；④如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）-9-\n2、小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．你认为其中正确信息的有（填番号）。考点5：二次例函数的实际应用【例9】某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？考点6：二次函数的压轴题【例10】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）【课后测控】-9-\n1、如图1，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴。若双曲线y=(k≠0)与△ABC的边有交点，则k的取值范围是（）A．1＜k＜2B．1≤k≤3C．1≤k≤4D．1≤k＜42、如图，直线交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。则。3、某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的近价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万.（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元？（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）4、如图所示，在直角坐标系中，点是反比例函数的图象上一点，轴的正半轴于点，是的中点；一次函数的图象经过、两点，并将轴于点若（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，请指出在轴的右侧，当时，求的取值范围．5、如图，在平面直角坐标系中，将矩形的顶点O与原点重合，边OC、OA分别在x、y轴上，顶点B在第四象限，，，将矩形沿直线折叠，使点落在处，交于．（1）求的长；（2）求过三点抛物线的解析式；（3）若为过三点抛物线的顶点，一动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间（秒）为何值时，直线把分成面积之比为的两部分？部分答案:【例2】（1）27－（3－1）×0.1=26.8.-9-\n（2）设销售汽车x辆，则汽车的进价为27－（x－1）×0.1=27.1－0.1x万元，若x≤10,则（28－27.1+0.1x）x+0.5x=12解得x1=6,x2=－20(不合题意，舍去)若x>10,则（28－27.1+0.1x）x+x=12解得x3=5(与x>10舍去，舍去),x4=－24(不合题意，舍去)公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车.【例6】解：（1）OABC为矩形,AB=OC=4，点E是AB的中点，AE=2，OA=2，，点E（2，2）在双曲线y=上，k=2×2=4,点F在直线BC及双曲线y=，设点F的坐标为（4，f）,f==1,所以点F的坐标为（4，1）.(2)①证明：△DEF是由△BEF沿EF对折得到的，∠EDF=∠EBF=90º，点D在直线OC上，∠GDE+∠CDF=180º-∠EDF=180º-90º=90º，∠DGE=∠FCD=90º，∠GDE+∠GED=90º，∠CDF=∠GED，△EGD∽△DCF；②设点E的坐标为（a,2）,点F的坐标为（4,b）,点E、F在双曲线y=上，k=2a=4b,a=2b,所以有点E（2b,2）,AE=2b,AB=4,ED=EB=4-2b,EG=OA=CB=2,CF=b,DF=BF=CB-CF=2-b,DC===2,△EGD∽△DCF,=,=,b=,有点F（4，），k=4×=3.考点：二次函数综合题．3718684专题：代数几何综合题．分析：（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）①根据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标；②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出△APF和△ANQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ，根据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），∴OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°﹣45°=45°，又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD越大，△PDE的周长越大，易得直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，联立，消掉y得，x2+3x+m﹣3=0，当△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，此时x=﹣，y=﹣+=，∴点P（﹣，）时，△PDE的周长最大；-9-\n②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x=﹣=﹣1，（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，∴∠APF=∠QPM，∵在△APF和△MPQ中，，∴△APF≌△MPQ（AAS），∴PF=PQ，设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=﹣1﹣n，即PF=﹣1﹣n，∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n），∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n，整理得，n2+n﹣4=0，解得n1=（舍去），n2=，﹣1﹣n=﹣1﹣=，所以，点P的坐标为（，）；（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，∴∠FPA=∠QAN，又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，∴△APF≌△NAQ，∴PF=AQ，设点P坐标为P（x，﹣x2﹣2x+3），则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，解得x=﹣1（不合题意，舍去）或x=﹣﹣1，此时点P坐标为（﹣﹣1，2）．综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣﹣1，2）．解：（1）三，k＞0；（2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，而点C的坐标标为（2，2），∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），把y=2代入得x=；把x=2代入得y=，∴A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2，），∴=，当k－2=0，即k=2时，S阴影部分最小，最小值为；∴E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点，∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小；（3）设D点坐标为（a，），∵，∴OD=DC，即D点为OC的中点，∴C点坐标为（2a，），把y=代入得x=，确定A点坐标为（，），∵，∴-9-\n×=1，解得k=.例8（2）【例9】解：（1）∵z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）=﹣2x2+136x﹣1800，∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800。（2）由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800，解这个方程得x1=25，x2=43。∴销售单价定为25元或43元时，厂商每月能获得3502万元的利润。∵z═﹣2x2+136x﹣1800=﹣2（x﹣34）2+512，∴当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元。（3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，当25≤x≤43时，z≥350。又由限价32元，得25≤x≤32。根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，∴当x=32时，每月制造成本最低。最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元）。∴所求每月最低制造成本为648万元。【例10】解：（1）设抛物线的函数表达式∵抛物线与轴交于点，将该点坐标代入上式，得．∴所求函数表达式，即．（2）∵点C是点A关于点B的对称点，点，点，∴点C的坐标是．将点C的坐标是代入，得．∴直线CD的函数表达式为．设K点的坐标为，则H点的坐标为，G点的坐标为．∵点K为线段AB上一动点，∴．∴．∵，∴当时，线段HG长度有最大值．（3）∵点F是线段BC的中点，点，点，∴点F的坐标为．∵直线过点F且与轴平行，∴直线的函数表达式为．∵点M在直线上，点N在抛物线上，∴设点M的坐标为，点N的坐标为．∵点，点，∴．分情况讨论：①若线段AC是以点A，C，M，N为顶点的四边是平行四边形的边，则须MN∥AC，且MN＝AC＝8．当点N在点M的左侧时，．∴，解得．∴N点的坐标为．-9-\n当点N在点M的右侧时，．∴，解得．∴N点的坐标为．②若线段AC是以点A，C，M，N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称．取点F关于点B对称点P，则点P的坐标为．过点P作NP⊥轴，交抛物线于点N．将代入，得．过点N，B作直线NB交直线于点M．在△BPN和△BFM中，∵∴△BPN≌△BFM．∴NB＝MB．∴四边形点ANCM为平行四边形．∴坐标为的点N符合条件．∴当点N的坐标为，，时，以点A，C，M，N为顶点的四边是平行四边形．课后测控6、解：（1）四边形是矩形，，．（1分）又，．（2分）．，即，解之，得．（3分）（2）．如图4，过作于，．（4分），．，．．（5分）因点为坐标原点，故可设过三点抛物线的解析式为．解之，得．（3）抛物线的对称轴为，其顶点坐标为．设直线的解析式为，则解之，得．（9分）设直线交直线于，过作于．．．或，或，或．或，即或．，．（10分）直线的解析式为．当时，．直线的解析式为．当时，．当秒或秒时，直线把分成面积之比为的两部分．（12分）-9-\n说明：只求对一个值的给11分．-9-
