江苏省盐城市阜宁县2022届中考数学一模试题一、选择题（每小题3分，共24分）1．下面的数中，与﹣2的和为0的是（ ）A．B．﹣C．2D．﹣2 2．下列计算正确的是（ ）A．2+4=6B．=4C．÷=3D．=﹣3 3．如图所示零件的左视图是（ ）A．B．C．D． 4．下列各数能用科学记数法表示为3.14×10﹣3的是（ ）A．0.000314B．0.00314C．0.0314D．3140 5．如图，把线段AB平移，使得点A到达点C（4，2），点B到达点D，那么点D的坐标是（ ）A．（7，3）B．（6，4）C．（7，4）D．（8，4） 6．某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）26\nA．7，7B．8，7.5C．7，7.5D．8，6.5 7．如图，⊙O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则⊙O的半径长为（ ）A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm 8．为求1+2+22+23+…+22022的值，可令S=1+2+22+23+…+22022，则2S=2+22+23+…+22022，因此2S﹣S=22022﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52022的值为（ ）A．52022﹣1B．52022﹣1C．D． 二、填空题（每小题3分，共30分）9．函数y=中，自变量x的取值范围是 ． 10．分解因式：（x﹣1）2﹣4= ． 11．若2ym+5xn+3与﹣3x3y2是同类项，则mn= ． 12．已知一元二次方程x2﹣5x﹣6=0有两个实数根x1，x2，则x1+x2= ． 13．如图，AB∥CD，∠CFE=112°，ED平分∠BEF，交CD于D，则∠EDF= 度． 14．某商品房经过两次降价，由5000元/平方米降为3200元/平方米．已知两次降价的百分率相同，则这个百分率为 ． 26\n15．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是 ． 16．已知一个圆锥体的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面展开图面积是 ．（结果保留π） 17．如图，点P是正比例函数y=x与反比例函数y=在第一象限内的交点，PA⊥OP交x轴于点A，△POA的面积为3，则k的值是 ． 18．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为 ． 三、解答题（本题共10小题，共96分）19．（1）计算：（）0﹣（）﹣2+tan45°；（2）解方程：﹣=2． 20．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 21．在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是多少？26\n（2）随机地从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次取出球的颜色是红与黑的概率． 22．某校积极组织学生参加课外读书活动，随机抽取该校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题：（1）求被调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）已知该校有3000名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？ 23．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）求证：四边形AECF是菱形． 24．如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．26\n 25．某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：甲乙进价（元/部）40002500售价（元/部）43003000该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后获毛利润共2.1万元（毛利润=（售价﹣进价）×销售量）（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量，已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的3倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过17.25万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润． 26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O的切线． 27．如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，已知：DE∥AC，DF∥BC．（1）判断四边形DECF的形状并说明理由；（2）若BD=BC，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠ABC的平分线（写出作法并说明理由）；（3）当AC=6cm，BC=4cm，∠ACB=60°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论．26\n 28．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，﹣6），对称轴为x=2．（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 26\n2022年江苏省盐城市阜宁县中考数学一模试卷参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共24分）1．下面的数中，与﹣2的和为0的是（ ）A．B．﹣C．2D．﹣2考点：相反数．分析：设这个数为x，根据题意可得方程x+（﹣2）=0，再解方程即可．解答：解：设这个数为x，由题意得：x+（﹣2）=0，x﹣2=0，x=2，故选：C．点评：此题主要考查了有理数的加法，解答本题的关键是理解题意，根据题意列出方程． 2．下列计算正确的是（ ）A．2+4=6B．=4C．÷=3D．=﹣3考点：实数的运算．分析：A、根据合并二次根式的法则即可判定；B、根据二次根式的乘法法则即可判定；C、根据二次根式的除法法则即可判定；D、根据二次根式的性质即可判定．解答：解：A、2+4不是同类项不能合并，故A选项错误；B、=2，故B选项错误；C、÷=3，故C选项正确；D、=3，故D选项错误．故选：C．点评：此题主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．在进行根式的运算时要先化简再计算可使计算简便． 3．如图所示零件的左视图是（ ）A．B．C．D．26\n考点：简单几何体的三视图．分析：找到从上面看所得到的图形即可．解答：解：零件的左视图是两个竖叠的矩形．中间有2条横着的虚线．故选D．点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的棱用实线表示，看不到的用虚线表示． 4．下列各数能用科学记数法表示为3.14×10﹣3的是（ ）A．0.000314B．0.00314C．0.0314D．3140考点：科学记数法—原数．分析：把3.14×10﹣3还原成原数，就是把小数点向左移动3位．解答：解：3.14×10﹣3=﹣0.00314．故选：B．点评：本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10﹣n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数． 5．如图，把线段AB平移，使得点A到达点C（4，2），点B到达点D，那么点D的坐标是（ ）A．（7，3）B．（6，4）C．（7，4）D．（8，4）考点：坐标与图形变化-平移．专题：数形结合．分析：得到点A的平移规律，根据点A的平移情况得到点D的坐标即可．解答：解：∵点A的坐标为（0，1），平移后为（4，2），∴平移的规律为横坐标加4，纵坐标加1，∵点B的坐标为（3，3），∴点D的坐标是（7，4），故选：C．点评：考查坐标的平移规律；图形的平移，看关键点的平移即可；左右平移只改变点的横坐标，左减右加，上下平移只改变点的纵坐标，上加下减． 6．某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）26\nA．7，7B．8，7.5C．7，7.5D．8，6.5考点：众数；条形统计图；中位数．专题：图表型．分析：中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出．解答：解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第三组，7环，故众数是7（环）；因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的环数是7（环）、8（环），故中位数是7.5（环）．故选C．点评：本题考查的是众数和中位数的定义．要注意，当所给数据有单位时，所求得的众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位． 7．如图，⊙O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则⊙O的半径长为（ ）A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm考点：垂径定理；勾股定理．分析：过点O作OC⊥AB于点C．根据垂径定理和勾股定理求解．解答：解：过点O作OC⊥AB于点C∵弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm∴OC=4，AC=AB=3∴OA==5cm故选C．点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的综合应用．26\n 8．为求1+2+22+23+…+22022的值，可令S=1+2+22+23+…+22022，则2S=2+22+23+…+22022，因此2S﹣S=22022﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52022的值为（ ）A．52022﹣1B．52022﹣1C．D．考点：有理数的乘方．分析：设S=1+5+52+53+…+52022，则5S=5+52+53+…++52022+52022，先减即可求出答案．解答：解：∵设S=1+5+52+53+…+52022，则5S=5+52+53+…++52022+52022，∴4S=52022﹣1，∴S=，故选：D．点评：本题考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力和理解能力，题目是一道比较好的题目，难度适中． 二、填空题（每小题3分，共30分）9．函数y=中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1 ．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 10．分解因式：（x﹣1）2﹣4= （x+1）（x﹣3） ．考点：因式分解-运用公式法．分析：直接利用平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）进行分解即可．解答：解：（x﹣1）2﹣4，=（x﹣1）2﹣22，=（x﹣1﹣2）（x﹣1+2），=（x﹣3）（x+1），故答案为：（x﹣3）（x+1）．点评：此题主要考查了平方差公式分解因式，关键是掌握平方差公式的特点：①多项式必须是二项式，②两项都能写成平方的形式，③符号相反． 11．若2ym+5xn+3与﹣3x3y2是同类项，则mn= 1 ．26\n考点：同类项．分析：根据同类项的定义：字母相同，相同字母的指数相同列出方程，解方程得到答案．解答：解：由题意得，m+5=2，n+3=3，解得：m=﹣3，n=0，则mn=1．故答案为：1．点评：本题考查的是同类项的概念：同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．解题时注意运用二元一次方程组求字母的值． 12．已知一元二次方程x2﹣5x﹣6=0有两个实数根x1，x2，则x1+x2= 5 ．考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=﹣（a是二次项系数、b是一次项系数）解答即可．解答：解：∵一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣5，又∵x1，x2分别是一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的两个实数根，∴根据韦达定理，知x1+x2=﹣=5．故答案为5．点评：此题主要考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1•x2=．解答时，注意要找对方程中的二次项系数、一次项系数及常数项． 13．如图，AB∥CD，∠CFE=112°，ED平分∠BEF，交CD于D，则∠EDF= 56 度．考点：平行线的性质；角平分线的定义．专题：计算题．分析：根据角平分线和平行线的性质求解．解答：解：∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CFE=112°，∵ED平分∠BEF，∴∠BED=112°×=56°，又∵AB∥CD，∴∠EDF=∠BED=56°．26\n点评：本题把角平分线置于“三线八角”的背景之中，与平行线组合使用，由于角平分线、平行线都具有转化角的作用，所以命题者常将两者组合，设计出精彩纷呈的题目． 14．某商品房经过两次降价，由5000元/平方米降为3200元/平方米．已知两次降价的百分率相同，则这个百分率为 20% ．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：此题可设降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．解答：解：降价的百分率为x，根据题意列方程得5000×（1﹣x）2=3200，解得x1=0.2，x2=1.8（不符合题意，舍去）．所以降价的百分率为0.2，即20%．故答案是：20%．点评：本题考查了一元二次方程的应用．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 15．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是 AD=BC或ABCD是以AD、BC为腰的等腰梯形（答案不唯一） ．考点：菱形的判定；三角形中位线定理．专题：开放型．分析：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．等．答案不唯一．解答：解：条件是AD=BC．∵EH、GF分别是△ABC、△BCD的中位线，∴EH∥=BC，GF∥=BC，∴EH∥=GF，∴四边形EFGH是平行四边形．要使四边形EFGH是菱形，则要使AD=BC，这样，GH=AD，∴GH=GF，26\n∴四边形EFGH是菱形．点评：此题主要考查三角形的中位线定理和菱形的判定． 16．已知一个圆锥体的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面展开图面积是 8π ．（结果保留π）考点：圆锥的计算．专题：压轴题．分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．解答：解：底面圆的半径为2，则底面周长=4π，侧面面积=×4π×4=8π．点评：本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 17．如图，点P是正比例函数y=x与反比例函数y=在第一象限内的交点，PA⊥OP交x轴于点A，△POA的面积为3，则k的值是 3 ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：过P作PB⊥OA于B，根据一次函数的性质得到∠POA=45°，则△POA为等腰直角三角形，所以OB=AB，于是S△POB=S△POA=×3=，然后根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义即可得到k的值．解答：解：过P作PB⊥OA于B，如图，∵正比例函数的解析式为y=x，∴∠POA=45°，∵PA⊥OP，∴△POA为等腰直角三角形，∴OB=AB，∴S△POB=S△POA=×3=，∴k=，∴k=3．故答案为3．26\n点评：本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．也考查了等腰直角三角形的性质． 18．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为 3 ．考点：抛物线与x轴的交点．分析：先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．解答：解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，∴a＞0．﹣=﹣3，即b2=12a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，∴m的最大值为3，故答案为3．点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键． 三、解答题（本题共10小题，共96分）19．（1）计算：（）0﹣（）﹣2+tan45°；（2）解方程：﹣=2．考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂；解分式方程．分析：（1）本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．（2）首先找出最简公分母，去分母，解出结果后，要进行检验．解答：解：（1）原式=1﹣4+1=﹣2；26\n（2）﹣=2，+=2，x+3=2（x﹣1），x+3=2x﹣2，x﹣2x=﹣3﹣2，﹣x=﹣5，x=5，检验：把x=5代入x﹣1中，x﹣1=5﹣1=4≠0，所以x=5是原方程的解，∴原方程的解为：x=5，点评：此题主要考查了实数的综合运算和解分式方程的能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂等考点的运算．在解分式方程时，不要忘记检验． 20．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．专题：探究型．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在数轴上表示出来即可．解答：解：，由①得，x＜1，由②得，x≥﹣，故原不等式组的解集为：﹣≤x＜1．在数轴上表示为：点评：本题考查的是解一元一此不等式组及在数轴上表示一元一次不等式组的解集，属较简单题目． 21．在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是多少？26\n（2）随机地从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次取出球的颜色是红与黑的概率．考点：列表法与树状图法；概率公式．分析：（1）由在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出球的颜色是红与黑的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：（1）∵在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，∴取出红球的概率是：；（2）画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次取出球的颜色是红与黑的有2种情况，∴两次取出相同颜色球的概率为：．点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22．某校积极组织学生参加课外读书活动，随机抽取该校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题：（1）求被调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）已知该校有3000名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．26\n分析：（1）根据喜爱科普的人数除以，喜爱科普所占的百分比，可得抽测的人数；（2）根据有理数的减法，可得喜爱艺体的人数，根据喜爱艺体的人数，可得答案；（3）根据全校总人数乘以喜爱文学图书所占的百分比，可得答案．解答：解：（1）被调查的学生人数为：12÷20%=60（人）；（2）喜欢艺体类的学生数为：60﹣24﹣12﹣16=8（人），如图所示：；（3）全校最喜爱文学类图书的学生约有：3000×=1200（人）．点评：本题考查了条形统计图，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题关键． 23．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）求证：四边形AECF是菱形．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE=CE，AD=CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可；（2）根据全等得到AE=CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC=EA，FC=FA，从而得到EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形．解答：解：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，AD=CD，∵CF∥AB26\n∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，在△AED与△CFD中，，∴△AED≌△CFD；（2）∵△AED≌△CFD，∴AE=CF，∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC=EA，FC=FA，∴EC=EA=FC=FA，∴四边形AECF为菱形．点评：本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，解题的关键是了解通过作图能得到直线的垂直平分线． 24．如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，根据三角函数求得BE，在Rt△BCF中，根据三角函数求得BF，在Rt△DFG中，根据三角函数求得FG，再根据EG=BE+BF+FG即可求解．解答：解：过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，BE=AB•sin30°=20×=10km，在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷=km，CF=BF•sin30°=×=km，DF=CD﹣CF=（30﹣）km，在Rt△DFG中，FG=DF•sin30°=（30﹣）×=（15﹣）km，∴EG=BE+BF+FG=（25+5）km．26\n故两高速公路间的距离为（25+5）km．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 25．某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：甲乙进价（元/部）40002500售价（元/部）43003000该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后获毛利润共2.1万元（毛利润=（售价﹣进价）×销售量）（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量，已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的3倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过17.25万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，根据两种手机的购买金额为15.5万元和两种手机的销售利润为2.1万元建立方程组求出其解即可；（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加2a部，表示出购买的总资金，由总资金不超过17.25万元建立不等式就可以求出a的取值范围，再设销售后的总利润为W元，表示出总利润与a的关系式，由一次函数的性质就可以求出最大利润．解答：解：（1）设该商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，由题意得，解得．答：该商场计划购进甲种手机20部，乙种手机30部；（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加3a部，由题意得4000（20﹣a）+2500（30+3a）≤172500解得a≤5设全部销售后的毛利润为w元．则w=300（20﹣a）+500（30+3a）=1200a+21000．∵1200＞0，26\n∴w随着a的增大而增大，∴当a=5时，w有最大值，w最大=1200×5+21000=27000答：当商场购进甲种手机15部，乙种手机45部时，全部销售后毛利润最大，最大毛利润是2.7万元．点评：本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用及一次函数的性质的运用，解答本题时灵活运用一次函数的性质求解是关键． 26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．考点：切线的判定；弧长的计算．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据弧长计算公式l=进行计算即可；（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；（3）连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．解答：（1）解：∵AC=12，∴CO=6，∴==2π；答：劣弧PC的长为：2π．（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA=90°，∠ADO=90°在△ADO和△PEO中，，∴△POE≌△AOD（AAS），∴OD=EO；（3）证明：如图，连接AP，PC，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA，由（2）得OD=EO，26\n∴∠ODE=∠OED，又∵∠AOP=∠EOD，∴∠OPA=∠ODE，∴AP∥DF，∵AC是直径，∴∠APC=90°，∴∠PQE=90°∴PC⊥EF，又∵DP∥BF，∴∠ODE=∠EFC，∵∠OED=∠CEF，∴∠CEF=∠EFC，∴CE=CF，∴PC为EF的中垂线，∴∠EPQ=∠QPF，∵△CEP∽△CAP∴∠EPQ=∠EAP，∴∠QPF=∠EAP，∴∠QPF=∠OPA，∵∠OPA+∠OPC=90°，∴∠QPF+∠OPC=90°，∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．点评：本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系． 27．如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，已知：DE∥AC，DF∥BC．（1）判断四边形DECF的形状并说明理由；（2）若BD=BC，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠ABC的平分线（写出作法并说明理由）；（3）当AC=6cm，BC=4cm，∠ACB=60°26\n时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论．考点：四边形综合题．分析：（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可解答；（2）连接CD与EF相交于点O，根据平行四边形的对角线互相平分，O为CD的中点，再根据等腰三角形的性质（三线合一），连接BO，BO即为∠ABC的角平分线；（3）根据△ADF∽△ABC推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出高h与x之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积S关于h的二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时h的值．解答：解：（1）∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形．（2）如图1，连接CD与EF相交于点O，连接BO，BO即为∠ABC的角平分线，理由：∵四边形DECF是平行四边形，∴O是DC中点，又∵DB=CB，∴BO就是∠ABC的平分线；（3）作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，如图2，∵∠ACB=60°，AC=6cm26\n∴AG=AC•sin60°=，设DF=EC=x，平行四边形的高为h，则AH=3﹣h，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴，∴，∴x=，∵S=xh=4h﹣，∴h=﹣，∵AH=3，∴AF=FC，∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大．点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、二次函数的最值，关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论． 28．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，﹣6），对称轴为x=2．（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由题意抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，﹣26\n6），对称轴为x=2，根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式；（2）假设存在，设出时间t，则根据线段PQ被直线CD垂直平分，再由垂直平分线的性质及勾股定理来求解t，看t是否存在；（3）假设直线x=1上是存在点M，使△MPQ为等腰三角形，此时要分两种情况讨论：①当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点；②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点；然后再根据等腰三角形的性质及直角三角形的勾股定理求出M点坐标．解答：解：（1）方法一：∵抛物线过C（0，﹣6）∴c=﹣6，即y=ax2+bx﹣6由解得：a=，b=﹣∴该抛物线的解析式为y=（3分）方法二：∵A、B关于x=2对称∴A（﹣8，0）设y=a（x+8）（x﹣12）C在抛物线上∴﹣6=a×8×（﹣12）即a=∴该抛物线的解析式为：y=；（3分）（2）存在，设直线CD垂直平分PQ，在Rt△AOC中，AC==10=AD，∴点D在对称轴上，连接DQ，显然∠PDC=∠QDC（1分）由已知∠PDC=∠ACD，∴∠QDC=∠ACD，∴DQ∥AC（1分）∴DB=AB﹣AD=20﹣10=10，∴DQ为△ABC的中位线，∴DQ=AC=5，（1分）∴AP=AD﹣PD=AD﹣DQ=10﹣5=5，∴t=5÷1=5（秒），∴存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分（1分）在Rt△BOC中，BC=，而DQ为△ABC的中位线，∴CQ=3，26\n∴点Q的运动速度为每秒单位长度；（1分）（3）存在，过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=3，PH=9在Rt△PQH中，PQ=（1分）①当MP=MQ，即M为顶点，设直线CD的直线方程为：y=kx+b（k≠0），则：解得：∴y=3x﹣6当x=1时，y=﹣3，∴M1（1，﹣3）（1分）②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点．设直线x=1上存在点M（1，y），则OP=3，点M的横坐标为1，纵坐标为y，根据勾股定理得PM22=42+y2，又PQ2=90，则42+y2=90，即∴M2（1，），（1分）③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点，过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F（1，﹣3）设直线x=1存在点M（1，y），由勾股定理得：（y+3）2+52=90即y=﹣3∴，（1分）综上所述：存在这样的五点：M1（1，﹣3），M2（1，），，，．26\n点评：此题是一道综合题，难度较大，主要考查二次函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，还考查等腰三角形的性质及勾股定理，同时还让学生探究存在性问题，对待问题要思考全面，学会分类讨论的思想．26
