2022年四川省眉山市仁寿县彰加镇中中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．）1．（3分）（2022•辽阳）|﹣3|的相反数是（ ） A．3B．﹣3C．D．﹣考点：绝对值；相反数．分析：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．解答：解：|﹣3|的相反数是﹣3．故选B．点评：本题考查绝对值与相反数的意义，是一道基础题．可能会混淆倒数、相反数和绝对值的概念，错误地认为﹣3的绝对值等于，或认为﹣|﹣3|=3，把绝对值符号等同于括号． 2．（3分）（2022•龙岩）下列运算正确的是（ ） A．x2+x3=x5B．（﹣x2）3=x6C．x6÷x2=x3D．﹣2x•x2=﹣2x3考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方等幂的乘方法则进行逐一判断，即可．解答：解：A、x2与x3是相加，不是相乘，不能用同底数的幂的乘法计算，故本选项错误；B、应为（﹣x2）3=﹣x6，故本选项错误；C、应为x6÷x2=x4，故本选项错误；D、﹣2x•x2=﹣2x3，符合同底数幂的乘法法则，正确．故选D．点评：本题考查同底数幂的运算法则：乘法法则，底数不变，指数相加；除法法则，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 3．（3分）在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能不相同的是（ ） A．长方体B．正方体C．圆柱D．球考点：简单几何体的三视图．分析：找出每一个简单几何体得主视图与左视图即可．解答：解：A、长方体的主视图是长方形，左视图是正方形，故此选项正确；B、正方体主视图与左视图都是正方形，故此选项错误；C、圆柱体主视图与左视图都是长方形，故此选项错误；D、球主视图与左视图都是圆形，故此选项错误；故选：A．点评：此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．15\n 4．（3分）（2000•吉林）如果两圆半径分别为3cm和5cm，圆心距为4cm，那么两圆位置关系是（ ） A．外离B．外切C．相交D．内切考点：圆与圆的位置关系．分析：本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．解答：解：根据题意，得R﹣r=5﹣3=2，R+r=5+3=8，2＜圆心距4＜8，∴两圆相交．故选C．点评：本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法． 5．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A．x≥﹣2且x≠0B．x≤2且x≠0C．x≠0D．x≤﹣2考点：函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．解答：解：根据题意得，2﹣x≥0且5x≠0，解得x≤2且x≠0．故选B．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 6．（3分）（2022•南沙区一模）已知地球上海洋面积约为316000000km2，316000000这个数用科学记数法可表示为（ ） A．3.16×109B．3.16×108C．3.16×107D．3.16×106考点：科学记数法—表示较大的数．专题：常规题型．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于316000000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．解答：解：316000000=3.16×108．故选B．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键． 7．（3分）（2022•从化市一模）已知正比例函数y=kx（k≠0）函数值随x的增大而增大，则一次函数y=﹣kx+k的图象大致是（ ）15\n A．B．C．D．考点：一次函数的图象；正比例函数的性质．专题：应用题；压轴题．分析：由于正比例函数y=kx（k≠0）函数值随x的增大而增大，可得k＞0，﹣k＜0，然后，判断一次函数y=﹣kx+k的图象经过象限即可；解答：解：∵正比例函数y=kx（k≠0）函数值随x的增大而增大，∴k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y=﹣kx+k的图象经过一、二、四象限；故选C．点评：本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数y=kx+b，当k＞0，b＞0时，图象过一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，图象过一、三、四象限；k＜0，b＞0时，图象过一、二、四象限；k＜0，b＜0时，图象过二、三、四象限． 8．（3分）（2022•衢州）某班体育委员调查了本班46名同学一周的平均每天体育活动时间，并制作了如图所示的频数分布直方图，从直方图中可以看出，该班同学这一周平均每天体育活动时间的中位数和众数依次是（ ） A．40分，40分B．50分，40分C．50分，50分D．40分，50分考点：中位数；频数（率）分布直方图；众数．专题：压轴题；图表型．分析：本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．解答：解：结合图形的题目不用把所有数都按从大到小或从小到大的顺序排列起来，可以在图中从小往大找，50分在这些数的中间，是中位数；40分出现了14人次，出现的次数最多，是众数．故选B．点评：本题考查的是众数和中位数的概念．要注意，当所给数据有单位时，所求得的众数与原数据的单位相同，不要漏单位． 9．（3分）（2022•天水）若k是实数，那么关于x的方程x2+（2k+1）x+k﹣1=0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．无法判断根的情况考点：根的判别式．专题：压轴题．15\n分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．解答：解：∵a=1，b=2k+1，c=k﹣1，∴△=b2﹣4ac=（2k+1）2﹣4×1×（k﹣1）=4k2+4k+1﹣4k+4=4k2+5＞0，∴方程有两个不等的实数根．故选A．点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．本题还考查了完全平方式的非负性． 10．（3分）（2022•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ） A．B．C．D．2考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题；压轴题．分析：利用线段的垂直平分线的性质和三角形相似进行计算．解答：解：∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，根据勾股定理得：AB=5，而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，∴∠BDE=90°，∠B=∠B，∴△ACB∽△EDB，∴BC：BD=AB：（BC+CE），又BC=3，AC=4，AB=5，从而得到CE=．故选B．点评：本题主要考查直角三角形性质、线段垂直平分线的性质及相似三角形性质的应用及方程的数学思想． 11．（3分）（2022•南漳县模拟）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y=﹣n2+15n﹣36，那么该企业一年中应停产的月份是（ ） A．1月，2月B．1月，2月，3月 C．3月，12月D．1月，2月，3月，12月考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：求出利润为0时n的值，即令y=0，则﹣n2+15n﹣36=0，解方程得到n1=3，n2=12，所以3月和12月要停产，然后根据二次函数的性质得到抛物线开口向下，则n=1和n=2时，y＜0，于是得到该企业一年中应停产的月份还有是1月，2月．15\n解答：解：令y=0，则﹣n2+15n﹣36=0，∴n2﹣15n+36=0，∴（n﹣3）（n﹣12）=0，∴n1=3，n2=12，∵a=﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∴n=1和n=2时，y＜0，∴该企业一年中应停产的月份是1月，2月，3月，12月．故选D．点评：本题考查了二次函数的应用：根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质解决实际问题． 12．（3分）（2022•乐山）二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是（ ） A．0＜t＜1B．0＜t＜2C．1＜t＜2D．﹣1＜t＜1考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由二次函数的解析式可知，当x=1时，所对应的函数值y=t=a+b+1．把点（﹣1，0）代入y=ax2+bx+1，a﹣b+1=0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判断出a与b的符号，进而求出t=a+b+1的变化范围．解答：解：∵二次函数y=ax2+bx+1的顶点在第一象限，且经过点（﹣1，0），∴易得：a﹣b+1=0，a＜0，b＞0，由a=b﹣1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，由b=a+1＞0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0②，∴由①②得：﹣1＜a+b＜1，且c=1，得到0＜a+b+1＜2，∴0＜t＜2．故选：B．点评：此题考查了点与函数的关系，解题的关键是画草图，利用数形结合思想解题． 二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）（2022•本溪）分解因式：a3﹣4a2+4a= a（a﹣2）2 ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：观察原式a3﹣4a2+4a，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣4a+4是完全平方公式，利用完全平方公式继续分解可得．解答：解：a3﹣4a2+4a，=a（a2﹣4a+4），=a（a﹣2）2．15\n点评：考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法（完全平方公式）．要求灵活运用各种方法进行因式分解． 14．（4分）若关于x的方程有增根，m 3 ．考点：分式方程的增根．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，将x=5代入整式方程即可求出m的值．解答：解：去分母得：2﹣x+m=0，将x=5代入得：2﹣5+m=0，解得：m=3．故答案为：3．点评：此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 15．（4分）（2022•沈阳）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，BE：EC=1：2，连接AE交BD于点F，则△BFE的面积与△DFA的面积之比为 1：9 ．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由于平行四边形的对边相等，根据BE、EC的比例关系即可得到BE、AD的比例关系；易证得△BFE∽△DFA，已知了BE、AD的比例关系（即两个三角形的相似比），根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得解．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC；∵BE：EC=1：2，∴BE：BC=1：3，即BE：AD=1：3；易知：△BEF∽△DAF，∴S△BFE：S△DFA=BE2：AD2=1：9．点评：此题主要考查的是平行四边形和相似三角形的性质；相似三角形的对应边的比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 16．（4分）平面直角坐标系中，若把二次函数y=（x﹣2）（x﹣3）+4的图象平移向下平移4个单位后，与x轴交于A、B两点，则此两点的距离AB= 1 个单位．考点：二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．分析：根据向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的解析式，然后令y=0，解关于x的一元二次方程，再求解即可．解答：解：∵二次函数y=（x﹣2）（x﹣3）+4的图象向下平移4个单位，∴平移后的二次函数解析式为y=（x﹣2）（x﹣3），令y=0，则（x﹣2）（x﹣3）=0，15\n解得x1=2，x2=3，∴AB=3﹣2=1．故答案为：1．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，抛物线与x轴的交点问题，利用平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后的抛物线的解析式是解题的关键． 17．（4分）（2022•内江）如果分式的值为0，则x的值应为 ﹣3 ．考点：分式的值为零的条件．专题：计算题；压轴题．分析：根据分式的值为零的条件可以得到3x2﹣27=0且x﹣3≠0，从而求出x的值．解答：解：由分式的值为零的条件得3x2﹣27=0且x﹣3≠0，由3x2﹣27=0，得3（x+3）（x﹣3）=0，∴x=﹣3或x=3，由x﹣3≠0，得x≠3．综上，得x=﹣3，分式的值为0．故答案为：﹣3．点评：考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 18．（4分）（2022•南漳县模拟）如图，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD=30°，OB⊥AD，交AC于点B，若OB=3，则BC= 3 ．考点：垂径定理；解直角三角形．专题：压轴题．分析：连接CD；在Rt△AOB中，已知OB的长和∠A的度数，根据直角三角形的性质可求得OA的长，也就得到了直径AD的值，连接CD，同理可在Rt△ACD中求出AC的长，由BC=AC﹣AB即可得解．解答：解：连接CD；Rt△AOB中，∠A=30°，OB=3，则AB=6，OA=3；在Rt△ACD中，∠A=30°，AD=2OA=6，则AC=cos30°×6=×6=9，则BC=AC﹣AB=9﹣6=3．故答案是：3．15\n点评：此题主要考查了直角三角形的性质和圆周角定理的应用，难度不大．直径所对的圆周角是直角． 三、解答下列各题：（本大题共8个小题，共60分）19．（6分）（2022•滨州）计算：．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数、绝对值、二次根式化简5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=2﹣1﹣+2+1﹣=2+．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算 20．（6分）（2022•鄂州）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．考点：解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：（1）去括号得，﹣3x+6≥4﹣x，移项、合并同类项得，﹣2x≥﹣2，化系数为1得，x≤1．（2）去分母得，2x﹣5＜3x﹣3，移项、合并同类项得，﹣x＜2，化系数为1得，x＞﹣2．故原不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．∴不等式的整数解为{﹣1，0，1}．点评：主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 21．（6分）（2022•营口）如图，甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为m，乙转盘中指针所指区域内的数字为n（若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针都指向一个区域为止）．（1）请你用画树状图或列表格的方法求出|m+n|＞1的概率；（2）直接写出点（m，n）落在函数y=﹣图象上的概率．15\n考点：列表法与树状图法；绝对值；反比例函数图象上点的坐标特征．专题：压轴题；数形结合．分析：（1）根据题意列表，然后根据列表求得所有可能的结果与|m+n|＞1的情况，根据概率公式求解即可．（2）根据（1）中的树状图，即可求得点（m，n）落在函数y=﹣图象上的情况，由概率公式即可求得答案．解答：解：（1）表格如下： 转盘乙转盘甲﹣1012﹣1（﹣1，﹣1）（﹣1，0）（﹣1，1）（﹣1，2）﹣（﹣，﹣1）（﹣，0）（﹣，1）（﹣，2）1（1，﹣1）（1，0）（1，1）（1，2）（6分）由表格可知，所有等可能的结果有12种，其中|m+n|＞1的情况有5种，（7分）所以|m+n|＞1的概率为P1=；（8分）（2）点（m，n）在函数y=﹣上的概率为P2==．（10分）点评：此题为一次函数与概率的综合，考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．反比例函数上的点的横纵坐标的积为反比例函数的比例系数．第二象限点的符号为（﹣，+）． 22．（7分）（2022•南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：本题有多种解法．设的对象不同则列的一元二次方程不同．设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解．解答：解：解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得（x﹣2）•（2x﹣4）=288，15\n∴2（x﹣2）2=288，∴（x﹣2）2=144，∴x﹣2=±12，解得：x1=﹣10（不合题意，舍去），x2=14，所以x=14，2x=2×14=28．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为xm．根据题意，得（x﹣2）•（x﹣4）=288．解这个方程，得x1=﹣20（不合题意，舍去），x2=28．所以x=28，x=×28=14．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．点评：解答此题，要运用含x的代数式表示蔬菜种植矩形长与宽，再由面积关系列方程． 23．（7分）（2022•工业园区模拟）在一个阳光明媚、清风徐徐的周末，小明和小强一起到郊外放风筝．他们把风筝放飞后，两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处（如图）．现已知风筝A的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°．（1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？（2）求风筝A与风筝B的水平距离．（结果精确到0.01m，≈1.414，≈1.732）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：（1）在直角三角形中，运用三角函数定义求得线段BE和AD的长，比较后即可得到谁飞的更高；（2）利用已知角的余弦函数求CE，CD．距离=CE﹣CD．解答：解；（1）分别过A、B作地面的垂线，垂足分别为D、E．在Rt△ADC中，∵AC=20，∠ACD=60°，∴AD=20×sin60°=10≈17.32（m）．在Rt△BEC中，∵BC=24，∠BCE=45°，∴BE=24×sin45°=12≈16.97（m）∵17.32＞16.97，∴风筝A比风筝B离地面更高．（2）在Rt△ADC中，∵AC=20，∠ACD=60°，∴DC=20×cos60°=10（m）．在Rt△BEC中，∵BC=24，∠BCE=45°，∴EC=BE≈16.97（m）∴EC﹣DC≈16.97﹣10=6.97（m）即风筝A与风筝B的水平距离约为6.97m．点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． 15\n24．（8分）某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产销售，在对历年市场行情和生产情况进行调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息，如图所示．注：两图中的每个实心点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低，图甲的图象是线段，图乙的图象是抛物线．请你根据图象提供的信息说明：（1）在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由；（3）已知市场部销售该种蔬菜，4、5两个月的总收益为48万元，且5月份的销量比4月份的销量多2万公斤，求4、5两个月销量各多少万公斤？考点：二次函数的应用．专题：压轴题．分析：（1）由图知3月份的售价是5元，成本是4元，所以收益是1元；（2）需分别求出x月份的成本和售价，因此须求两图象对应的解析式，根据收益的表达式求最值．（3）假设出4月份的销量为x万公斤，则5月份的销量为（x+2）万公斤，利用两月的每千克利润即可得出答案．解答：解：（1）在3月份，每千克售价为5元，在3月份，每千克成本为4元∴在3月份出售这种蔬菜，每千克收益是1元．（2分）（2）设x月份出售时，每千克售价为y1元，每千克成本为y2元根据图（1）设y1=kx+b∴．∴∴（5分）根据图（2）设y2=a（x﹣6）2+1∴4=a（3﹣6）2+1∴∴∵y=y1﹣y2∴15\n．∴当x=5时，y有最大值即当5月份出售时，每千克收益最大．（3）假设出4月份的销量为x，则5月份的销量为（x+2）kg，∵4，5月每千克售价分别为：=﹣×4+7=，=﹣×5+7=，4，5月每千克成本分别为：∴=（4﹣6）2+1=元，∴=（5﹣6）2+1=元，∴4，5月的每千克的利润为：﹣=2元，﹣=元，∴2x+（x+2）×=48，解得：x=10万公斤，∴x+2=12万公斤，∴4、5两个月销量各10万公斤、12万公斤．点评：此题主要考查了函数的综合应用，结合函数图象得出各点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 25．（9分）在△ABC中，已知AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，且，过E作EF∥AB交AC的延长线于F．（1）如图1，当k=1时，求证：AF+EF=AB；（2）如图2，当k=2时，直接写出线段AF、EF、AB之间满足的数量关系： AF+EF=2AB ；（3）如图3，当时，请猜想线段AF、EF、AB之间满足的数量关系（含k），并证明你的结论．考点：相似形综合题．分析：（1）延长AD、EF交于点G，当k=1时，DE=BD，再根据∠BDA=∠EDG，BD=ED，证出△ABD≌△GED，得出AB=GE，又因为∠BAD=∠DAC，所以∠FGD=∠DAC，AF=GF，即可证出AF+EF=AB；（2）当k=2时，同（1）可得△ABD∽△GED，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论；（3）当时，同（1）可得△ABD∽△GED，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．解答：（1）证明：如图1，延长AD、EF交于点G，15\n当k=1时，DE=BD∵EF∥AB，∴∠BAD=∠EGD，在△ABD与△GED中，，∴△ABD≌△GED（AAS），∴AB=GE，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴∠FGD=∠DAC，∴AF=GF，∴AF+EF=AB；（2）解：如图2，延长AD、EF交于点G，当k=2时，∵EF∥AB，∴∠BAD=∠EGD，又∵∠BDA=∠EDG，∴△ABD∽△GED，∴==2，即GE=2AB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴∠FGD=∠DAC，∴AF=GF，∴AF+EF=2AB；（3）猜想：AE+EF=kAB．证明：如图3，延长AD、EF交于点G，当=k时，∵EF∥AB，∴∠BAD=∠EGD，又∵∠BDA=∠EDG，∴△ABD∽△GED，∴==k，即GE=kAB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴∠FGD=∠DAC，∴AF=GF，∴AF+EF=kAB．15\n点评：本题考查的是相似三角形综合题，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质求解是解答此题的关键． 26．（11分）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点如图1，顶点为M．（1）求a、b的值；（2）设抛物线与y轴的交点为Q，且直线y=﹣2x+9与直线OM交于点D（如图1）．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线扫过的区域的面积；（3）将抛物线平移，当顶点M移至原点时，过点Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点（如图2）．试探究：在y轴的负半轴上是否存在点P，使得∠EPQ=∠QPF？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）将已知的两点的坐标代入二次函数的解析式利用待定系数法求得a、b的值即可；（2）首先将求得的抛物线的解析式利用配方法求得其顶点坐标，然后求得D点的坐标，3然后利用平移的性质即可求得平行四边形MDNQ的面积；（3）将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x2，设EF的解析式为y=kx+3（k≠0）．假设存在满足题设条件的点P（0，t）过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线通过证明△GEP∽△HFP得到比例式求得t值即可存在，否则就不存在．解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点：∴，解得：；（2）由（1）求得抛物线的解析式为y=x2+4x+3，15\n配方得y=（x+2）2﹣1∴抛物线的顶点M（﹣2，﹣1），∴直线OD的解析式为y=x，由方程组，解得：，∴D（，）如图1，由平移的性质知，抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线扫过的区域的面积即为平行四边形MDNQ的面积，连接QD，∴S平行四边形MDNQ=2S△MDQ=2（S△OQM+S△OQD）=2×（×3×2+×3×）=；（3）将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x2，设EF的解析式为y=kx+3（k≠0）．假设存在满足题设条件的点P（0，t）过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H（如图2）．∵∠EPQ=∠QPF，∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，∴△GEP∽△HFP，∴=，∴==∴2kxE•xF=（t﹣3）（xE+xF）由．得x2﹣kx﹣3=0．∴xE+xF=k，xE•xF=﹣3．∴2k（﹣3）=（t﹣3）k∵k≠0，∴t=﹣3．∴y轴的负半轴上存在点P（0，﹣3），使∠EPQ=∠QPF．15\n点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法以及相似三角形的判定与性质等知识点，利用数形结合的数学思想得出是解题关键． 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