江苏省南京市化工园雨花栖霞浦口四区联合体2022年中考数学一模试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上）1．-|﹣2|等于（ ）A．2B．﹣2C．±2D．± 2．使有意义的x的取值范围是（ ）A．x＞1B．x≥1C．x＜1D．x≤1 3．计算（2a2）3的结果是（ ）A．2a5B．2a6C．6a6D．8a6 4．如图的几何体的俯视图是（ ）A．B．C．D． 5．在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（ ）①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④ 6．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为（ ）A．3或4B．4或3C．3或4D．3或425\n 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置．．．．上）7．计算（﹣1）3+（）﹣1= ． 8．计算+= ． 9．方程=的解为x= ． 10．南京地铁三号线全长为44830米，将44830用科学记数法表示为 ． 11．已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个根为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2= ． 12．某校九年级（1）班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是 岁． 13．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AC= ． 14．某体育馆的圆弧形屋顶如图所示，最高点C到弦AB的距离是20m，圆弧形屋顶的跨度AB是80m，则该圆弧所在圆的半径为 m． 15．如图，将边长为6的正方形ABCD绕点C顺时针旋转30°得到正方形A′B′CD′，则点A的旋转路径长为 ．（结果保留π）25\n 16．如图，A、B是反比例函数y=图象上关于原点O对称的两点，BC⊥x轴，垂足为C，连线AC过点D（0，﹣1.5）．若△ABC的面积为7，则点B的坐标为 ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．化简：÷（﹣1） 18．解不等式组：． 19．如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE=CF，DF∥BE，DF=BE．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC平分∠BAD，求证：▱ABCD为菱形． 20．小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．25\n（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ．（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案） 21．国家环保局统一规定，空气质量分为5级．当空气污染指数达0﹣50时为1级，质量为优；51﹣100时为2级，质量为良；101﹣200时为3级，轻度污染；201﹣300时为4级，中度污染；300以上时为5级，重度污染．某城市随机抽取了2022年某些天的空气质量检测结果，并整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列各题：（1）本次调查共抽取了 天的空气质量检测结果进行统计；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中3级空气质量所对应的圆心角为 °；（4）如果空气污染达到中度污染或者以上，将不适宜进行户外活动，根据目前的统计，请你估计2022年该城市有多少天不适宜开展户外活动．（2022年共365天） 22．已知P（﹣5，m）和Q（3，m）是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点．（1）求b的值；（2）将二次函数y=2x2+bx+1的图象沿y轴向上平移k（k＞0）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的取值范围． 23．如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA=75厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB⊥AO，∠AOB=∠ACB=37°，且支架长OB与桌面宽BC的长度之和等于OA的长度．求小桌板桌面的宽度BC．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）25\n 24．水池中有水20m3，12：00时同时打开两个每分钟出水量相等且不变的出水口，12：06时王师傅打开一个每分钟进水量不变的进水口，同时关闭一个出水口，12：14时再关闭里另一个出水口，12：20时水池中有水56cm3，王师傅的具体记录如表，设从12：00开始经过tmin池中有水ym3，如图中折线ABCD表示y关于t的函数图象．（1）每个出水口每分钟出水 m3，表格中a= ；（2）求进水口每分钟的进水量和b的值；（3）在整个过程中t为何值时，水池有水16m3时间池中有水（m3）12：002012：041212：06a12：14b12：2056 25．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，=，DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：CD平分∠ACE；（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若CE=1，AC=4，求阴影部分的面积． 26．某水果超市以8元/千克的单价购进1000千克的苹果，为提高利润和便于销售，将苹果按大小分两种规格出售，计划大、小号苹果都为500千克，大号苹果单价定为16元/千克，小号苹果单价定为10元/千克，若大号苹果比计划每增加1千克，则大苹果单价减少0.03元，小号苹果比计划每减少1千克，则小苹果单价增加0.02元．设大号苹果比计划增加x千克．（1）大号苹果的单价为 元/千克；小号苹果的单价为 元/千克；（用含x的代数式表示）25\n（2）若水果超市售完购进的1000千克苹果，请解决以下问题：①当x为何值时，所获利润最大？②若所获利润为3385元，求x的值． 27．【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．【初步体验】（1）如图1，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，DE∥FC∥BC．若AD=2，AE=1，DF=6，则EG= ，= ．（2）如图2，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，且DE∥BC∥FG．以AD、DF、FB为边构造△ADM（即AM=BF，MD=DF）；以AE、EG、GC为边构造△AEN（即AN=GC，NE=EG）．求证：∠M=∠N．【深入探究】上述基本事实启发我们可以用“平行线分线段成比例”解决下列问题：（3）如图3，已知△ABC和线段a，请用直尺与圆规作△A′B′C′．满足：①△A′B′C′∽△ABC；②△A′B′C′的周长等于线段a的长度．（保留作图痕迹，并写出作图步骤） 25\n2022年江苏省南京市化工园、雨花、栖霞、浦口四区联合体中考数学一模试卷参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上）1．-|﹣2|等于（ ）A．2B．﹣2C．±2D．±考点：绝对值．分析：根据绝对值的定义计算即可．解答：解：|﹣2|=2，故选A．点评：此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 2．使有意义的x的取值范围是（ ）A．x＞1B．x≥1C．x＜1D．x≤1考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，可得答案．解答：解：要使有意义，得x﹣1≥0．解得x≥1，故选：B．点评：本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 3．计算（2a2）3的结果是（ ）A．2a5B．2a6C．6a6D．8a6考点：幂的乘方与积的乘方．分析：根据即的乘方法则，即可解答．解答：解：（2a2）3=23•a6=8a6，故选：D．点评：本题考查了积的乘方，解决本题的关键是熟记积的乘方法则． 4．如图的几何体的俯视图是（ ）25\nA．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．专题：常规题型．分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解答：解：能看到的用实线，在内部的用虚线．故选：C．点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 5．在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（ ）①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④考点：平行四边形的性质．分析：当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，根据勾股定理求出AC，即可得出结论．解答：解：根据题意得：当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，∴AC==5，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选：B．点评：本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质以及勾股定理；得出▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形是解决问题的关键． 6．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为（ ）A．3或4B．4或3C．3或4D．3或4考点：翻折变换（折叠问题）．分析：如图，过点A′作A′M⊥BC于点M．设CM=A′M=x，则BM=7﹣x．在直角△A′25\nMB中，由勾股定理得到：A′M2=A′B2﹣BM2=25﹣（7﹣x）2．由此求得x的值；然后在等腰Rt△A′CM中，CA′=A′M．解答：解：如图所示，过点A′作A′M⊥BC于点M．∵点A的对应点A′恰落在∠BCD的平分线上，∴设CM=A′M=x，则BM=7﹣x，又由折叠的性质知AB=A′B=5，∴在直角△A′MB中，由勾股定理得到：A′M2=A′B2﹣BM2=25﹣（7﹣x）2，∴25﹣（7﹣x）2=x2，∴x=3或x=4，∵在等腰Rt△A′CM中，CA′=A′M，∴CA′=3或4．故答案是：3或4．点评：本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题）．解题的关键是作出辅助线，构建直角三角形△A′MB和等腰直角△A′CM，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置．．．．上）7．计算（﹣1）3+（）﹣1= 3 ．考点：负整数指数幂；有理数的乘方．分析：根据负数的奇数次幂是负数，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．解答：解：原式=﹣1+4=3，故答案为：3．点评：本题考查了负整数指数幂，利用了负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，负数的奇数次幂是负数． 8．计算+= ．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．解答：解：原式=+=．点评：25\n本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 9．方程=的解为x= 1 ．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3x﹣4=﹣1，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解．故答案为：1．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 10．南京地铁三号线全长为44830米，将44830用科学记数法表示为 4.483×104 ．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将44830用科学记数法表示为4.483×104．故答案为：4.483×104．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 11．已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个根为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2= 2 ．考点：根与系数的关系．分析：利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入所求式子中计算即可求出值．解答：解：∵x1，x2是方程x2﹣mx+m﹣2=0的两根，∴x1+x2=m，x1•x2=m﹣2，则x1+x2﹣x1•x2=m﹣（m﹣2）=2．故答案为2．点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 12．某校九年级（1）班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是 15 岁．考点：中位数．分析：根据中位数的定义找出第20和21个数的平均数，即可得出答案．解答：解：∵该班有40名同学，25\n∴这个班同学年龄的中位数是第20和21个数的平均数，∵15岁的有21人，∴这个班同学年龄的中位数是15岁；故答案为：15．点评：此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），熟练掌握中位数的定义是本题的关键． 13．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AC= 2 ．考点：正多边形和圆．分析：作BG⊥AC，垂足为G．构造等腰三角形ABC，在直角三角形ABG中，求出AG的长，再乘二即可．解答：解：作BG⊥AC，垂足为G．∵AB=BC，∴AG=CG，∵∠ABC=120°，∴∠BAC=30°，∴AG=AB•cos30°=2×=，∴AC=×2=2．故答案为2．点评：本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质是解题的关键． 14．某体育馆的圆弧形屋顶如图所示，最高点C到弦AB的距离是20m，圆弧形屋顶的跨度AB是80m，则该圆弧所在圆的半径为 50 m．25\n考点：垂径定理的应用；勾股定理．分析：先设出圆弧形屋顶所在圆的半径为O，所在圆的半径为r，过O作OD⊥AB交⊙O于点C，再利用勾股定理可得问题答案．解答：解：设圆弧形屋顶所在圆的半径为O，所在圆的半径为r，过O作OD⊥AB交⊙O于点C．由题意可知CD=20m，在Rt△BOD中，B02=OD2+BD2，r2=（r﹣20）2+402，得r=50．故答案为50．点评：本题考查垂径定理．解题思路：有关弦的问题常作弦心距，构造直角三角形利用勾股定理解决．在解题过程中要注意列方程的方法． 15．如图，将边长为6的正方形ABCD绕点C顺时针旋转30°得到正方形A′B′CD′，则点A的旋转路径长为 ．（结果保留π）考点：旋转的性质．分析：如图，作辅助线；首先求出AC的长度，然后运用弧长公式即可解决问题．解答：解：如图，连接AC、A′C．∵四边形ABCD为边长为6的正方形，∴∠B=90°，AB=BC=6，由勾股定理得：AC=6，由题意得：∠ACA′=30°，∴点A的旋转路径长==，故答案为．25\n点评：该题以正方形为载体，以旋转变换为方法，以考查旋转变换的性质为核心构造而成；解题的关键是将求点A的旋转路径长问题，转化为求弧长问题． 16．如图，A、B是反比例函数y=图象上关于原点O对称的两点，BC⊥x轴，垂足为C，连线AC过点D（0，﹣1.5）．若△ABC的面积为7，则点B的坐标为 （，3） ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：设B的坐标是（m，n），则A的坐标是（﹣m，﹣n），因为S△OBC=OC•BC=mn，S△AOC=OC•|﹣n|=mn，S△AOD=OD•|﹣m|=m，S△DOC=OD•OC=m，根据S△AOC=S△AOD+S△DOC=m+m=m，得出mn=m，从而求得n的值，然后根据S△OBC+S△AOC=mn+mn=7得出mn=7，即可求得m的值．解答：解：设B的坐标是（m，n），则A的坐标是（﹣m，﹣n），∵S△OBC=OC•BC=mn，S△AOC=OC•|﹣n|=mn，S△AOD=OD•|﹣m|=m，S△DOC=OD•OC=m∴S△AOC=S△AOD+S△DOC=m+m=m，∴mn=m，∴n=3，∵△ABC的面积为7，∴S△OBC+S△AOC=mn+mn=7，即mn=7，25\n∴m=，∴B（，3）；故答案为（，3）．点评：本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，根据图象找出面积的相等关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．化简：÷（﹣1）考点：分式的混合运算．分析：化除法为乘法，然后进行约分．解答：解：原式=÷=×=﹣1．点评：本题考查了分式的混合运算．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 18．解不等式组：．考点：解一元一次不等式组．分析：分别求出两个不等式的解集，求其公共解．解答：解：由①得x≤2，由②得x＞．所以，原不等式组的解集为＜x≤2．点评：本题是考查不等式组的解法，比较简单，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 19．如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE=CF，DF∥BE，DF=BE．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC平分∠BAD，求证：▱ABCD为菱形．25\n考点：菱形的判定；平行四边形的判定．专题：证明题．分析：（1）首先证明△ADF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得AD=CB，∠DAC=∠ACB，进而可得证明AD∥CB，根据一组对边平行且等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；（2）首先根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC，进而可得出AB=BC，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论．解答：证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFA=∠CEB，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AD=CB，∠DAC=∠ACB，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC，∴▱ABCD为菱形．点评：此题主要考查了平行四边形的判定和菱形的判定，关键是掌握据一组对边平行且等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形． 25\n20．小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ．（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）考点：列表法与树状图法．分析：（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案；（3）由如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；即可求得答案．解答：解：（1）∵第一道单选题有3个选项，∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：；故答案为：；（2）分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，∴小明顺利通关的概率为：；（3）∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；∴建议小明在第一题使用“求助”．点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 25\n21．国家环保局统一规定，空气质量分为5级．当空气污染指数达0﹣50时为1级，质量为优；51﹣100时为2级，质量为良；101﹣200时为3级，轻度污染；201﹣300时为4级，中度污染；300以上时为5级，重度污染．某城市随机抽取了2022年某些天的空气质量检测结果，并整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列各题：（1）本次调查共抽取了 50 天的空气质量检测结果进行统计；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中3级空气质量所对应的圆心角为 72 °；（4）如果空气污染达到中度污染或者以上，将不适宜进行户外活动，根据目前的统计，请你估计2022年该城市有多少天不适宜开展户外活动．（2022年共365天）考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）根据4级的天数数除以4级所占的百分比，可得答案；（2）根据有理数的减法，可得5级的天数，根据5级的天数，可得答案；（3）根据圆周角乘以3级所占的百分比，可得答案；（4）根据样本数据估计总体，可得答案．解答：解：（1）本次调查共抽取了24÷48%=50（天），故答案为：50；（2）5级抽取的天数50﹣3﹣7﹣10﹣24=6天，空气质量等级天数统计图；（3）360°×=72°，故答案为：72；25\n（4）365××100%=219（天），答：2022年该城市有219天不适宜开展户外活动．点评：本题考查了条形统计图，观察函数图象获得有效信息是解题关键． 22．已知P（﹣5，m）和Q（3，m）是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点．（1）求b的值；（2）将二次函数y=2x2+bx+1的图象沿y轴向上平移k（k＞0）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的取值范围．考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．分析：（1）利用P（﹣3，m）和Q（1，m）是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点，得出图象的对称轴，进而得出b的值；（2）利用图象与x轴无交点，则b2﹣4ac＜0，即可求出k的取值范围．解答：解：（1）∵点P、Q是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点，∴此抛物线对称轴是直线x=﹣1．∵二次函数的关系式为y=2x2+bx+1，∴有﹣=﹣1．∴b=4．（2）平移后抛物线的关系式为y=2x2+4x+1+k．要使平移后图象与x轴无交点，则有b2﹣4ac=16﹣8（1+k）＜0，k＞1．点评：此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及图象与x轴交点个数确定方法，利用二次函数的对称性得出对称轴是解题关键． 23．如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA=75厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB⊥AO，∠AOB=∠ACB=37°，且支架长OB与桌面宽BC的长度之和等于OA的长度．求小桌板桌面的宽度BC．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）考点：解直角三角形的应用．25\n分析：延长CB交AO于点D．则CD⊥OA，在Rt△OBD中根据正弦函数求得BD，根据余弦函数求得OD，在Rt△ACD中，根据正切函数求得AD，然后根据AD+OD=OA=75，列出关于x的方程，解方程即可求得．解答：解：延长CB交AO于点D．∴CD⊥OA，设BC=x，则OB=75﹣x，在Rt△OBD中，OD=OB•cos∠AOB，BD=OB•sin∠AOB，∴OD=（75﹣x）•cos37°=0.8（75﹣x）=60﹣0.8x，BD=（75﹣x）sin37°=0.6（75﹣x）=45﹣0.6x，在Rt△ACD中，AD=DC•tan∠ACB，∴AD=（x+45﹣0.6x）tan37°=0.75（0.4x+45）=0.3x+33.75，∵AD+OD=OA=75，∴0.3x+33.75+60﹣0.8x=75，解得x=37.5．∴BC=37.5；故小桌板桌面的宽度BC约为37.5cm．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形并求解． 24．水池中有水20m3，12：00时同时打开两个每分钟出水量相等且不变的出水口，12：06时王师傅打开一个每分钟进水量不变的进水口，同时关闭一个出水口，12：14时再关闭里另一个出水口，12：20时水池中有水56cm3，王师傅的具体记录如表，设从12：00开始经过tmin池中有水ym3，如图中折线ABCD表示y关于t的函数图象．（1）每个出水口每分钟出水 1 m3，表格中a= 8 ；（2）求进水口每分钟的进水量和b的值；（3）在整个过程中t为何值时，水池有水16m3时间池中有水（m3）12：002012：041212：06a12：14b12：205625\n考点：一次函数的应用．分析：（1）根据直线AB的解析式图象得出每个出水口每分钟出水速度为（20﹣12）÷4÷2，进而得出a的值即可；（2）根据直线BC的解析式的图象得出进水口每分钟的进水量，进而得出b的值；（3）把t=16代入两个解析式中解答即可．解答：解：（1）由直线AB图象可得：每个出水口每分钟出水速度为（20﹣12）÷4÷2=1m3/分钟；图中a的值等于20﹣6×2=8；故答案为：1；8；（2）设进水口每分钟的进水量为m，可得：，解得：，答：进水口每分钟的进水量是4，b的值是32；（3）直线AB的解析式为y=kx+b，可得：，解得：，所以直线AB的解析式为：y=﹣2x+20，把y=16代入y=﹣2x+20，解得：x=2；直线BC的解析式为y1=k1x+b1，可得：，解得：，所以直线BC的解析式为：y1=3x﹣10，把y=16代入y1=3x﹣10，解得：x=，综上所述，在整个过程中t为2或时，水池有水16m3点评：此题考查一次函数问题，关键是得出进水管和出水管的速度． 25．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，=，DE⊥BC，垂足为E．25\n（1）求证：CD平分∠ACE；（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若CE=1，AC=4，求阴影部分的面积．考点：切线的判定；扇形面积的计算．专题：计算题．分析：（1）根据圆周角定理，由=得到∠BAD=∠ACD，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE=∠BAD，所以∠ACD=∠DCE；（2）连结OD，如图，利用内错角相等证明OD∥BC，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；（3）作OH⊥BC于H，易得四边形ODEH为矩形，所以OD=EH=2，则CH=HE﹣CE=1，于是有∠HOC=30°，得到∠COD=60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S扇形OCD﹣S△OCD进行计算．解答：（1）证明：∵=，∴∠BAD=∠ACD，∵∠DCE=∠BAD，∴∠ACD=∠DCE，即CD平分∠ACE；（2）解：直线ED与⊙O相切．理由如下：连结OD，如图，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，而∠OCD=∠DCE，∴∠DCE=∠ODC，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；（3）解：作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，∴OD=EH，∵CE=1，AC=4，∴OC=OD=2，∴CH=HE﹣CE=2﹣1=1，在Rt△OHC中，∠HOC=30°，25\n∴∠COD=60°，∴阴影部分的面积=S扇形OCD﹣S△OCD=﹣•22=π﹣．点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形的计算． 26．某水果超市以8元/千克的单价购进1000千克的苹果，为提高利润和便于销售，将苹果按大小分两种规格出售，计划大、小号苹果都为500千克，大号苹果单价定为16元/千克，小号苹果单价定为10元/千克，若大号苹果比计划每增加1千克，则大苹果单价减少0.03元，小号苹果比计划每减少1千克，则小苹果单价增加0.02元．设大号苹果比计划增加x千克．（1）大号苹果的单价为 16﹣0.03x 元/千克；小号苹果的单价为 10+0.02x 元/千克；（用含x的代数式表示）（2）若水果超市售完购进的1000千克苹果，请解决以下问题：①当x为何值时，所获利润最大？②若所获利润为3385元，求x的值．考点：二次函数的应用．分析：（1）解决问题的关键是，设出未知数后，正确的表示出大号苹果和小号苹果的单价以及大号苹果和小号苹果的销售量，进而列出利润的函数表达式；（2）①求最大利润，即是二次函数中最值问题；②所获利润为3385元，求x的值是一元二次方程问题．解答：解：（1）大号苹果的单价为：16﹣0.03x；小号苹果的单价为：10+0.02x．故答案为：16﹣0.03x；10+0.02x．（2）①大号苹果的销售量为：500+x，单千克利润为：16﹣0.03x﹣8；小号苹果的销售量为：500﹣x，单千克利润为：10+0.02x﹣8；设总利润为W，则W=（500+x）（16﹣0.03x﹣8）+（500﹣x）（10+0.02x﹣8）=﹣0.05x2+x+5000=﹣0.05（x﹣10）2+5005∴当x=10时，所获利润最大；②获利润为3385元时，即﹣0.05（x﹣10）2+5005=3385，解得：x1=190，x2=﹣170（舍去）25\n∴所获利润为3385元时，x的值为190千克．点评：此题主要考查了二次函数中升降价问题，以及二次函数的最值问题，这是中考中热点问题，题目比较典型． 27．【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．【初步体验】（1）如图1，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，DE∥FC∥BC．若AD=2，AE=1，DF=6，则EG= 3 ，= 2 ．（2）如图2，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，且DE∥BC∥FG．以AD、DF、FB为边构造△ADM（即AM=BF，MD=DF）；以AE、EG、GC为边构造△AEN（即AN=GC，NE=EG）．求证：∠M=∠N．【深入探究】上述基本事实启发我们可以用“平行线分线段成比例”解决下列问题：（3）如图3，已知△ABC和线段a，请用直尺与圆规作△A′B′C′．满足：①△A′B′C′∽△ABC；②△A′B′C′的周长等于线段a的长度．（保留作图痕迹，并写出作图步骤）考点：相似形综合题；平行线分线段成比例．专题：作图题；证明题．分析：（1）只需利用基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”即可解决问题；（2）要证∠M=∠N，只需证△AMD∽△ANE，只需证==，由于DF=DM，EG=EN，BF=AM，GC=AN，只需证==，根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”即可解决问题；（3）借鉴图2，可进行以下操作：①延长BA到D，使得AD=AC，延长AB到E，使得BE=BC；②过点D画一条线段DF，使得DF=a，连接EF；③过点B作∠DBB′=∠DEF，交DF于点B′25\n，过点A作∠DAA′=∠DEF，交DF于点A′，即可得到AA′∥BB′∥EF；④以点A′为圆心，A′D为半径画弧，以点B′为圆心，B′F为半径画弧，两弧交于点C′；⑤连接A′C′，B′C′，如图4，△A′B′C′即为所求作．解答：解：（1）如图1，∵DE∥FG∥BC，∴，，∴==．∵AD=2，AE=1，DF=6，∴==，∴EG=3，=2．故答案分别为：3、2；（2）如图2，∵DE∥FG∥BC，∴，，∴==．∵DF=DM，EG=EN，BF=AM，GC=AN，∴==，∴△AMD∽△ANE，∴∠M=∠N；25\n（3）步骤：①延长BA到D，使得AD=AC，延长AB到E，使得BE=BC；②过点D画一条线段DF，使得DF=a，连接EF；③过点B作∠DBB′=∠DEF，交DF于点B′，过点A作∠DAA′=∠DEF，交DF于点A′；④以点A′为圆心，A′D为半径画弧，以点B′为圆心，B′F为半径画弧，两弧交于点C′；⑤连接A′C′，B′C′，如图4，△A′B′C′即为所求作．点评：本题从一个基本事实（平行线分线段成比例）出发，经历初步体验、深入探究的过程，在解决问题的过程中，用到了平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、平行线的判定，考查了操作能力以及运用已有经验解决问题的能力，体现了新课程理念． 25
