江苏省苏州市2022年中考数学模拟试卷（解析版） 苏科版

江苏省苏州市2022年中考数学模拟试卷　一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）5的倒数是（　　）　A．B．﹣C．5D．﹣5考点：倒数分析：根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．解答：解：5的倒数是．故选A．点评：本题主要考查了倒数的定义．注意一个数与它的倒数符号相同．　2．（3分）在函数y=﹣中，自变量x的取值范围是（　　）　A．x≠2B．x≤﹣2C．x≠﹣2D．x≥﹣2考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件专题：计算题；压轴题．分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．解答：解：根据题意得：x+2≠0解得：x≠﹣2；故选C．点评：当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．　3．（3分）（2022•福州）解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是（　　）　A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集分析：由数轴可以看出不等式的解集在﹣3到2之间，且不能取到﹣3，能取到2，即﹣3＜x≤2．解答：解：根据数轴得到不等式的解集是：﹣3＜x≤2．A、不等式组的解集是x≥2．B、不等式组的解集是x＜﹣3．C、不等式组无解．D、不等式组的解集是﹣3＜x≤2．21\n故选D．点评：在数轴上表示不等式组解集时，实心圆点表示“≥”或“≤”，空心圆圈表示“＞”或“＜”．　4．（3分）等腰梯形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点，则四边形EFGH的形状是（　　）　A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形考点：等腰梯形的性质；三角形中位线定理；菱形的判定分析：根据等腰梯形的性质，三角形的中位线的定理及菱形的判定可得到该四边形是菱形．解答：解：因为等腰梯形ABCD对角线相等，四边形EFGH各边平行且相等于对角线长的一半，故四边形EFGH的各边相等且对边平行，即菱形，故选C．点评：本题考查了等腰梯形的性质，三角形中位线定理和菱形的判定定理的理解及运用．　5．（3分）下列运算中，结果正确的是（　　）　A．a4+a4=a8B．a3•a2=a5C．a8÷a2=a4D．（﹣2a2）3=﹣6a6考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方分析：根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、应为a4+a4=2a4，故本选项错误；B、a3•a2=a3+2=a5，正确；C、应为a8÷a2=a8﹣2=a6，故本选项错误；D、应为（﹣2a2）3=（﹣2）3•（a2）3=﹣8a6，故本选项错误．故选B．点评：本题考查同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．　6．（3分）（2022•潍坊）如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（　　）　A．甲乙B．甲丙C．乙丙D．乙考点：全等三角形的判定分析：甲不符合三角形全等的判断方法，乙可运用SAS判定全等，丙可运用AAS证明两个三角形全等．21\n解答：解：由图形可知，甲有一边一角，不能判断两三角形全等，乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等，丙得出两角及其一角对边，能判断两三角形全等，根据全等三角形的判定得，乙丙正确．故选C．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．　7．（3分）为建设生态温州，我市某中学在植树节那天，组织初三年级八个班的学生到西城新区植树，各班植树情况如下表：班级一二三四五六七八合计棵数1518222529141819160下列说法错误的是（　　）　A．这组数据的众数是18B．这组数据的中位数是18.5　C．这组数据的平均数是20D．这组数据的极差是13考点：极差；算术平均数；中位数；众数专题：图表型．分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．极差是最大的数与最小的数的差．解答：解：根据众数，中位数，平均数的定义可以知道A、B、C是正确的；极差是最大值与最小值的差，最大值是29，最小值是14，则极差是29﹣14=15，故该选项错误．故选D．点评：本题为统计题，考查极差、众数与中位数的意义．　8．（3分）已知二次函数y=x2﹣4x+a，下列说法错误的是（　　）　A．当x＜1时，y随x的增大而减小　B．若图象与x轴有交点，则a≤4　C．当a=3时，不等式x2﹣4x+a＞0的解集是1＜x＜3　D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a=﹣3考点：二次函数的性质21\n分析：现根据函数解析式，画出草图．A、此函数在对称轴的左边是随着x的增大而减小，在右边是随x增大而增大，据此作答；B、和x轴有交点，就说明△≥0，易求a的取值；C、解一元二次不等式即可；D、根据左加右减，上加下减作答即可．解答：解：∵y=x2﹣4x+a，∴对称轴x=2，此二次函数的草图如图：A、当x＜1时，y随x的增大而减小，此说法正确；B、当△=b2﹣4ac=16﹣4a≥0，即a≥4时，二次函数和x轴有交点，此说法正确；C、当a=3时，不等式x2﹣4x+a＞0的解集是x＜1或x＞3，此说法错误；D、y=x2﹣4x+a配方后是y=（x﹣2）2+a﹣4，向上平移1个单位，再向左平移3个单位后，函数解析式是y=（x+1）2+a﹣3，把（1，﹣2）代入函数解析式，易求a=﹣3，此说法正确．故选C．点评：本题考查暗恋二次函数的性质，解题的关键是掌握有关二次函数的增减性、与x轴交点的条件、与一元二次不等式的关系、上下左右平移的规律．　9．（3分）如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是（　　）　A．85πcm2B．90πcm2C．155πcm2D．165πcm2考点：由三视图判断几何体21\n专题：压轴题．分析：如图，首先得知这个几何体为一个圆锥，然后根据题意得出它的半径，高以及母线长，继而球出它的表面积．解答：解：由图可知这个几何体是个圆锥，且它的底面圆的半径是5cm，高12cm，母线长=13cm，它的表面积=侧面积+底面积=π×5×13+π×5×5=90πcm2．故选B．点评：可先根据三视图确定这个几何体的形状，然后根据其表面积计算方法进行计算．　10．（3分）把2022个边长为1的正方形排成如图所示的图形，则这个图形的周长是（　　）　A．4020B．4022C．4024D．4026考点：规律型：图形的变化类专题：压轴题．分析：本题可依次解出n=1，2，3，…，对应的图形的周长．再根据规律以此类推，可得出n=2022时，图形的周长．解答：解：∵n=1时，周长为4，即4+0×2；n=2时，周长为6，即4+1×2；n=3时，周长为8，即4+2×2；n=4时，周长为10，即4+3×2；…；∴n=2022时，周长为4+2022×2=4022．故选B．点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．　二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）当1＜x＜2时，化简|1﹣x|+的结果是　1　．考点：二次根式的性质与化简分析：首先根据x的范围确定1﹣x与2﹣x的符号，然后根据算术平方根的定义即可化简求解．解答：解：∵1＜x＜2，∴1﹣x＜0，2﹣x＞0，∴|1﹣x|+=|1﹣x|+=x﹣1+2﹣x=1．故答案是：1．点评：本题考查了二次根式的化简，正确理解算术平方根的定义是关键．21\n　12．（3分）某种花粉直径为0.00004098m，这个长度用科学记数法表示为　4.10×10﹣5　m（保留3个有效数字）考点：科学记数法与有效数字分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关解答：解：0.00004098=4.098×10﹣5≈4.10×10﹣5．故答案为：4.10×10﹣5．点评：此题主要考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．　13．（3分）如图，在一段坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（即相邻两株树之间的水平距离）为6米，那么斜坡上相邻两株树之间的坡面距离为　　米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题分析：利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比，把相应的数值代入即可．解答：解：∵坡度为1：2，=，且株距为6米，∴株距：坡面距离=2：．∴坡面距离=株距×=3（米）．另解：∵CB：AB=1：2，设CB=x，AB=2x，∴AC==x，∴=，∵AB=6，∴AC=×6=3．点评：本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意坡度是坡角的正切函数．　21\n14．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，M、N分别是BD、CE的中点，MN=6，则BC=　8　．考点：梯形中位线定理；三角形中位线定理专题：计算题．分析：利用三角形的中位线求得DE与BC的关系，利用梯形的中位线的性质求得BC的长即可．解答：解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，DE∥BC∵M、N分别是BD、CE的中点，∴由梯形的中位线定理得：MN=（DE+BC）=×BC=6，∴BC=8．故答案为：8．点评：本题考查的知识比较全面，需要用到梯形和三角形中位线定理以及平行四边形的性质．　15．（3分）某人用24000元买进甲、乙两种股票，在甲股票升值15%，乙股票下跌10%时卖出，共获利1350元，则此人买甲股票的钱比买乙股票的钱多　6000　元．考点：一元一次方程的应用专题：方程思想．分析：本题包含两个等量关系是：甲股票的价钱+乙股票的价钱=24000；甲股票赚的钱﹣乙股票赔的钱=1350．解答：解：设买了甲股票x元，乙股票y元．则，整理，得，①×2+②得5x=75000，解得x=15000，y=24000﹣15000=9000，即．15000﹣9000=6000，故答案为：6000．点评：21\n此题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键要明确本题中的第二个等量关系是最简单的等量关系．甲股票赚的钱﹣乙股票赔的钱=1350．在此类题中应找到最简单的等量关系，以防出错．　16．（3分）如图：AB为⊙O的直径，则∠1+∠2=　90°　．考点：圆周角定理分析：因为AB是直径，那么∠ADB=∠2+∠ADE=90°，而∠ADE=∠1，那么∠ADE+∠2=∠1+∠2，即∠1+∠2=90°．解答：解：∵AB是直径，∴∠ADE=90°，∴∠2+∠ADE=90°，又∵∠1=∠ADE，∴∠1+∠2=∠ADE+∠2，∴∠1+∠2=90°．点评：本题利用了同圆中同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90°、等式性质．　17．（3分）已知关于x的函数y=ax2+x+1（a为常数），它的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，则a的取值范围是　a＞或a＜0　．考点：抛物线与x轴的交点．分析：根据抛物线的纵坐标的顶点公式列出关于a不等式则可解．解答：解：依题意有：＞0，当4a＞0，4a﹣1＞0，解得a＞；当4a＜0，4a﹣1＜0，解得a＜0．∴a＞或a＜0．故答案是：a＞或a＜0．21\n点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．当顶点在x轴上方时，那么顶点纵坐标大于0．　18．（3分）如图1，正六边形ABCDEF的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正六边形A1B1C1D1E1F1（如图2），称为第一次扩展；把正六边形A1B1C1D1E1F1边长按原法延长一倍得到正六边形A2B2C2D2E2F2（如图3），称为第二次扩展；如此下去…，第n次扩展得到正六边形AnBnCnDnEnFn的面积为　3n　．考点：正多边形和圆；三角形的面积专题：压轴题；规律型．分析：本题建立在正六边形背景上，进行逐渐的图形“拓展”变化，进而从特殊到一般进行归纳总结拓展后正六边形面积与原正六边形面积之间的规律，复杂图形中含有基本图形（2），为学生研究提供的基本图形，进而得出从特殊归纳出一般性规律．解答：解：∵拓展前后正六边形是彼此相似的，∴可以利用相似图形的性质求出相似比，从而求出拓展后六边形的面积，∵正六边形ABCDEF的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正六边形A1B1C1D1E1F1（如图2），∴=，∴正六边形A1B1C1D1E1F1面积为：3，∴正六边形A2B2C2D2E2F2面积为：9，以此类推得出，第n次扩展得到正六边形AnBnCnDnEnFn的面积为：3n．故答案为：3n．点评：此题主要考查了正多边形的性质与相似图形的性质，本题解决的关键是寻找到拓展的正六边形的面积于被拓展的正六边形面积之间的关系．　三、解答题：（本大题共11小题，共76分）21\n19．（4分）计算：4cos30°﹣|﹣2|+（）0﹣+（﹣）﹣2．考点：特殊角的三角函数值；绝对值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简专题：计算题．分析：按照实数的运算法则依次计算：cos30°=，|﹣2|=，（）0=1，=3，（﹣）﹣2=9．解答：解：4cos30°﹣|﹣2|+（）0﹣+（﹣）﹣2=（3分）=（5分）=8．（6分）点评：本题重点考查了实数的基本运算能力．涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简．　20．（4分）化简求值：，其中x=2．考点：分式的化简求值专题：计算题．分析：本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．解答：解：原式=，当x=2时，原式=﹣2．点评：本题主要考查分式的化简求值，式子化到最简是解题的关键．　21．（6分）解方程：．考点：解分式方程分析：观察可得最简公分母是（x+2）（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解答：解：原方程即：．（1分）方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2），得x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）=8．（4分）化简，得2x+4=8．解得：x=2．（7分）21\n检验：x=2时，（x+2）（x﹣2）=0，即x=2不是原分式方程的解，则原分式方程无解．（8分）点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题比较简单，注意转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．　22．（6分）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．考点：一次函数综合题；线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题专题：综合题．分析：（1）连接AB，作出线段AB的垂直平分线，与x轴的交点即为所求的点；（2）找到点A关于x轴的对称点，连接对称点与点B与x轴交点即为所求作的点．解答：解：（1）存在满足条件的点C；作出图形，如图所示．（2）作点A关于x轴对称的点A′（2，﹣2），连接A′B，与x轴的交点即为所求的点P．设A′B所在直线的解析式为：y=kx+b，把（2，﹣2）和（7，3）代入得：，解得：，∴y=x﹣4，当y=0时，x=4，所以交点P为（4，0）．21\n点评：本题是一道典型的一次函数综合题，题目中还涉及到了线段的垂直平分线的性质及轴对称的问题．　23．（6分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），x与y的部分对应值如下表：x﹣2﹣10123y﹣16﹣6020﹣6（1）请写出这个二次函数的对称轴方程；（2）判断点A（，1）是否在该二次函数的图象上，并说明理由．考点：二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征专题：图表型．分析：（1）用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）把点A（，1）代入二次函数的解析式，看是否符合即可．解答：解：（1）由题意可得，解得故该二次函数的解析式为y=﹣2x2+4x这个二次函数的对称轴方程为x=﹣=﹣=1（2）当x=时，y=﹣2×+4×=≠1∴A（，1）不在该二次函数的图象上．（6分）点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大．（利用点的对称性解答更简单x==1）　24．（7分）如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA=30°和∠DCB=60°，如果斑马线的宽度是AB=3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？21\n考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题专题：压轴题．分析：根据已知角的度数，易求得∠BAC=∠BCA=30°，由此得BC=AB=3米；可在Rt△CBF中，根据BC的长和∠CBF的余弦值求出BF的长，进而由x=BF﹣EF求得汽车车头与斑马线的距离．解答：解：如图：延长AB．∵CD∥AB，∴∠CAB=30°，∠CBF=60°；∴∠BCA=60°﹣30°=30°，即∠BAC=∠BCA；∴BC=AB=3米；Rt△BCF中，BC=3米，∠CBF=60°；∴BF=BC=1.5米；故x=BF﹣EF=1.5﹣0.8=0.7米．答：这时汽车车头与斑马线的距离x是0.7米．点评：本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．　25．（7分）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打笫一场比赛．（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．考点：列表法与树状图法专题：计算题；压轴题．分析：（1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单，求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率；21\n（2）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，即可求得答案．解答：解：（1）方法一画树状图得：方法二列表得：甲乙丙丁甲/甲、乙甲、丙甲、丁乙乙、甲/乙、丙乙、丁丙丙、甲丙、乙/丙、丁丁丁、甲丁、乙丁、丙/∴所有等可能性的结果有12种，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种，∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为：=；（2）∵一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，∴恰好选中乙同学的概率为：．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　26．（8分）如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．考点：一元二次方程的应用分析：（1）等量关系为：（原来长方形的长﹣2正方形的边长）×（原来长方形的宽﹣2正方形的边长）=48，把相关数值代入即可求解；（2）同（1）先用x表示出不同侧面的长，然后根据矩形的面积将4个侧面的面积相加，得出关于侧面积和正方形边长的函数式，然后根据函数的性质和自变量的取值范围来得出侧面积的最大值．解答：解：（1）设正方形的边长为xcm．则（10﹣2x）（8﹣2x）=48，21\n即x2﹣9x+8=0，解得x1=8（不合题意，舍去），x2=1．答：剪去的正方形的边长为1cm．（2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系式为：y=2（10﹣2x）x+2（8﹣2x）x，即y=﹣8x2+36x．（0＜x＜4）改写为y=﹣8（x﹣）2+，∴当x=2.25时，y最大=40.5．即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．点评：此题主要考查了矩形的面积的求法，二次函数的应用等知识点，根据面积的计算方法正确的表示出二次函数是解题的关键．　27．（8分）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质专题：证明题；压轴题；探究型．分析：（1）我们已知了三角形BED和CAB全等，那么DE=AF+CF，因此只要求出EF=CF就能得出本题所求的结论，可通过全等三角形来实现，连接BF，那么证明三角形BEF和BCF全等就是解题的关键，这两三角形中已知的条件有BE=BC，一条公共边，根据斜边直角边定理，这两个直角三角形就全等了，也就得出EF=CF，也就能证得本题的结论了；（2）解题思路和辅助线的作法与（1）完全一样；（3）同（1）得CF=EF，由△ABC≌△DBE，可得AC=DE，AF=AC+FC=DE+EF．解答：（1）证明：连接BF（如图①），∵△ABC≌△DBE（已知），21\n∴BC=BE，AC=DE．∵∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°．∵BF=BF，∴Rt△BFC≌Rt△BFE．∴CF=EF．又∵AF+CF=AC，∴AF+EF=DE．（2）解：画出正确图形如图②∴（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；（3）不成立．证明：连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠ACB=∠DEB=90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt△BCF和Rt△BEF中，，∴△BCF≌△BEF，∴CF=EF；∵△ABC≌△DBE，∴AC=DE，∴AF=AC+FC=DE+EF．21\n点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，通过构建全等三角形来得出简单的线段相等是解题的关键．　28．（10分）如图，⊙O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为（0，），∠CAB=90°，AC=AB，顶点A在⊙O上运动．（1）当点A在y轴上时，求点C的坐标；（2）当点A运动到y轴的负半轴上时，试判断直线BC与⊙O位置关系，并说明理由；（3）当点A在y轴右侧运动时，设点A的纵坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出S的取值范围；（4）当直线AB与⊙O在第一象限内相切时，在坐标轴上是否存在一点P，使得以P、A、B、C为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：圆的综合题专题：代数几何综合题．分析：（1）分点A在y轴正半轴和负半轴两种情况先求出AB的长，再根据等腰直角三角形的性质可得AC=AB，然后写出点C的坐标即可；（2）根据切线的定义判断即可；（3）过点A作AD⊥y轴于D，连接OA，利用勾股定理列式表示出AD2，再求出BD，利用勾股定理列式表示出AB2，然后根据等腰直角三角形的面积等于直角边平方的一半列式整理即可得解，然后根据一次函数的增减性求出S的取值范围；（4）连接OA，利用勾股定理列式求出AB，从而得到△ABO是等腰直角三角形，再求出点A、C的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB、AC的解析式，再分①PC∥AB，②PA∥BC，③PB∥AC三种情况分别求出直线PC的解析式，求出与坐标轴的交点，即为点P的坐标．解答：解：（1）当点A在y轴正半轴时，坐标为（0，1）时，AB=AC=﹣1，点C的坐标为（﹣1，1）；当点A在y轴负半轴时，坐标为（0，﹣1）时，21\nAB=AC=+1，点C的坐标为（+1，﹣1）；（2）∵∠CAB=90°，∴AB⊥AC，又∵点A在y轴负半轴，且点A在⊙O上，∴直线BC与⊙O相切；（3）如图，过点A作AD⊥y轴于D，连接OA，根据勾股定理，AD2=OA2﹣OD2=12﹣x2=1﹣x2，∵BD=﹣x，∴在Rt△ABD中，AB2=BD2+AD2，=（﹣x）2+（1﹣x2），=2﹣2x+x2+1﹣x2，=﹣2x+3，∴等腰直角△ABC的面积为S=AB2=（﹣2x+3）=﹣x+，即S=﹣x+，∵﹣＜0，∴S随x的增大而减小，又∵⊙O上的点A在y轴右侧运动，点A的纵坐标为x，∴﹣1＜x＜1，∴﹣+＜S＜+；（4）存在．如图，连接OA，∵直线AB与⊙O在第一象限内相切，∴OA⊥AB，∴AB===1，∴OA=AB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴点A（，），∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=，∴点C的坐标为（，），易求直线AB的解析式为y=﹣x+，直线AC的解析式为y=x，①PC∥AB时，设直线PC的解析式为y=﹣x+b1，把C（，）代入得，﹣+b1=，解得b1=2，所以，直线PC的解析式为y=﹣x+2，21\n令y=0，则﹣x+2=0，解得x=2，此时，点P的坐标为P1（2，0），令x=0，则y=2，此时，点P的坐标为P2（0，2），②PA∥BC时，点P的坐标为P3（0，）；③PB∥AC时，设直线PC的解析式为y=x+b2，把点B（0，）代入求得b2=，所以，直线PB的解析式为y=x+，令y=0，则x+=0，解得x=﹣，此时，点P的坐标为P4（﹣，0），综上所述，存在点P1（2，0），P2（0，2），P3（0，），P4（﹣，0）使得以P、A、B、C为顶点的四边形是梯形．点评：本题是圆的综合题型，主要考查了等腰直角三角形的性质，圆的切线的判定，勾股定理，三角形的面积，一次函数的增减性，梯形的判定，综合性较强，难度较大，特别是（4）要分情况讨论．　29．（10分）（1）问题探究如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD1作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明．（2）拓展延伸21\n①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1．作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M，N．D1M=D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M=D2N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质；正多边形和圆专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据正方形的每一个角都是90°可以证明∠AHK=90°，然后利用平角等于180°以及直角三角形的两锐角互余证明∠D1CK=∠HAC，再利用“角角边”证明△ACH和△CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得D1M=CH，同理可证D2N=CH，从而得证；（2）①过点C作CG⊥AB，垂足为点G，根据三角形的内角和等于180°和平角等于180°证明得到∠H1AC=∠D1CM，然后利用“角角边”证明△ACG和△CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=D1M，同理可证CG=D2N，从而得证；②结论仍然成立，与①的证明方法相同．解答：（1）D1M=D2N．证明：∵∠ACD1=90°，∴∠ACH+∠D1CK=180°﹣90°=90°，∵∠AHK=∠ACD1=90°，∴∠ACH+∠HAC=90°，∴∠D1CK=∠HAC，在△ACH和△CD1M中，，∴△ACH≌△CD1M（AAS），∴D1M=CH，同理可证D2N=CH，∴D1M=D2N；21\n（2）①证明：D1M=D2N成立．过点C作CG⊥AB，垂足为点G，∵∠H1AC+∠ACH1+∠AH1C=180°，∠D1CM+∠ACH1+∠ACD1=180°，∠AH1C=∠ACD1，∴∠H1AC=∠D1CM，在△ACG和△CD1M中，，∴△ACG≌△CD1M（AAS），∴CG=D1M，同理可证CG=D2N，∴D1M=D2N；②作图正确．D1M=D2N还成立．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正多边形的性质，读懂题意，证明得到∠D1CK=∠HAC（或∠H1AC=∠D1CM）是证明三角形全等的关键，也是解决本题的难点与突破口．21