专题八 二次函数综合题类型一新定义问题(2022·河南)如图，直线y＝－x＋c与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，B.(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；(2)M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．例1题图备用图【分析】(1)把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由点A，B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)①由M点坐标可表示点P，N的坐标，从而可表示出MA，MP，PN，PB的长，分∠NBP＝90°和∠BNP＝90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；②用m可表示出点M，P，N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于m的方程，即可求得m的值．【自主解答】解：(1)∵y＝－x＋c过点A(3，0)，与y轴交于点B，∴0＝－2＋c，解得c＝2，∴B(0，2)．∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，B，35\n解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2.(2)①由(1)可知直线的解析式为y＝－x＋2，∵M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.∴P(m，－m＋2)，N(m，－m2＋m＋2)，∴PM＝－m＋2，AM＝3－m，PN＝－m2＋m＋2－(－m＋2)＝－m2＋4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°.当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴－m2＋m＋2＝2，解得m＝0(舍去)或m＝2.5，∴M(2.5，0)；当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，例1题解图则∠NBC＋∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝－m2＋m＋2－2＝－m2＋m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC＋∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB～Rt△BOA，∴＝，∴＝，解得m＝0(舍去)或m＝.∴M(，0)；综上可知，当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为(2.5，0)或(，0)；35\n②由①可知M(m，0)，P(m，－m＋2)，N(m，－m2＋m＋2)，∵M，P，N三点为“共谐点”，∴当P为线段MN的中点时，则有2(－m＋2)＝－m2＋m＋2，解得m＝3(三点重合，舍去)或m＝；当M为线段PN的中点时，则有－m＋2＋(－m2＋m＋2)＝0，解得m＝3(舍去)或m＝－1；当N为线段PM的中点时，则有－m＋2＝2(－m2＋m＋2)，解得m＝3(舍去)或m＝－.综上可知，当M，P，N三点成为“共谐点”时，m的值为或－1或－.1．(2022·河南)如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点(含端点)，过点P作PF⊥BC于点F，点D，E的坐标分别为(0，6)，(－4，0)，连接PD，PE，DE.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；(3)小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．第1题图备用图35\n2．(2022·崇仁一中二模)如图①，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线L1，L2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．(1)抛物线L1：y＝－x2＋4x－3与抛物线L2是“伴随抛物线”，且抛物线L2的顶点B的横坐标为4，求抛物线L2的表达式；(2)若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“伴随抛物线”的表达式为y＝a2(x－h)2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由；(3)在图②中，已知抛物线L1：y＝mx2－2mx－3m(m＞0)与y轴相交于点C，它的一条“伴随抛物线”为L2，抛物线L2与y轴相交于点D.若CD＝4m，求抛物线L2的对称轴．图①图②35\n3．(2022·郑州模拟)如图，已知点C(0，3)，抛物线的顶点为A(2，0)，与y轴交于点B(0，1)，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M.(1)求抛物线的解析式；(2)若点F在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1，连接PF，PC，CF，求证：对于任意点P，PF与PM的差为常数．(3)记(2)中的常数为a，若将“使△PCF面积为2a”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，且使△PCF的周长最小的点P也是一个“巧点”，请直接写出所有“巧点”的个数，并求出△PCF的周长最小时“巧点”的坐标．35\n4．(2022·焦作一模)如图①，直线y＝x＋m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0，－1)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，点C的横坐标为4.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图②，点D在抛物线上，DE∥y轴交直线AB于点E，且四边形DFEG为矩形，设点D的横坐标为x(0＜x＜4)，矩形DFEG的周长为l，求l与x的函数关系式以及l的最大值；(3)将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°，得到△A1O1B1，点A，O，B的对应点分别是点A1，O1，B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标．图①图②35\n类型二线段、角度数量关系探究(2022·河南)如图①，直线y＝－x＋n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，交y轴于点B(0，－2)．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；(3)如图②，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．图①图②例2题图备用图【分析】先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)由△BDP为等腰直角三角形，判断出BD＝PD，建立m的方程计算出m，从而求出PD；(3)分点P′落在x轴和y轴两种情况计算即可．①当点P′落在x轴上时，过点D′作D′N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，先利用互余和旋转角相等得出∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′，进而表示出ND′的长度，通过构造方程求解；②的思路同①.【自主解答】解：(1)∵点C(0，4)在直线y＝－x＋n上，35\n∴n＝4，∴y＝－x＋4.当y＝0时，0＝－x＋4，解得x＝3，∴A(3，0)．∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，交y轴于点B(0，－2)，∴解得∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2.(2)∵点P为抛物线上一个动点，且横坐标为m，∴P(m，m2－m－2)，D(m，－2)，∴BD＝|m|，PD＝|m2－m－2＋2|＝|m2－m|.∵△BDP为等腰直角三角形，且PD⊥BD，∴BD＝PD.①当点P在直线BD上方时，PD＝m2－m.(i)若点P在y轴左侧，则m<0，BD＝－m.∴m2－m＝－m，解得1＝0(舍去)，m2＝(舍去)．(ii)若点P在y轴右侧，则m>0，BD＝m.∴m2－m＝m，解得3＝0(舍去)，m4＝.②当点P在直线BD下方时，m>0，BD＝m，PD＝－m2＋m.∴－m2＋m＝m，解得5＝0(舍去)，m6＝.综上所述，m＝或.即当△BDP为等腰直角三角形时，PD的长为或.(3)P1(－，)，P2(，)，P3(，)．35\n提示：∵∠PBP′＝∠OAC，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，∴sin∠PBP′＝，cos∠PBP′＝.①当点P′落在x轴上时，过点D′作D′N⊥x轴，垂足为点N，交BD于点M，∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′.如解图①，例2题解图①∵ND′－MD′＝2，即(m2－m)－(－m)＝2；∴m＝(舍去)或m＝－；如解图②， 例2题解图②∵ND′＋MD′＝2，即(m2－m)＋m＝2，∴m＝或m＝－(舍去)，∴P(－，)或P(，)．②当点P′落在y轴上时，如解图③，过点D′作D′M⊥x轴，交BD于点M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD′的延长线于点N，35\n例2题解图③∴∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′.∵P′N＝BM，即(m2－m)＝m，∴m＝，∴P(，)．1．(2022·河南)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(5，0)两点，直线y＝－x＋3与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若PE＝5EF，求m的值；(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．35\n2．(2022·洛阳一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为(0，－1)，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC.(1)求该抛物线的解析式；(2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒(t＞0)，在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？(3)在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．35\n3．(2022·新野一模)已知抛物线y＝ax2＋bx＋2经过A(－1，0)，B(2，0)，C三点．直线y＝mx＋交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N.(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN＝2NF，求出此时点P的坐标；(3)如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．图①图②35\n4．如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC.(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积与△OBC的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点D(2，m)在第一象限的抛物线上，连接BD.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．第4题图备用图35\n类型三特殊图形判定问题(2022·河南)如图，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－5经过点B，C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P(不与点B，C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q.若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．例3题图备用图【分析】(1)利用一次函数解析式确定C(0，－5)，B(5，0)，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)①先解方程－x2＋6x－5＝0得A(1，0)，再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC＝∠OCB＝45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM＝2，接着根据平行四边形的性质得到PQ＝AM＝2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如解图①，利用∠PDQ＝45°得到PD＝PQ＝4.设P(m，－m2＋6m－5)，则D(m，m－5)，讨论：当P点在直线BC上方时，PD＝－m2＋6m－5－(m－5)＝4；当P点在直线BC下方时，PD＝m－5－(－m2＋6m－5)，然后分别解方程即可得到P点的横坐标；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如解图②，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B＝2∠ACB，再确定N(3，－2)，AC的解析式为y＝5x－5，E点坐标为(，－)，利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y＝－x＋b，把E(，－)代入求出b得到直线EM1的解析式为y＝－x－，则解方程组得M1点的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如解图②，利用对称性得到∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB，设M235\n(x，x－5)，根据中点坐标公式得到3＝，然后求出x即可得到点M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．【自主解答】解：(1)当x＝0时，y＝x－5＝－5；当y＝x－5＝0时，x＝5∴B(5，0)，C(0，－5)．将B，C两点的坐标代入y＝ax2＋6x＋c中，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋6x－5.(2)①解方程－x2＋6x－5＝0得x1＝1，x2＝5，则A(1，0)，∵B(5，0)，C(0，－5)，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.∵AM⊥BC，∴△AMB为等腰直角三角形，∴AM＝AB＝×4＝2.∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ∴PQ＝AM＝2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如解图①，则∠PDQ＝45°，∴PD＝PQ＝4，设P(m，－m2＋6m－5)，则D(m，m－5)．当P点在直线BC上方时，PD＝－m2＋6m－5－(m－5)＝－m2＋5m＝4，解得m1＝1，m2＝4.当P点在直线BC下方时；PD＝m－5－(－m2＋6m－5)＝m2－5m＝4，解得m1＝，m2＝.综上所述，P点的横坐标为4或或.②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如解图②.∵M1A＝M1C，∴∠ACM1＝∠CAM1，∴∠AM1B＝2∠ACB.∵△ANB为等腰直角三角形，35\n∴AH＝BH＝NH＝2，∴N(3，－2)，易得AC的解析式为y＝5x－5，E点坐标为(，－)，设直线EM1的解析式为y＝－x＋b，把E(，－)代入，得＋b＝－，解得b＝－，∴直线EM1的解析式为y＝－x－，解方程组得，则M1(，－)；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M，如解图②，则∠AM2C＝2∠ACB，设M2(x，x－5)，∵3＝，∴x＝，∴M2(，－)．图①图②例3题解图1．(2022·河南)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝35\nx＋2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3，)，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由；(3)若存在点P，使∠PCF＝45°，请直接写出相应的点P的坐标．第1题图备用图35\n2．(2022·河南名校模拟)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(－1，0)和B(3，0)两点，且交y轴于点C，M为抛物线的顶点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)若将该二次函数图象向上平移m(m＞0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△BOC的内部(不包含边界)，求m的取值范围；(3)点P是抛物线上一动点，PQ∥BC交x轴于点Q，当以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．35\n3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)、B两点，其顶点为(1，－4)，直线y＝x－2与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点，过P点作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若PE＝3EF，求m的值；(3)连接PC，是否存在点P，使△PCE是以PE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．35\n参考答案类型一针对训练1．解：(1)∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，∴C(0，8)，A(－8，0)，设抛物线的解析式为：y＝ax2＋c，则解得：故抛物线的解析式为：y＝－x2＋8.(2)正确，理由：设P(a，－a2＋8)，则F(a，8)，∵D(0，6)，∴PD＝＝＝a2＋2.∵PF＝8－(－a2＋8)＝a2，∴PD－PF＝2；(3)在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，∵PD－PF＝2，∴PD＝PF＋2，∴PE＋PD＝PE＋PF＋2，第1题解图①∴如解图①，当P、E、F三点共线时，PE＋PF最小，此时点P，E的横坐标都为－4，将x＝－4代入y＝－x2＋8，得y＝6，∴P(－4，6)，此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点，∴△PDE的周长最小时“好点”的坐标为(－4，6)由(2)得：P(a，－a2＋8)，35\n∵点D、E的坐标分别为(0，6)，(－4，0)，第1题解图②①如解图②，当－4≤a＜0时，S△PDE＝S△PEO＋S△POD－S△DOE＝×4×(－a2＋8)＋×6×(－a)－×4×6＝－a2－3a＋4＝－(a＋b)2＋13，∴4＜S△PDE≤12.②当a＝0时，S△PDE＝4；第1题解图③③如解图③，过点P作PN⊥x轴于点N，当－8＜a＜－4时，S△PDE＝S梯形PNOD－S△PNE－S△DOE＝(－a2＋8＋6)×(－a)×－×4×6－(－a－4)×(－a2＋8)×＝－a2－3a＋4＝－(a＋b)2＋13，∴12＜S△PDE≤13；④当a＝－8时，S△PDE＝12，∴△PDE的面积可以等于4到13的所有整数，在面积为12时，a的值有两个，∴面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，∴“好点”共有11个．综上所述，共有11个，“好点”，P(－4，6)．2．解：(1)由y＝－x2＋4x－3可得点A的坐标为(2，1)，将x＝4代入y＝－x2＋4x－3，得y＝－3，∴B点的坐标为(4，－3)，设抛物线L2的解析式为y＝a(x－4)2－3.将A(2，1)代入，得1＝a(2－4)2－3，解得a＝1，∴抛物线L2的表达式为y＝(x－4)2－3；(2)a1＝－a2，理由如下：∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上，35\n∴可列方程组整理，得(a1＋a2)(m－h)2＝0.∵“伴随抛物线”的顶点不重合，∴m≠h，∴a1＝－a2.(3)抛物线L1：y＝mx2－2mx－3m的顶点坐标为(1，－4m)，设抛物线L2的顶点的横坐标为h，则其纵坐标为mh2－2mh－3m，∴抛物线L2的表达式为y＝－m(x－h)2＋mh2－2mh－3m，化简，得y＝－mx2＋2mhx－2mh－3m，∴点D的坐标为(0，－2mh－3m)，又∵点C的坐标为(0，－3m)，∴|(－2mh－3m)－(－3m)|＝4m，解得h＝±2，∴抛物线L2的对称轴为直线x＝±2.3．(1)解：设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2.将点B的坐标代入得4a＝1，解得a＝.∴抛物线的解析式为y＝(x－2)2，即y＝x2－x＋1.(2)证明：设点P的坐标为(m，(m－2)2)，∴PM＝(m－2)2，M(m，0)．依据两点间的距离公式可知PF＝＝＝＝＝(m－2)2＋1，∴PF－PM＝1.∴对于任意点P，PF与PM的差为常数．(3)解：设直线CF的解析式为y＝kx＋3，将点F的坐标代入，得2k＋3＝1，解得k＝－1，∴直线CF的解析式为y＝－x＋3.由两点间的距离公式可知CF＝2.∵a＝1，35\n∴2a＝2.设在△PCF中，边CF的上的高线长为x，则×2x＝2，解得x＝.如解图，过点C作CG⊥CF，取CG＝.则点G的坐标为(－1，2)．第3题解图过点G作GH∥FC，设直线GH的解析式为y＝－x＋b，将点G的坐标代入，得1＋b＝2，解得b＝1，∴直线GH的解析式为y＝－x＋1，令－x＋1＝(x－2)2，解得x＝0，∴△PCF的一个巧点的坐标为(0，1)．显然，直线GH在CF的另一侧时，直线GH与抛物线有两个交点．∵F，C为定点，∴CF的长度不变，∴当PC＋PF最小时，△PCF的周长最小．∵PF－PM＝1，∴PC＋PF＝PC＋PM＋1，∴当C、P、M在一条直线上时，△PCF的周长最小．∴此时P(0，1)．综上所述，△PCF的巧点有3个，△PCF的周长最小时，“巧点”的坐标为(0，1)．4．解：(1)∵直线l：y＝x＋m经过点B(0，－1)，∴m＝－1，∴直线l的解析式为y＝x－1.∵直线l：y＝x－1经过点C，且点C的横坐标为4，∴y＝×4－1＝2.∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点C(4，2)和点B(0，－1)，∴，解得，35\n∴抛物线的解析式为y＝x2－x－1；(2)令y＝0，则x－1＝0，解得x＝，∴点A的坐标为(，0)，∴OA＝.在Rt△OAB中，OB＝1，∴AB＝＝＝.∵DE∥y轴，∴∠ABO＝∠DEF，在矩形DFEG中，EF＝DE·cos∠DEF＝DE·＝DE，DF＝DE·sin∠DEF＝DE·＝DE，∴l＝2(DF＋EF)＝2(＋)DE＝DE.∵点D的横坐标为t(0＜t＜4)，∴D(t，t2－t－1)，E(t，t－1)，∴DE＝(t－1)－(t2－t－1)＝－t2＋2t，∴l＝×(－t2＋2t)＝－t2＋t，∵l＝－(t－2)2＋，且－＜0，∴当t＝2时，l有最大值.(3)“落点”的个数为4，如解图①，解图②，解图③，解图④所示．图①图②35\n图③图④第4题解图如解图③，设点A1的横坐标为m，则点O1的横坐标为m＋，∴m2－m－1＝(m＋)2－(m＋)－1，解得m＝，如解图④，设点A1的横坐标为m，则点B1的横坐标为m＋，B1的纵坐标比点A1的纵坐标大1，∴m2－m－1＋1＝(m＋)2－(m＋)－1，解得m＝，∴旋转180°时点A1的横坐标为或.类型二针对训练1．解：(1)将点A，B的坐标代入抛物线解析式，得：解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5，(2)∵点P的横坐标为m，∴P(m，－m2＋4m＋5)，E(m，－m＋3)，F(m，0)，∴PE＝|yP－yE|＝|(－m2＋4m＋5)－(－m＋3)|＝|m2＋m＋2|，EF＝|yE－yF|＝|(－m＋3)－0|＝|－m＋3|，由题意，得PE＝5EF，即|－m2＋m＋2|＝5|－m＋3|＝|－m＋15|.①若－m2＋m＋2＝－m＋15，整理，得2m2－17m＋26＝0，35\n解得m＝2或m＝；②若－m2＋m＋2＝－(－m＋15)，整理，得m2－m－17＝0，解得m＝或m＝.由题意，得m的取值范围为－1＜m＜5，故m＝，m＝这两个解不符合题意，∴m＝2或m＝.(3)假设存在．作出示意图如解图：∵点E、E′关于直线PC对称，∴∠1＝∠2，CE＝CE′，PE＝PE′.∵PE平行于y轴，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴PE＝CE，∴PE＝CE＝PE′＝CE′，即四边形PECE′是菱形．当四边形PECE′是菱形存在时，由直线CD的解析式y＝－x＋3，可得OD＝4，OC＝3，由勾股定理，得CD＝5，过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，∴＝，即＝，解得CE＝|m|，∴PE＝CE＝|m|，又由(2)可知：PE＝|－m2＋m＋2|，∴|－m2＋m＋2|＝|m|.①若－m2＋m＋2＝m，整理，得2m2－7m－4＝0，解得m＝4或m＝－；②若－m2＋m＋2＝－m，整理，得m2－6m－2＝0，解得m1＝3＋，m2＝3－.由题意，得m的取值范围为－1＜m＜5，故m＝3＋这个解舍去，当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，此时P点横坐标为0，E，C，E′三点重合于y轴上，也符合题意，∴P(0，5)．综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P的坐标为(0，5)或(－或)或(4，5)或(3－，2－3)．35\n第1题解图2．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，∴解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x－2；(2)如解图①，由(1)知y＝－x2＋x－2＝－(x－2)2＋；∵D为抛物线的顶点，∴D(2，)．∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行与y轴平行的方向向上运动，∴设M(2，m)(m＞)，∴OM2＝m2＋4，BM2＝m2＋1，OB2＝9.∵∠OMB＝90°，∴OM2＋BM2＝OB2，∴m2＋4＋m2＋1＝9，解得m＝或m＝－(舍去)，∴M(2，)，∴MD＝－.∴t＝－；图①35\n图②第2题解图(3)存在点P，使得∠PBF被BA平分，如解图②，∴∠PBO＝∠EBO，∵E(0，－1)，∴在y轴上取一点N(0，1)．∵B(3，0)，∴直线BN的解析式为y＝－x＋1①.∵点P在抛物线y＝－x2＋x－2②上，联立①②，得解得，或，∴P(，)．3．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋2经过A(－1，0)，B(2，0)，∴将点A和点B的坐标代入，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2.(2)直线y＝mx＋交抛物线与A，Q两点，把A(－1，0)代入解析式，得m＝，∴直线AQ的解析式为y＝x＋.设点P的横坐标为n，则P(n，－n2＋n＋2)，N(n，n＋)，F(n，0)，∴PN＝－n2＋n＋2－(n＋)＝－n2＋n＋，NF＝n＋.∵PN＝2NF，∴－n2＋n＋＝2×(n＋)，解得n＝－1或.35\n当n＝－1时，点P与点A重合，不符合题意舍去．∴点P的坐标为(，)．(3)∵y＝－x2＋x＋2，＝－(x－)2＋，∴M(，)．如解图所示，连接AM交直线DE与点G，连接CG，CM此时，△CMG的周长最小．第3题解图设直线AM的函数解析式为y＝kx＋b，且过A(－1，0)，M(，)，根据题意，得解得∴直线AM的函数解析式为y＝x＋.∵D为AC的中点，∴D(－，1)．设直线AC的解析式为y＝kx＋2，将点A的坐标代入，得－k＋2＝0，解得k＝2，∴直线AC的解析式为y＝2x＋2.设直线DE的解析式为y＝－x＋c，将点D的坐标代入，得＋c＝1，解得c＝，∴直线DE的解析式为y＝－x＋.将y＝－x＋与y＝x＋联立，解得x＝－，y＝，∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G(－，)．4．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，∴解得35\n∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3；(2)存在．∵抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3，∴点C的坐标为(0，3)，∵C(0，3)，B(3，0)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，∴过点O与BC平行的直线y＝－x，与抛物线的交点即为M，解方程组可得或∴M1(，)，M2(，)；第4题解图(3)存在．如解图，设BP交y轴于点G.∵点D(2，m)在第一象限的抛物线上，∴当x＝2时，m＝－22＋2×2＋3＝3，∴点D的坐标为(2，3)，把x＝0代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝3，∴点C的坐标为(0，3)，∴CD∥x轴，CD＝2，∵点B(3，0)，∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.∴∠DCB＝∠OBC＝∠OCB＝45°，又∵∠PBC＝∠DBC，BC＝BC，∴△CGB≌△CDB(ASA)，∴CG＝CD＝2.∴OG＝OC－CG＝1，∴点G的坐标为(0，1)，35\n设直线BP的解析式为y＝kx＋1，将B(3，0)代入，得3k＋1＝0，解得k＝－，∴直线BP的解析式为y＝－x＋1，令－x＋1＝－x2＋2x＋3，解得x1＝－，x2＝3，∵点P是抛物线对称轴x＝－＝1左侧的一点，即x＜1，∴x＝－，把x＝－代入抛物线y＝－x2＋2x＋3中，解得y＝，∴当点P的坐标为(－，)时，满足∠PBC＝∠DBC.类型三针对训练1．解：(1)在直线解析式y＝x＋2中，令x＝0，得y＝2，∴C(0，2)．∵点C(0，2)，D(3，)在抛物线y＝－x2＋bx＋c上，∴解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2.35\n图①图②第1题解图(2)∵PF∥OC，且以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，∴PF＝OC＝2，∴将直线y＝x＋2沿y轴上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点即为所求，由解图①可以直观地看出，这样的交点有3个，将直线y＝x＋2沿y轴向上平移2个单位，得到直线y＝x＋4，联立解得x1＝1，x2＝2；将直线y＝x＋2沿y轴向下平行移2个单位，得到直线y＝x，联立解得x3＝，x4＝(不舍题意，舍去)，∴m3＝，∴当m的值为1或2或时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形．(3)存在．理由：设点P的横坐标为m，则P(m，－m2＋m＋2)，F(m，m＋2)如解图②所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM＝m，EM＝2，∴FM＝yF－EM＝m，∴tan∠CFM＝2，35\n在Rt△CFM中，由勾股定理，得CF＝m，过点P作PN⊥CD于点N，则PN＝FN·tan∠PFN＝FN·tan∠CFM＝2FN.∵∠PCF＝45°，∴PN＝CN，而PN＝2FN，∴FN＝CF＝m，PN＝2FN＝m.在Rt△PFN中，由勾股定理，得PF＝＝m.∵PF＝yP－yF＝(－m2＋m＋2)－(m＋2)＝－m2＋3m，∴－m2＋3m＝－m，整理，得m2－m＝0，解得m＝0(舍去)或m＝，∴P(，)；同理求得，另一点为P(，)．∴符合条件的点P的坐标为(，)或(，)．2．解：(1)将点A和点B的坐标代入得：，解得：b＝－2，c＝－3.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.(2)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴M(1，－4)．把x＝0代入抛物线的解析式得：y＝－3，∴C(0，－3)．设直线BC的解析式为y＝kx＋b，则解得：k＝1，b＝－3.∴直线BC的解析式为y＝x－3.把x＝1代入y＝x－3得y＝－2，∵平移后的抛物线的顶点坐标在△BOC的内部，35\n∴－2＜－4＋m＜0，解得2＜m＜4.(3)当点P在点Q的上方时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为3.把y＝3代入抛物的解析式x2－2x－3＝3，解得：x＝1＋或x＝1－.∴点P的坐标为(1＋，3)或(1－，3)．当点P在点Q的下方时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为－3.把y＝－3代入抛物的解析式x2－2x－3＝－3，解得：x＝2或x＝0(舍去)．∴点P的坐标为(2，－3)．综上所述，当点P的坐标为(1－，3)或(1＋，3)或(2，－3)时，以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．3．解：(1)抛物线的顶点为(1，－4)，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2－4，把A(－1，0)代入，可得0＝a(－1－1)2－4，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝(x－1)2－4(或y＝x2－2x－3)；(2)设点P的横坐标是m，则P(m，m2－2m－3)，E(m，m－2)，F(m，0)，PE＝|yE－yP|＝|(m－2)－(m2－2m－3)|＝|－m2＋3m＋1|，EF＝|－m＋2|，由题意PE＝3EF，即：|－m2＋3m＋1|＝3|－m＋2|，①若－m2＋3m＋1＝3(－m＋2)，整理，得m2－6m＋5＝0，解得m＝1或m＝5，令y＝x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴B(3，0)，∵点P在x轴下方，∴－1＜m＜3，∴m＝5不合题意，舍去，∴m＝1；②若－m2＋3m＋1＝－3(－m＋2)，整理，得m2－7＝0，解得：m＝或m＝－，∵点P在x轴下方，∴－1＜m＜3，m＝－不合题意，舍去，∴m＝，综上所述，m＝1或m＝；(3)存在，m的值为或.理由：直线y＝x－2与y轴的夹角为45°，∠PEC＝45°，当△PCE是以PE为底边的等腰三角形时，∠PCE＝90°，35\n故直线PC的解析式为y＝－x－2，联立消掉y得，x2－x－1＝0，解得x＝或，所以点P的横坐标m＝或.35
