江苏省盐城市大丰市亭湖区2022年中考数学二模试卷（解析版）

2022年江苏省盐城市大丰市亭湖区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）（2022•韶关）下列计算正确的是（　　）　A．a3•a2=a6B．（﹣a3）2=a6C．D．考点：二次根式的性质与化简；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂的运算及二次根式的化简求值计算即可．解答：解：A、a3•a2=a5，错误；B、（﹣a3）2=a6，正确；C、=|a|，错误；D、是最简二次根式，不能继续化简，错误．故选B．点评：本题考查同底数幂的运算及二次根式的性质：乘法法则，底数不变，指数相加；除法法则，底数不变，指数相减；乘方，底数不变，指数相乘；二次根式的性质：被开方数大于等于0．2．（3分）（2022•重庆）不等式组的解集为（　　）　A．x＞3B．x≤4C．3＜x＜4D．3＜x≤4考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：本题可根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交点，则不等式无解．解答：解：依题意得：在数轴上表示为：∴原式的解集为3＜x≤4．故选D．点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x大于较小的数、小于较大的数，那么解集为x介于两数之间．3．（3分）（2022•大丰市二模）若（a﹣2）2+|b+3|=0，则（a+b）3的值是（　　）　A．﹣1B．0C．1D．3考点：非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．分析：根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．解答：解：根据题意得：，解得：，19\n则原式=﹣1．故选A．点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．　4．（3分）（2022•黔南州）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　）　A．AB=CDB．AD=BCC．AB=BCD．AC=BD考点：矩形的判定．专题：压轴题．分析：四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．解答：解：因为四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD为平行四边形，A、B两选项为平行四边形本身具有“对边相等”的性质，C选项添加后ABCD为菱形，运用排除法知D正确．故选D．点评：考查了对四边形性质与判定的综合运用，特殊四边形之间的相互关系是考查重点．　5．（3分）（2022•大丰市二模）若一个多边形的内角和等于其外角和，则这个多边形的边数是（　　）　A．6B．5C．4D．3考点：多边形内角与外角．分析：任何多边形的外角和是360度，根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，可得方程（n﹣2）•180=360，解方程就可以求出多边形的边数．解答：解：设多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）•180=360，解得：n=4，故选C．点评：本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．　6．（3分）（2022•大丰市二模）为了了解“阳光体育运动”的实施情况，将某校40名学生一周的体育锻炼时间绘制成了如图所示的条形统计图，则该校40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是（　　）19\n　A．8B．9C．13D．16考点：中位数；条形统计图．分析：中位数是将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据或者最中间两个数据的平均数叫这组数据的中位数．解答：解：根据图表可知一周参加体育锻炼的共有40个人即有40个数据，所以中位数是按从小到大排列后第20，第21两个数的平均数作为中位数，根据图示可看出，这两个数都落在了9小时的范围内，故这组数据的中位数是9小时．故选B．点评：本题考查了中位数的定义以及条形统计图，此题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力和读图的能力．　7．（3分）（2022•大丰市二模）如图，一串图案按一定的规律排列，按此规律从左边数起第2022个图案是（　　）　A．B．C．D．考点：规律型：图形的变化类．分析：通过观察图形发现图案每四个开始循环，由此即可求解．解答：解：∵观察图形发现图案每四个开始循环，而2022÷4=502…1，∴第2022个图案是故选A．点评：此题主要考查了图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．　8．（3分）（2022•黔南州）三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（　　）　A．11B．13C．11或13D．不能确定考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．专题：计算题；压轴题；因式分解．分析：先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长．解答：解：（x﹣2）（x﹣4）=0x﹣2=0或x﹣4=0∴x1=2，x2=4．因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长为4，周长=3+6+4=13．故选B．点评：19\n本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，先求出方程的根，再根据三角形三边的关系确定第三边的长，然后求出三角形的周长．　二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．（3分）（2022•大丰市二模）使不等式x﹣5＞4x﹣1成立的值中最大整数是　﹣2　．考点：一元一次不等式的整数解．分析：先求出不等式的解集，再求出符合条件的x的最大整数值即可．解答：解：不等式x﹣5＞4x﹣1的解集为x＜﹣，故使不等式x﹣5＞4x﹣1成立的值中最大整数是﹣2．点评：正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质进行．　10．（3分）（2022•金华模拟）已知a+b=3，ab=﹣1，则a2b+ab2=　﹣3　．考点：因式分解的应用．专题：应用题．分析：将所求式子提取公因式ab，分解因式后，将a+b及ab的值代入即可求出值．解答：解：∵a+b=3，ab=﹣1，∴a2b+ab2=ab（a+b）=﹣1×3=﹣3．故答案为：﹣3点评：此题考查了因式分解的应用，利用了整体代入的思想，将所求式子分解因式是本题的突破点．　11．（3分）（2022•辽宁）体育老师对甲、乙两名同学分别进行了8次跳高测试，经计算这两名同学成绩的平均数相同，甲同学的方差是S甲2=6.4，乙同学的方差是S乙2=8.2，那么这两名同学跳高成绩比较稳定的是　甲　同学．考点：方差；算术平均数．分析：根据方差的意义可知，方差越小，成绩越稳定．解答：解：甲同学的方差小于乙的方差，则甲的成绩稳定．故填甲．点评：本题考查了方差的意义，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．　12．（3分）（2022•大丰市二模）若0＜a＜1，则点M（a﹣1，a）在第　二　象限．考点：点的坐标．分析：根据a的取值范围确定出a﹣1的正负情况，然后根据各象限内点的坐标特征解答．解答：解：∵0＜a＜1，∴﹣1＜a﹣1＜0，∴点M（a﹣1，a）在第二象限．故答案为：二．点评：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．　19\n13．（3分）（2022•大丰市二模）“惠农”超市1月份的营业额为16万元，3月份的营业额为36万元，则每月的平均增长率为 　50%　．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：设每月的在增长率为x，从月到3月连续增长两次，根据3月份的营业额为36万元可列出方程求解．解答：解：设每月的在增长率为x．16（1+x）2=36x=50%则每月的平均增长率为50%．故答案为：50%．点评：本题考查的是一个增长率问题，关键是看到从一月到3月两个月连续增长，从而列方程求解．　14．（3分）（2022•大丰市二模）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3=　20　度．考点：平行线的性质；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：本题主要利用两直线平行，同位角相等和三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和进行做题．解答：解：因为直尺的两边平行，所以∠2与它的同位角相等，又∵∠1=30°，∠2=50°，∴∠3=∠2﹣∠1=20°．点评：本题重点考查了平行线的性质及三角形外角的性质，是一道较为简单的题目．　15．（3分）（2022•黑龙江）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB），点O是这段弧的圆心，AB=120m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=20m，则这段弯路的半径为　100　m．考点：垂径定理的应用；勾股定理．专题：应用题；压轴题．分析：先求出弦的一半的长，再利用勾股定理即可求解．解答：解：∵AB=120m，∴BD=60m，19\n根据勾股定理可得：OB2=BD2+OD2，即OB2=602+（OB﹣20）2，解得OB=100．点评：本题的关键是利用垂径定理和勾股定理求线段的长．　16．（3分）（2022•大丰市二模）若直角三角形的两直角边之和为7，面积为6，则斜边长为　5　．考点：勾股定理．分析：可设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为7﹣x，由面积为6作为相等关系列方程求得x的值，进而求得斜边的长．解答：解：设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为7﹣x，根据题意得x（7﹣x）=6，解得x=3或x=4，所以斜边长为=5，故答案为：5．点评：本题考查了勾股定理的运用，根据直角三角形的面积公式列出关于直角边的方程，解得直角边的长再根据勾股定理求斜边的长．熟练运用勾股定理和一元二次方程是解题的关键．　17．（3分）（2022•大丰市二模）如果点（﹣a，﹣b）在反比例函数y=的图象上，那么下列五点（a，b）、（b，a）、（b，﹣a）、（﹣a，b）、（﹣b，a）中，在此图象上的点有　2　个．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：根据反比例函数的图象经过点（﹣a，﹣b），求出k=ab，只要各点坐标乘积等于比例系数即为函数图象上的点．解答：解：∵反比例函数的图象经过点（﹣a，﹣b），∴k=（﹣a）（﹣b）=ab，∵ab=ba，b（﹣a）=（﹣a）b=（﹣b）a≠ab，∴（a，b）、（b，a）在反比例函数y=的图象上，（b，﹣a）、（﹣a，b）、（﹣b，a）不在反比例函数y=的图象上．故答案为2．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．　18．（3分）（2022•大丰市二模）如图，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF+GH的最小值是　9.6　．19\n考点：圆的综合题．分析：如图，设GH的中点为O，过O点作OM⊥AC，过B点作BH⊥AC，垂足分别为M、H，根据∠B=90°可知，点O为过B点的圆的圆心，OM为⊙O的半径，BO+OM为直径，可知BH＜BO+OH，故当BH为直径时，直径的值最小，即直径GH也最小，同理可得EF的最小值．解答：解：如图，设GH的中点为O，过O点作OM⊥AC，过B点作BN⊥AC，垂足分别为M、N，∵在Rt△ABC中，BC=8，AB=6，∴AC==10，由面积法可知，BN•AC=AB•BC，解得BN=4.8，∵∠ABC=90°，∴点O为过B点的圆的圆心，OM为⊙O的半径，BO+OM为直径，又∵BO+OM≥BN，∴当BN为直径时，直径的值最小，此时，直径GH=BN=4.8，同理可得：EF的最小值为4.8，故EF+GH的最小值是9.6．故答案为：9.6点评：本题考查了切线的性质，垂线的性质及勾股定理的运用．关键是明确EF、GH为两圆的直径，根据题意确定直径的最小值．　三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）19．（8分）（2022•大丰市二模）计算：（1）|﹣2|﹣（1+）0+（2）sin30°﹣（cos45°）2+tan45°．考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：19\n（1）原式第一项利用负数的绝对值等于它的相反数计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用平方根定义化简，即可得到结果；（2）原式利用特殊角的三角函数值化简，计算即可得到结果．解答：解：（1）原式=2﹣1+2=3；（2）原式=﹣（）2+1=﹣+1=1．点评：此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数幂，负指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　20．（8分）（2022•大丰市二模）（1）解方程：﹣=1（2）化简：（a+b）2+（a﹣b）（2a+b）﹣3a2．考点：解分式方程；整式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）分式方程两边乘以x（x+1）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的自值，经检验即可得到分式方程的解；（2）原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用多项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．解答：解：（1）去分母得：x2﹣（x+1）=x（x+1），去括号得：x2﹣x﹣1=x2+x，解得：x=﹣，经检验是分式方程的解；（2）原式=a2+2ab+b2+2a2+ab﹣2ab﹣b2﹣3a2=ab．点评：此题考查了解分式方程，以及整式的混合运算，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．　21．（8分）（2022•庆阳）图①、图②均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上．（1）在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（画一个即可）（2）在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（画一个即可）考点：作图-轴对称变换；作图-旋转变换．专题：作图题；网格型；开放型．分析：先要找出什么样的图形是轴对称图形，什么样的图形是中心对称图形．19\n解答：解：（1）有以下答案供参考：．（3分）（2）有以下答案供参考：．（6分）点评：考查中心对称、轴对称的概念与画图的综合能力．　22．（8分）（2022•大丰市二模）某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．（1）写出所有的选购方案（利用树状图或列表法表示）；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？考点：列表法与树状图法．专题：压轴题；方案型．分析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．解答：解：（1）树状图如下：有6种可能的结果（A，D），（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）．（2）因为选中A型号电脑有2种方案，即（A，D），（A，E），所以A型号电脑被选中的概率是．点评：画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　23．（10分）（2022•南充）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及三角形AOB的面积．19\n考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：数形结合；待定系数法．分析：（1）把A（﹣4，n），B（2，﹣4）分别代入一次函数y=kx+b和反比例函数y=，运用待定系数法分别求其解析式；（2）把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算．解答：解：（1）∵B（2，﹣4）在y=上，∴m=﹣8．∴反比例函数的解析式为y=﹣．∵点A（﹣4，n）在y=﹣上，∴n=2．∴A（﹣4，2）．∵y=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），∴．解之得．∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2．（2）∵C是直线AB与x轴的交点，∴当y=0时，x=﹣2．∴点C（﹣2，0）．∴OC=2．∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×2+×2×4=6．点评：本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．19\n　24．（10分）（2022•海南）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．（1）求证：①△AEF≌△BEC；②四边形BCFD是平行四边形；（2）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．专题：综合题；压轴题．分析：（1）①在△ABC中，由已知可得∠ABC=60°，从而推得∠BAD=∠ABC=60°．由E为AB的中点，得到AE=BE．又因为∠AEF=∠BEC，所以△AEF≌△BEC．②在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=AB，BE=AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，则四边形BCFD是平行四边形．（2）在Rt△ABC中，设BC=a，则AB=2BC=2a，AD=AB=2a．设AH=x，则HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=3a2．在Rt△ACH中，由勾股定理得AH2+AC2=HC2，即x2+3a2=（2a﹣x）2．解得x=a，即AH=a．求得HC的值后，利用sin∠ACH=AH：HC求值．解答：（1）证明：①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°．在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°．∵E为AB的中点，∴AE=BE．又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC．②在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=AB，BE=AB．∴∠BCE=∠EBC=60°．又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°．又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°．∴FC∥BD．19\n又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC．∴四边形BCFD是平行四边形．（2）解：∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，∴∠CAH=90°．在Rt△ABC中，∠CAB=30°，设BC=a，∴AB=2BC=2a．∴AD=AB=2a．设AH=x，则HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2=（2a）2﹣a2=3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3a2=（2a﹣x）2，解得x=a，即AH=a．∴HC=2a﹣x=2a﹣a=a．∴sin∠ACH==．点评：本题考查了：（1）折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；（2）全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正弦的概念求解．　25．（10分）（2022•大丰市二模）某校九年级学生共300人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1分钟的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下面是这四名同学提供的部分信息：甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）；乙：跳绳次数不少于105次的同学占96%；丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是4；丁：第③组的频数比第④组的频数多2，且第③、④组的频数之和是第⑤组频数的4倍．根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？第①、③组各有多少人？（2）如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少？（3）若分别以100、110、120、130、140、150作为第①、②、③、④、⑤、⑥组跳绳次数的代表，估计这批学生1分钟跳绳次数的平均值是多少？19\n考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体．专题：图表型．分析：（1）本题需先根据乙提供的信息得出①的频率，再根据丙提供的信息得出②的频率，最后即可求出结果．（2）本题需求出全年级达到跳绳优秀的人数所占的比例，再乘以总人数即可求出结果．（3）本题需根据求平均数的公式把相应的数值代入即可得出答案．解答：解：（1）∵跳绳次数不少于105次的同学占96%∴①的频率为0.04∵①与②的频率之和是0.12∴②的频率为0.12﹣0.04=0.08∴这次跳绳测试共抽的学生数是；4÷0.08=50（人）∴①组的人数为：50×4%=2（人）设第⑤组有x人则：x+4x+8=50﹣2x=8∴第③组的人数==17（人）（2）全年级达到跳绳优秀的人数300×=72人；（3）这批学生1分钟跳绳次数的平均值是：（100×2+110×4+120×17+130×15+140×8+150×4）÷50=127点评：本题主要考查了频数分布直方图的有关知识，在解题时要注意综合运用已知条件得出结论是本题的关键．　26．（10分）（2022•宁德）已知：如图，直线PA交⊙O于A、E两点，PA的垂线DC切⊙O于点C，过A点作⊙O的直径AB．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若DC=4，DA=2，求⊙O的直径．考点：切线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）由弦切角定理知，∠DCA=∠B，故Rt△ADC∽Rt△ACB，则有∠DAC=∠CAB；19\n（2）由勾股定理求得AC的值后，由（1）中Rt△ADC∽Rt△ACB得=，即可求得AB的值．解答：（1）证明：方法一：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵DC切⊙O于C点，∴∠DCA=∠B，∵DC⊥PE，∴Rt△ADC∽Rt△ACB，∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠DAB；方法二：连接CO，因为DC与⊙O相切，所以DC⊥CO，又因为PA⊥CD，所以CO∥PE，所以∠ACO=∠CAO=∠CAD，即AC平分∠DAB（2）解：在Rt△ADC中，AD=2，DC=4，∴AC==2，由（1）得Rt△ADC∽Rt△ACB，∴=，即AB===10，∴⊙O的直径为10．点评：本题的解法不唯一，可利用弦切角定理，直径对的圆周角是直角，切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求解．　19\n27．（12分）（2022•大丰市二模）某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系式y=a（x﹣h）2+k，二次函数y=a（x﹣h）2+k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为﹣16、20．（1）试确定函数关系式y=a（x﹣h）2+k；（2）分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；（3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？考点：二次函数的应用．分析：（1）根据题意此抛物线的顶点坐标为（4，﹣16），设出抛物线的顶点式，把（10，20）代入即可求出a的值，把a的值代入抛物线的顶点式中即可确定出抛物线的解析式；（2）相邻两个月份的总利润的差即为某月利润．（3）根据前x个月内所获得的利润减去前x﹣1个月内所获得的利润，再减去16即可表示出第x个月内所获得的利润，为关于x的一次函数，且为增函数，得到x取最大为12时，把x=12代入即可求出最多的利润．解答：解：（1）根据题意可设：y=a（x﹣4）2﹣16，当x=10时，y=20，所以a（10﹣4）2﹣16=20，解得a=1，所求函数关系式为：y=（x﹣4）2﹣16．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）当x=9时，y=（9﹣4）2﹣16=9，所以前9个月公司累计获得的利润为9万元，又由题意可知，当x=10时，y=20，而20﹣9=11，所以10月份一个月内所获得的利润11万元．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（3）设在前12个月中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s（万元）则有：s=（n﹣4）2﹣16﹣[（n﹣1﹣4）2﹣16]=2n﹣9，因为s是关于n的一次函数，且2＞0，s随着n的增大而增大，而n的最大值为12，所以当n=12时，s=15，所以第12月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是15万元．﹣﹣（4分）点评：本题考查了二次函数的应用，主要考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题，是一道综合题．　28．（12分）（2022•临沂）如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．①求证：PB=PS；②判断△SBR的形状；19\n③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似？若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据B点的坐标以及矩形的面积可以求出矩形的四个顶点的坐标，根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式；（2）①过点B作BN⊥PS，垂足为N，可以设P的坐标是（a，a2+1），根据勾股定理就可以用a表示出PB=PS的长，由此可以证明；②判断△SBR的形状，根据①同理可知BQ=QR，根据等边对等角就可以证明∠SBR=90度，则△SBR为直角三角形；③若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况，根据相似三角形的对应边的比相等就可以求出．解答：解：（1）方法一：∵B点坐标为（0.2），∴OB=2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4．∴C点坐标为（﹣2，2）．F点坐标为（2，2）．设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．其过三点A（0，1），C（﹣2.2），F（2，2）．得，解这个方程组，得a=，b=0，c=1，∴此抛物线的解析式为y=x2+1．（3分）方法二：∵B点坐标为（0.2），∴OB=2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4．∴C点坐标为（﹣2，2），19\n根据题意可设抛物线解析式为y=ax2+c．其过点A（0，1）和C（﹣2.2）解这个方程组，得a=，c=1此抛物线解析式为y=x2+1．（2）①证明：如图（2）过点B作BN⊥PS，垂足为N．∵P点在抛物线y=x2+1上．可设P点坐标为（a，a2+1）．∴PS=a2+1，OB=NS=2，BN=﹣a．∴PN=PS﹣NS=，在Rt△PNB中．PB2=PN2+BN2=（a2﹣1）2+a2=（a2+1）2∴PB=PS=．（6分）②根据①同理可知BQ=QR．∴∠1=∠2，又∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，同理∠SBP=∠5（7分）∴2∠5+2∠3=180°∴∠5+∠3=90°∴∠SBR=90度．∴△SBR为直角三角形．（8分）③方法一：如图（3）作QN⊥PS，设PS=b，QR=c，∵由①知PS=PB=b．QR=QB=c，PQ=b+c．PN=b﹣c．∴QN2=SR2=（b+c）2﹣（b﹣c）2∴．（9分）假设存在点M．且MS=x，则MR=．若使△PSM∽△MRQ，则有．即x2﹣2x+bc=0∴．∴SR=2∴M为SR的中点．（11分）若使△PSM∽△QRM，19\n则有．∴．∴．∴M点即为原点O．综上所述，当点M为SR的中点时．△PSM∽△MRQ；当点M为原点时，△PSM∽△MRQ．（13分）方法二：若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，∵∠PSM=∠MRQ=90°，∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况．当△PSM∽△MRQ时．∠SPM=∠RMQ，∠SMP=∠RQM．由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR=90度．∴∠PMQ=90度．（9分）取PQ中点为T．连接MT．则MT=PQ=（QR+PS）．（10分）∴MN为直角梯形SRQP的中位线，∴点M为SR的中点（11分）∴=1当△PSM∽△QRM时，∴QB=BP∵PS∥OB∥QR∴点M为原点O．综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；当点M为原点时，△PSM∽△QRM．（13分）19\n点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及相似三角形的对应边的比相等．19