专题六 运动问题例1(2022，唐山路北区二模，导学号5892921)把Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放(点C与点E重合)，点B，C(E)，F在同一条直线上，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝9cm.如图②，△DEF从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动．在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA匀速移动，当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动，DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为ts(0＜t＜4.5)．例1题图解答下列问题：(1)当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？(2)连接PE，设四边形APEC的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式．是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，请求出y的最小值；若不存在，请说明理由；(3)是否存在某一时刻t，使P，Q，F三点在同一条直线上？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【思路分析】(1)因为点A在线段PQ的垂直平分线上，所以AP＝AQ，用含t的式子表示出这两条线段的长解方程即可得解．(2)过点P作PM⊥BC，将四边形APEC的面积表示为S△ABC－S△BPE即可求解．(3)由相似三角形的性质即可求解．解：(1)∵点A在线段PQ的垂直平分线上，∴AP＝AQ.∵∠DEF＝45°，∠ACB＝90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC＝180°，∴∠EQC＝45°.∴∠DEF＝∠EQC.∴CE＝CQ.由题意，知CE＝t，BP＝2t.∴CQ＝t.∴AQ＝8－t.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝10.∴AP＝10－2t.∴10－2t＝8－t.解得t＝2.∴当t＝2时，点A在线段PQ的垂直平分线上．(2)如答图①，过点P作PM⊥BE，交BE于点M.∴∠BMP＝90°.在Rt△ABC和Rt△PBM中，sinB＝＝，∴＝.∴PM＝t.∵BC＝6，CE＝t，∴BE＝6－t.13\n∴y＝S△ABC－S△BPE＝BC·AC－BE·PM＝×6×8－×(6－t)×t＝t2－t＋24＝(t－3)2＋.∵a＝，∴抛物线开口向上．∴当t＝3时，y最小＝.∴存在一个t值，且当t＝3时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2.(3)存在某一时刻t，使P，Q，F三点在同一条直线上．如答图②，过点P作PN⊥AC，交AC于点N.∴∠ANP＝∠ACB＝∠PNQ＝90°.∵∠PAN＝∠BAC，∴△PAN∽△BAC.∴＝＝.∴＝＝.∴PN＝6－t，AN＝8－t.∵NQ＝AQ－AN，∴NQ＝8－t－＝t.∵∠ACB＝90°，B，C，E，F四点在同一条直线上，∴∠QCF＝90°.∴∠QCF＝∠PNQ.∵∠FQC＝∠PQN，∴△QCF∽△QNP.∴＝.∴＝.解得t＝1.∴存在一个t值，且当t＝1时，P，Q，F三点在同一条直线上．例1答图针对训练1(2022，黄冈，导学号5892921)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC13\n的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，∠C＝120°，边长OA＝8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，点N从点A出发沿边AB→BC→CO以每秒2个单位长度的速度做匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于点P，交对角线OB于点Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动．(1)当t＝2时，求线段PQ的长；(2)求t为何值时，点P与点N重合；(3)设△APN的面积为S，求S与t之间的函数关系式及t的取值范围．训练1题图【思路分析】(1)解直角三角形求出PM，QM即可解决问题．(2)根据点P，N的路程之和等于24，构建方程即可解决问题．(3)分四种情况考虑问题即可．解：(1)当t＝2时，OM＝2.在Rt△OPM中，易知∠POM＝60°，∴PM＝OM·tan60°＝2.在Rt△OMQ中，∠QOM＝∠POM＝30°，∴QM＝OM·tan30°＝.∴PQ＝PM－QM＝2－＝.(2)当t≤4时，点P在OC上，点N在AB上，∴点P，N在边BC上相遇，t>4.由题意，得8＋(t－4)＋2t＝8×3.解得t＝.(3)①当0＜t＜4时，S＝×8××2t＝4t.②当4≤t＜时，S＝[8－(t－4)－(2t－8)]×4＝－6t＋40.③当＜t＜8时，S＝[(t－4)＋(2t－8)－8]×4＝6t－40.④当8≤t≤12时，如答图，S＝S菱形ABCO－S△AON－S△ABP－S△PNC＝32－(24－2t)×4－[8－(t－4)]×4－(t－4)×(2t－16)13\n＝－t2＋12t－56.综上所述，S＝训练1答图针对训练2(导学号5892921)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A，B重合)，作∠DPQ＝60°，边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为ts.(1)用含t的代数式表示线段DC的长；(2)当点Q与点C重合时，求t的值；(3)设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 训练2题图【思路分析】(1)先求出AC的长，用三角函数求出AD的长，进而可得出结论．(2)利用AD＋DQ＝AC，即可得出结论．(3)分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论．解：(1)在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，∴AC＝2.∵PD⊥AC，∴∠ADP＝∠CDP＝90°.在Rt△ADP中，AP＝2t，∴DP＝t，AD＝AP·cosA＝2t·＝t.∴DC＝AC－AD＝2－t(0＜t＜2)．(2)在Rt△PDQ中，∵∠DPQ＝60°，∴∠PQD＝30°＝∠A.∴PA＝PQ.∵PD⊥AC，∴AD＝DQ.∵点Q与点C重合，∴AD＋DQ＝AC.∴2×t＝2.∴t＝1.13\n(3)当0＜t≤1时，S＝S△PDQ＝DQ·DP＝×t·t＝t2.当1＜t＜2时，如答图，训练2答图CQ＝AQ－AC＝2AD－AC＝2t－2＝2(t－1)．在Rt△ECQ中，∠CQE＝30°，∴CE＝CQ·tan∠CQE＝2(t－1)×＝2(t－1)．∴S＝S△PDQ－S△ECQ＝×t·t－×2(t－1)×2(t－1)＝－t2＋4t－2.∴S＝例2(2022，邯郸模拟，导学号5892921)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝120°.动点P从点B出发，沿BC→CD边以每秒1个单位长度的速度运动，到点D时停止，连接AP，点Q与点B关于AP所在直线对称，连接AQ，PQ.设运动时间为ts.例2题图(1)菱形ABCD的对角线AC的长为6；(2)当点Q恰在AC上时，求t的值；(3)当CP＝3时，求△APQ的周长；(4)直接写出在整个运动过程中，点Q运动的路径长．【思路分析】(1)连接BD交AC于点O，依据在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝120°，求出AO的长，即可得到菱形ABCD对角线AC的长．(2)依据点Q与点B关于AP所在直线对称，可得△AQP≌△ABP，进而得出PQ＝PB，AQ＝AB＝6，∠AQP＝∠ABC＝120°，进而可知∠CPQ＝90°，CQ＝2PQ＝2PB＝2t，即可得到t的值．(3)当CP＝3时，有两种情况：①P是BC的中点；②P是CD的中点．分别依据△APQ的周长＝△ABP的周长＝AB＋BP＋AP，进行计算即可．(4)点Q运动的路径为以点A为圆心，6为半径，圆心角为120°的弧，进而得到点Q运动的路径长为＝4π.解：(1)613\n(2)如答图①.∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°.∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠ACB＝30°.∵点Q与点B关于AP所在直线对称，∴△AQP≌△ABP.∴PQ＝PB，AQ＝AB＝6，∠AQP＝∠ABC＝120°.∴∠CPQ＝∠AQP－∠ACB＝90°.在Rt△CPQ中，∠ACB＝30°，∴CQ＝2PQ＝2PB＝2t，即6－6＝2t.解得t＝3－3.(3)当CP＝3时，有两种情况．①当P是BC的中点时，如答图②，过点A作AE⊥BC，交CB的廷长线于点E.在Rt△ABE中，∠ABE＝60°，∴BE＝AB＝3，AE＝AB＝3.在Rt△AEP中，AE＝3，EP＝3＋3＝6，∴AP＝＝＝3.∴△APQ的周长＝△ABP的周长＝AB＋BP＋AP＝6＋3＋3＝9＋3.②当P是CD的中点时，如答图③，连接BD，则△BCD是等边三角形．∴∠BPC＝90°.在Rt△BPC中，BP＝CP·tanC＝3.易证∠ABP＝90°，由勾股定理可得AP＝3.∴△APQ的周长＝△ABP的周长＝AB＋BP＋AP＝6＋3＋3.综上所述，当CP＝3时，△APQ的周长为9＋3或6＋3＋3.(4)由题意，得点Q的运动路径为以点A为圆心，6为半径，圆心角为120°的弧．∴点Q运动的路径长为＝4π.例2答图针对训练3(2022，石家庄长安区模拟，导学号5892921)如图，正方形ABCD的边长为6，点P从点B出发沿边BC→CD以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，以BP为边作等边三角形BPQ，使点Q在正方形ABCD内或边上，当点Q恰好在AD边上时，点P停止运动．设运动时间为ts.13\n(1)当t＝2时，点Q到BC的距离为2；(2)如图①，当点P在BC边上运动时，求CQ的最小值及此时t的值；(3)如图②，当点Q在AD边上时，求出t的值；(4)直接写出点Q运动路线的长．训练3题图【思路分析】(1)先求出BP＝4，∠PBQ＝60°，进而可得出结论．(2)先判断出CQ⊥BQ时，CQ最小，再用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．(3)先判定Rt△BAQ≌Rt△BCP，再由勾股定理建立方程即可得出结论．(4)判断出点Q的运动路线长等于点P的运动路线长即可得出结论．解：(1)2(2)当点P在BC边上运动时，有∠QBC＝60°.根据垂线段最短，当CQ⊥BQ时，CQ最小．如答图．在Rt△BCQ中，∠QBC＝60°，∴∠BCQ＝30°.∴BQ＝BC＝3.∴BP＝BQ＝3.∴CQ＝BQ·tan∠QBC＝3，t＝. 训练3答图(3)当点Q在AD边上时，CP＝2t－6.∵BA＝BC，BQ＝BP，∠A＝∠C＝90°，∴Rt△BAQ≌Rt△BCP(HL)．∴AQ＝CP＝2t－6.∴DQ＝DP＝12－2t.∵BP＝PQ，在Rt△PDQ和Rt△BCP中，由勾股定理可得DQ2＋DP2＝QP2，BC2＋CP2＝BP2，∴2(12－2t)2＝62＋(2t－6)2.解得t1＝9＋3(不合题意，舍去)，t2＝9－3.∴t＝9－3.(4)∵△PBQ是等边三角形，∴点Q运动路线的长等于点P运动路线的长．由(3)知，t＝9－3.∴点Q运动路线的长为2(9－3)＝18－6.针对训练4(2022，河北，导学号5892921)平面内，如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，tanA＝，P为AD边上任意一点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.13\n(1)当∠DPQ＝10°时，求∠APB的度数；(2)当tan∠ABP∶tanA＝3∶2时，求点Q与点B间的距离；(结果保留根号)(3)若点Q恰好落在▱ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积．训练4题图【思路分析】(1)按点Q，B与PD的位置关系讨论确定∠APB的度数．(2)过点P作PH⊥AB于点H，连接BQ，由三角函数值的比确定AH，BH，PH的长，再由勾股定理计算出QB的长．(3)根据题意分类讨论点Q所在位置并画出满足题意的图形进而计算出扇形面积．解：(1)当点Q与点B在PD异侧时，由∠DPQ＝10°，∠BPQ＝90°，得∠BPD＝80°.∴∠APB＝180°－∠BPD＝100°.当点Q与点B在PD同侧时，如答图①，∠APB＝180°－∠BPQ－∠DPQ＝80°.综上所述，当∠DPQ＝10°时，∠APB的度数为80°或100°.训练4答图(2)如答图②，过点P作PH⊥AB于点H，连接BQ.∵tan∠ABP∶tanA＝∶＝3∶2，∴AH∶HB＝3∶2.∵AB＝10，∴AH＝6，HB＝4.在Rt△PHA中，PH＝AH·tanA＝8.∴PQ＝PB＝＝＝4.∴在Rt△PQB中，QB＝PB＝4.(3)16π或20π或32π.例3(2022，石家庄裕华区一模，导学号5892921)如图①，图②，在⊙O中，OA＝1，AB＝，将弦AB与弧AB所围成的弓形(包括边界的阴影部分)绕点B顺时针旋转α(0°≤α≤360°)，点A的对应点是A′.(1)点O到线段AB的距离是（），∠AOB＝__120°__，点O落在阴影部分(包括边界)时，α的取值范围是__30°≤α≤60°__；(2)如图③，线段A′B与弧ACB的交点是D.当∠A′BA＝90°时，说明点D在AO的延长线上；(3)当直线A′B与⊙O相切时，求α的值并求此时点A′运动路径的长度．13\n例3题图【思路分析】(1)前两空利用垂径定理和特殊角的三角函数值解答．第三空，当A′B与OB重叠时，α取最小值．当弧A′B绕点B顺时针旋转到过圆心O时得到α的最大值．(2)连接AD，利用圆周角定理进行证明．(3)利用切线的性质求得α的值，并利用弧长公式求得点A′运动路径的长度．解：(1) 120° 30°≤α≤60°(2)如答图，连接AD. 例3答图∵∠A′BA＝90°，∴AD为直径．∴AD过圆心O.∴点D在AO的延长线上．(3)当A′B与⊙O相切时，∠OBA′＝90°，此时∠ABA′＝90°＋30°＝120°或∠ABA′＝90°－30°＝60°.∴α＝120°或300°.当α＝120°时，点A′运动路径的长度为＝.当α＝300°时，点A′运动路径的长度为＝.针对训练5(2022，石家庄长安区模拟，导学号5892921)在扇形AOB中，圆心角∠AOB＝120°，半径OA＝OB＝8.(1)如图①，过点O作OE⊥OB，交弧AB于点E，再过点E作EF⊥OA于点F，则FO的长是4，∠FEO＝60°；(2)如图②，设P为弧AB上的动点，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，点M，N分别在半径OA，OB上，连接MN.①求点P运动的路径长；②MN的长度是否是定值？(3)在(2)中的条件下，若点D是△PMN的外心，直接写出点D运动的路径长．13\n训练5题图【思路分析】(1)先求出∠AOE，即可得出结论．(2)①当点M与点O重合时，∠PMB＝30°.当点N与点O重合时，∠PNA＝30°.进而可求出点P运动路径所对的圆心角是120°－30°－30°＝60°，最后用弧长公式即可得出结论．②先判断出P，M，O，N四点均在同一个圆上，进而可得出结论．(3)先判断出△PMN的外接圆的圆心的运动轨迹，最后根据弧长公式即可得出结论．解：(1)4 60°(2)①点P在弧AB上运动，其路径也是一段弧．由题意，可知当点M与点O重合时，∠PMB＝30°；当点N与点O重合时，∠PNA＝30°.∴点P运动路径所对的圆心角是120°－30°－30°＝60°.∴点P运动的路径长为＝.②如答图，连接PO，取PO的中点H，连接MH，NH.∵在Rt△PMO和Rt△PNO中，H是斜边PO的中点，∴MH＝NH＝PH＝OH＝PO＝4.∴根据圆的定义，可知P，M，O，N四点均在同一个圆，即⊙H上．∵∠MON＝120°，∠PMO＝∠PNO＝90°，∴∠MPN＝60°.∴∠MHN＝2∠MPN＝120°.过点H作HK⊥MN，垂足为K.由垂径定理，得MK＝KN＝MN，∠MHK＝60°.∵在Rt△HMK中，MH＝4，∴MK＝2.∴MN＝2MK＝4.∴MN的长度是定值．(3)点D运动的路径长为. 训练5答图例4(2022，资阳模拟，导学号5892921)如图，△ABC为等边三角形，且点A，B的坐标分别是(－2，0)，(－1，0)．将△ABC沿x轴正方向翻滚，翻滚120°为一次变换．如果这样连续经过2018次变换后，等边三角形ABC的顶点C的坐标为__(2_016，0)__．例4题图13\n【解析】由题意，得C1(0，0)，C2(0，0)，C3，C4(3，0)，C5(3，0)，C6，….3次为一组循环，2018÷3＝672……2，672×3＝2016，∴经过2018次变换后，等边三角形ABC的顶点C的坐标为(2016，0).针对训练6(导学号5892921)如图，在扇形铁皮AOB中，OA＝20，∠AOB＝36°，OB在直线l上．将此扇形沿l按顺时针方向旋转(旋转过程中无滑动)，当OA第一次落在l上时，停止旋转，则点O所经过的路线长为(C)训练6题图A.20πB.22πC.24πD.20π＋10－10【解析】点O所经过的路线长为＋＋＝24π.针对训练7(导学号5892921)如图，一个长为4cm、宽为3cm的矩形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板点A位置的变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°的角，则点A滚到点A2位置时走过的路径长为(B)训练7题图A.cmB.cmC.cmD.cm【解析】∵矩形长为4cm，宽为3cm，∴其对角线长为5cm.第一次是以点B为旋转中心，5cm为半径旋转90°，此次点A走过的路径长是＝(cm)．第二次是以点C为旋转中心，4cm为半径旋转60°，此次走过的路径长是＝(cm)．∴点A走过的路径长是＋＝(cm).针对训练8(导学号5892921)如图，在平面直角坐标系中，一半径为2的圆的圆心的初始位置在(0，2)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上以每秒的速度沿x轴正方向滚动，8s后点P到x轴的距离为__3__．训练8题图13\n【解析】如答图，设圆心为点O′，作O′A⊥x轴于点A，PD⊥x轴于点D，O′F⊥PD于点F.设优弧AP的圆心角为n°.由题意，得＝.解得n＝240.∴∠PO′A＝120°.∵∠O′AD＝∠FDA＝∠O′FD＝90°，∴四边形O′ADF是矩形．∴DF＝O′A＝2，∠FO′A＝90°.∴∠FO′P＝30°.在Rt△O′PF中，PF＝O′P＝1，∴PD＝PF＋DF＝1＋2＝3.∴点P到x轴的距离为3.训练8答图针对训练9(2022，唐山三模，导学号5892921)如图，直线l经过平面直角坐标系的原点O，且与x轴正方向的夹角是30°，点A的坐标是(0，1)，点B在直线l上，且AB∥x轴，则点B的坐标是(，1)，现将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线l上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线l上，顺次旋转下去……则点A6的横坐标是（＋）.训练9题图【解析】∵点A的坐标是(0，1)，∠BOx＝30°，AB∥x轴，∴AB＝，AO＝1.∴点B的坐标为(，1)．由题意，得点A1的横坐标为＋，点A2的横坐标为＋，点A3的横坐标为3＋，点A4的横坐标为3＋3，点A5的横坐标为＋4，点A6的横坐标为＋.例5(导学号5892921)如图，等边三角形和正方形的边长都是a，在图形所在的平面内，将△PAD以点A为中心沿逆时针方向旋转，使AP与AB重合，如此继续分别以点B，C，D为中心将三角形进行旋转，使点P回到原来位置为止，则点P从开始到结束所经过路径的长为(C)例5题图A.aB.aC.aD.a13\n【解析】如答图，点P所经过的路径是半径为a，圆心角分别为210°，210°和150°的三段圆弧．故总长度为×2＋＝a.例5答图针对训练10(导学号5892921)将半径为2cm的圆形纸板沿着挖空的部分方格纸板(小方格的边长为2cm)的内侧滚动一周，回到开始位置后，圆心经过的路线的长度约为(B)训练10题图A.36cmB.42.28cmC.40.28cmD.40cm【解析】如答图，圆心经过的路线为8条线段以及2条圆弧．因为小方格的边长为2cm，所以圆心经过的路线的长度为2×(5＋1＋1＋2＋4＋1＋2＋2)＋2×＝36＋2π≈42.28(cm)．训练10答图13
