提分专练(三) 反比例函数与一次函数、几何综合|类型1| 反比例函数与一次函数结合1.[2022·天水]如图T3-1所示,在平面直角坐标系中,直线y=x-1与y轴相交于点A,与反比例函数y=kx(k≠0)的图像在第一象限内相交于点B(m,1).(1)求反比例函数的解析式;(2)将直线y=x-1向上平行移动后与反比例函数图像在第一象限内相交于点C,且△ABC的面积为4,求平行移动后的直线的解析式.图T3-12.[2022·广州]设P(x,0)是x轴上的一个动点,它与原点的距离为y1.12\n(1)求y1关于x的函数解析式,并画出这个函数的图像.(2)若反比例函数y2=kx的图像与函数y1的图像交于点A,且点A的纵坐标为2.①求k的值;②结合图像,当y1>y2时,写出x的取值范围.|类型2| 反比例函数与几何图形结合3.[2022·泰州姜堰区一模]如图T3-2,点P为函数y=16x(x>0)的图像上一点,且到两坐标轴的距离相等,☉P的半径为2,A(3,0),B(6,0),点Q是☉P上的动点,点C是QB的中点,则AC的最小值是( )图T3-2A.22-1B.22+1C.4D.24.[2022·无锡滨湖区一模]如图T3-3,在平面直角坐标系中,菱形ABOC的顶点O在坐标原点,边BO在x轴的负半轴上,∠BOC=60°,顶点C的坐标为(m,33),反比例函数y=kx的图像与菱形对角线AO交于D点,连接BD,当BD⊥x轴时,k的值是( )图T3-3A.63B.-63C.123D.-1235.如图T3-4,Rt△ABC的两个锐角顶点A,B在函数y=kx(x>0)的图像上,AC∥x轴,AC=3,若点A的坐标为(1,2),则点B的坐标12\n为 . 图T3-46.[2022·无锡天一中学一模]如图T3-5,点A是双曲线y=-3x在第二象限分支上的一个动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为底作等腰三角形ABC,且∠ACB=120°,随着点A的运动,点C的位置也不断变化,但点C始终在双曲线y=kx上运动,则k= . 图T3-57.[2022·泰州海陵区4月中考适应性训练]如图T3-6,直线y=kx与双曲线y=-6x交于A,B两点,点C为第三象限内一点.(1)若点A的坐标为(a,3),求a的值;(2)当k=-32,且CA=CB,∠ACB=90°时,如图①,求C点的坐标;(3)当△ABC为等边三角形时,如图②,点C的坐标为(m,n),试求m,n之间的关系式.12\n 图T3-68.[2022·扬州初三一模]如图T3-7①,反比例函数y=kx(x>0)的图像经过点A(23,1),射线AB与反比例函数图像交于另一点B(1,a),射线AC与y轴交于点C,∠BAC=75°,AD⊥y轴,垂足为D.(1)求k的值;(2)求tan∠DAC的值及直线AC的解析式;=(3)如图②,M是线段AC上方反比例函数图像上一动点,过M作直线l⊥x轴,与AC相交于点N,连接CM,求△CMN面积的最大值.图T3-712\n|类型3| 反比例函数与一次函数的应用9.[2022·徐州一模]某化工车间发生有害气体泄漏,自泄漏开始到完全控制用了40min,之后将对泄漏有害气体进行清理,线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x(min)之间的函数关系(0≤x≤40),反比例函数y=kx对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间内危险检测表显示数据y与时间x(min)之间的函数关系(40≤x≤?).根据图像解答下列问题:(1)危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是 ; (2)求反比例函数y=kx的表达式,并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值.图T3-812\n参考答案1.解:(1)∵点B(m,1)在直线y=x-1上,∴1=m-1,解得m=2,∴点B(2,1),12\n∵点B(2,1)在反比例函数y=kx的图像上,∴k=2,∴反比例函数的解析式为y=2x.(2)如图,设移动后的直线交y轴于点D,过点D作DE⊥直线AB,交AB于点E,对于直线y=x-1,当x=0时,y=-1,当y=0时,x=1,∴点A(0,-1),点F(1,0),∴AO=FO.∵∠AOF=90°,∴∠FAO=45°,∵点B(2,1),点A(0,-1),∴AB=22.由S△ABC=12AB·DE=4,AB=22,可知DE=22.在Rt△ADE中,∠DAE=45°,DE=22,∴AD=4,则点D的坐标为(0,3).将直线AB平移得直线CD,设直线CD的关系式为y=x+a,∵点D在直线y=x+a上,∴a=3,12\n则平移后的直线的解析式为y=x+3.2.解:(1)由题意,y1=|x|,即y1=|x|=x,x≥0,-x,x<0.函数图像如图:(2)①∵点A的纵坐标为2,点A在函数y1的图像上,∴|x|=2,x=±2.∴点A的坐标为(2,2)或(-2,2).∴k=±4.②当k=4时,图像如图①,x的取值范围为:x<0或x>2;当k=-4时,图像如图②,x的取值范围为:x<-2或x>0.3.A4.D [解析]过点C作CE⊥x轴于点E,∵顶点C的坐标为(m,33),∴OE=-m,CE=33,∵菱形ABOC中,∠BOC=60°,∴OB=OC=CEsin60°=6,∠BOD=12∠BOC=30°,∵DB⊥x轴,12\n∴DB=OB·tan30°=6×33=23,∴点D的坐标为(-6,23),∵反比例函数y=kx的图像与菱形对角线AO交于D点,∴k=xy=-123.故选D.5.4,126.1 [解析]如图,连接CO,过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E,由题可得AO=BO,AC=BC,且∠ACB=120°,∴CO⊥AB,∠CAB=30°,∴Rt△AOC中,OC∶AO=1∶3,∵∠AOD+∠COE=90°,∠DAO+∠AOD=90°,∴∠DAO=∠COE,又∵∠ADO=∠CEO=90°,∴△AOD∽△OCE,∴S△AODS△OCE=AOCO2=3,∵点A是双曲线y=-3x在第二象限分支上的一个动点,∴S△AOD=12×|-3|=32,∴S△OCE=13×32=12,即12|k|=12,∴k=±1,又∵k>0,∴k=1.12\n7.解:(1)a=-2.(2)连接CO,作AD⊥y轴于D点,作CE垂直y轴于E点,当CA=CB,∠ACB=90°时,可证得△ADO≌△OEC,又k=-32,由y=-32x和y=-6解得x=±2,y=∓3,所以A点坐标为(-2,3).由△ADO≌△OEC得,CE=OD=3,EO=DA=2,所以C(-3,-2).(3)连接CO,作AD⊥y轴于D点,作CE⊥y轴于E点,由△ABC为等边三角形,可得△ADO∽△OEC,且相似比为1∶3,因为C的坐标为(m,n),所以CE=-m,OE=-n,进而求得AD=-33n,OD=-33m,所以A33n,-33m,代入y=-6x中,得mn=18.8.解:(1)∵反比例函数y=kx(x>0)的图像经过点A(23,1),∴k23=1,∴k=23.(2)∵点B(1,a)在反比例函数y=23x的图像上,∴a=231=23,∴点B(1,23).如图,过B作BE⊥AD于E,则AE=BE=23-1.12\n∴∠ABE=∠BAE=45°.∵∠BAC=75°,∴∠DAC=30°,∴tan∠DAC=tan30°=33.∴DC=33AD=2,∴OC=2-1=1,∴C(0,-1).设直线AC的解析式为y=k1x+b,∴23k1+b=1,b=-1,解得k1=33,b=-1,∴直线AC的解析式为y=33x-1.(3)设Mm,23m(0<m<23),则Nm,33m-1,则MN=23m-33m-1=23m-33m+1.∴S△CMN=1223m-33m+1·m=-36m2+12m+3=-36m-322+938.当m=32时,△CMN的面积有最大值,最大值为938.9.解:(1)设当0≤x≤40时,y与x之间的函数关系式为y=ax+b,由题意得10a+b=35,30a+b=65,解得a=1.5,b=20.12\n∴y=1.5x+20,当x=0时,y=1.5×0+20=20,故答案为:20.(2)将x=40代入y=1.5x+20,得y=80,∴点E(40,80),∵点E在反比例函数y=kx的图像上,∴80=k40,得k=3200,即反比例函数解析式为y=3200x,当y=20时,20=3200x,得x=160,即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值是160.12
