第五节 二次函数的图像及性质河北五年中考命题规律年份题号考查点考查内容分值总分202215二次函数的图像二次函数图像与反比例函数的图像综合应用22202226二次函数的图像和性质以二次函数与反比例函数图像为背景，以动线、动点形式确定交点的取值范围1212202225二次函数表达式的确定及性质给出三点坐标：(1)求二次函数表达式；(2)比较两点函数值的大小；(3)给出线段被分的比，求顶点的横坐标1111202224二次函数表达式的确定及图像的平移规律以平面直角坐标系中的格点图为背景：(1)求二次函数表达式及顶点坐标；(2)求二次函数表达式并判断点是否在函数图像上；(3)写出满足经过九个格点中的三个的所有抛物线条数1111202220二次函数的图像及性质以二次函数图像旋转为背景，求某段函数图像上点的纵坐标33命题规律二次函数的图像及性质在中考中一般设置1道题，分值为2～11分，在选择、填空和解答题中均有涉及．纵观河北近五年中考，本课时常考类型有：(1)二次函数表达式的确定；(2)二次函数图像的分析与判断；(3)二次函数图像及性质的相关计算；(4)以二次函数、反比例函数为背景，探究动线、动点问题.河北五年中考真题及模拟)1\n 二次函数的图像及性质1.(2022河北中考)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝(x＞0)的图像是( D ),A),B),C),D)2．(2022石家庄中考模拟)二次函数y＝－2(x－3)2－6图像的对称轴和最值分别为( B )A．直线x＝－3，6B．直线x＝3，6C．直线x＝－3，－6D．直线x＝3，－63．(2022保定中考模拟)已知两点A(－5，y1)，B(3，y2)均在抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上，点C(x0，y0)是该抛物线的顶点．若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是( B )A．x0＞－5B．x0＞－1C．－5＜x0＜－1D．－2＜x0＜34．(2022石家庄四十三中一模)已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说法：①其图像的开口向下；②其图像的对称轴为直线x＝－3；③其图像顶点坐标为(3，－1)；④当x<3时，y随x的增大而减小．其中说法正确的有( A )A．1个B．2个C．3个D．4个5．(2022唐山中考模拟)某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像时，列出了下面的表格：x…－2－1012…y…－11－21－2－5…由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是( D )A．－11B．－2C．1D．－5 二次函数表达式的确定6．(2022保定十七中模拟)如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0＜x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图像是( D )\n,A),B),C),D)7．(2022保定中考模拟)若将抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，则所得的抛物线是( C )A．y＝2x2＋1B．y＝2x2－1C．y＝2(x＋1)2D．y＝2(x－1)28．(2022保定十七中一模)已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2015的值为__2__016__．9．(2022河北中考)如图，已知点O(0，0)，A(－5，0)，B(2，1)，抛物线l：y＝－(x－h)2＋1(h为常数)与y轴的交点为C.(1)l经过点B，求它的表达式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；(2)设点C的纵坐标为yC，求yC的最大值，此时l上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小；(3)当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1∶4时，求h的值．解：(1)把x＝2，y＝1代入y＝－(x－h)2＋1，得h＝2.∴表达式为y＝－(x－2)2＋1(或y＝－x2＋4x－3)．对称轴为直线x＝2，顶点B(2，1)；(2)点C的横坐标为0，则yC＝－h2＋1，∴当h＝0时，yC有最大值为1.此时，l为y＝－x2＋1，对称轴为y轴，当x≥0时，y随着x的增大而减小，∴x1＞x2≥0时，y1＜y2；(3)把OA分1∶4两部分的点为(－1，0)或(－4，0)．把x＝－1，y＝0代入y＝－(x－h)2＋1，得h＝0或h＝－2.但h＝－2时，OA被分为三部分，不合题意，舍去．同样，把x＝－4，y＝0代入y＝－(x－h)2＋1，得h＝－5或h＝－3(舍去)．∴h的值为0或－5.10．(2022河北中考)如图，2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A，B，C，D，E，F，G，H，O九个格点．抛物线l的表达式为y＝(－1)nx2＋bx＋c(n为整数)．(1)n为奇数，且l经过点H(0，1)和C(2，1)，求b，c的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点；(2)n为偶数，且l经过点A(1，0)和B(2，0)，通过计算说明点F(0，2)和H(0，1)是否在该抛物线上；(3)若l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数．解：(1)n为奇数时，y＝－x2＋bx＋c.∵l经过点H(0，1)和C(2，1)，∴解得∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋1，∴y＝－(x－1)2＋2，∴顶点为格点E(1，2)；(2)n为偶数时，y＝x2＋bx＋c，∵l经过点A(1，0)和B(2，0)．∴解得∴抛物线的表达式为y＝x2－3x＋2，当x＝0时，y＝2，∴点F(0，2)在抛物线y＝x2－3x＋2的图像上，点H(0，1)不在抛物线y＝x2－3x＋2的图像上；(3)所有满足条件的抛物线共有8条．\n中考考点清单 二次函数的概念及表达式1．定义：一般地，如果两个变量x和y之间的函数关系，可以表示成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)，那么称y是x的二次函数，其中，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项．2．三种表示方法：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h，k)；(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标．3．三种表达式之间的关系顶点式一般式两点式4．二次函数表达式的确定：(1)求解二次函数表达式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数表达式；①当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式；②当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式；③当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两点式y＝a(x－x1)(x－x2)．(2)步骤：①设二次函数的表达式；②根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；③解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的表达式． 二次函数的图像及其性质二次函数的图像及其性质近五年考查三大题型均有涉及．结合的背景有：(1)与规律探索结合的旋转抛物线；(2)以两个抛物线结合为背景；(3)与正方形结合．设问方式有：(1)求点坐标；(2)判断结论的正误；(3)判断不符合条件的函数图像；(4)求表达式；(5)求最值．5．图像性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)图像续表对称轴直线x＝__－__直线x＝－顶点坐标\n增减性在对称轴的左侧，即x＜－时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x＞－时，y随x的增大而增大，简记为“左减右增”在对称轴的左侧，即当x＜－时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x＞－时，y随x的增大而减小，简记为“左增右减”最值抛物线有最低点，当__x＝－__时，y有最小值，y最小值＝抛物线有最高点，当x＝－时，y有最大值，y最大值＝____6.系数a，b，c与二次函数的图像关系项目字母字母的符号图像的特征aa＞0开口向上a＜0__开口向下__bb＝0对称轴为y轴ab＞0(b与a同号)对称轴在y轴左侧ab＜0(b与a异号)对称轴在y轴右侧cc＝0__经过原点__c＞0与y轴正半轴相交c＜0与y轴负半轴相交b2－4acb2－4ac＝0与x轴有唯一交点(顶点)b2－4ac＞0与x轴有两个不同交点b2－4ac＜0与x轴没有交点特殊关系当x＝1时，y＝a＋b＋c当x＝－1时，y＝a－b＋c若a＋b＋c＞0，即x＝1时，y＞0若a－b＋c＞0，即x＝－1时，y＞0 二次函数图像的平移7．平移步骤：(1)将抛物线表达式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标；(2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可．8．平移规律：移动方向平移前的表达式平移后的表达式规律向左平移m个单位长度y＝a(x－h)2＋ky＝a(x－h＋m)2＋k左加向右平移m个单位长度y＝a(x－h)2＋ky＝a(x－h－m)2＋k右减向上平移m个单位长度y＝a(x－h)2＋ky＝a(x－h)2＋k＋m上加续表\n移动方向平移前的表达式平移后的表达式规律向下平移m个单位长度y＝a(x－h)2＋ky＝a(x－h)2＋k－m下减口诀：左加右减、上加下减 二次函数与一元二次方程的关系9．当抛物线与x轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根．10．当抛物线与x轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根．11．当抛物线与x轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根．,中考重难点突破 二次函数的图像及性质【例1】(2022孝感中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，反比例函数y＝与一次函数y＝cx＋a在同一平面直角坐标系中的大致图像是( B ),A),B),C),D)【解析】∵y＝ax2＋bx＋c的图像的开口向下，∴a<0，∵对称轴在y轴的右侧，∴b>0，与y轴正半轴相交，∴c>0，∴反比例函数的图像经过第一、三象限，一次函数的图像经过第一、三、四象限．故选B.【答案】B1．(2022广州中考)a≠0，函数y＝与y＝－ax2＋a在同一直角坐标系中的大致图像可能是( D ),A),B)\n,C),D) 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与a，b，c的关系【例2】(2022日照中考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，其部分图像如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a＋b＋c＝0；③a－b＋c＜0；④抛物线的顶点坐标为(2，b)；⑤当x＜2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是( B )A．①②③ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤【解析】由对称轴为直线x＝2和点(4，0)可判断①；由对称轴为直线x＝2可得b＝－4a，又c＝0可判断②；当x＝－1时，y＝a－b＋c，可判断③；观察图像即可判断④；由函数增减性可判断⑤.【答案】C2．(烟台中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①4ac<b2；②a＋c>b；③2a＋b>0.其中正确的有( B ) A．①②B．①③C．②③D．①②③(第2题图) (第3题图)3．(兰州中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，对称轴是直线x＝－1，有以下结论：①abc>0；②4ac<b2；③2a＋b＝0；④a－b＋c>2.其中正确的结论的个数是( C )A．1个B．2个C．3个D．4个 二次函数表达式的确定【例3】(2022承德二中模拟)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．\n(1)求二次函数的表达式；(2)设二次函数的图像与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【解析】(1)根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的表达式；(2)令y＝0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标；(3)画出图像，再根据图像直接得出答案．【答案】解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点，∴∴∴二次函数的表达式为y＝x2－x－1；(2)当y＝0时，得x2－x－1＝0，解得x1＝2，x2＝－1，∵点A的坐标为(2，0)，∴点D坐标为(－1，0)；(3)图像如图所示，当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是－1＜x＜4.4．如图，二次函数的图像与x轴交于A(－3，0)和B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C，D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B，D.(1)请直接写出D点的坐标；(2)求二次函数的表达式；(3)根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．解：(1)D(－2，3)；(2)设表达式为y＝ax2＋bx＋c，将A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)代入，得解得∴二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3；(3)x＜－2或x＞1.
