2022年河南省焦作市沁阳市中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）（2022•滨州）二次根式有意义时，x的取值范围是（ ） A．x≥B．x≤﹣C．x≥﹣D．x≤考点：二次根式有意义的条件；解一元一次不等式．专题：存在型．分析：根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，列出不等式，求出x的取值范围即可．解答：解：∵二次根式有意义，∴1+2x≥0，解得x≥﹣．故选C．点评：本题考查的是二次根式有意义的条件及解一元一次不等式，比较简单． 2．（3分）（2022•襄阳）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：依据轴对称图形与中心对称的概念即可解答．解答：解：B选项是轴对称也是中心对称图形，C、D选项是轴对称但不是中心对称图形，A选项只是中心对称图形但不是轴对称图形．故选A．点评：对轴对称与中心对称概念的考查：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 3．（3分）（2022•沁阳市一模）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A．B．C．D．考点：最简二次根式．专题：计算题．分析：判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．解答：解：A、=，所以本二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数；故本选项错误；13\nB、==4，所以本二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数；故本选项错误；C、符合最简二次根式的定义；故本选项正确；D、的被开方数中含有分母；故本选项错误；故选C．点评：本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 4．（3分）（2022•东莞）在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（ ） A．B．C．D．考点：概率公式．专题：应用题；压轴题．分析：先求出球的所有个数与红球的个数，再根据概率公式解答即可．解答：解：∵共8球在袋中，其中5个红球，∴其概率为，故选C．点评：本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中． 5．（3分）（2022•沁阳市一模）下列等式成立的是（ ） A．×=B．=C．=±3D．﹣=9考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据算术平方根对B、D进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．解答：解：A、×==，所以A选项正确；B、﹣=3﹣2=1，所以B选项错误；C、=3，所以C选项错误；D、﹣=﹣|﹣9|=﹣9，所以D选项错误．故选A．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 6．（3分）（2022•兰州）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ） A．（x+1）2=6B．（x+2）2=9C．（x﹣1）2=6D．（x﹣2）2=913\n考点：解一元二次方程-配方法．专题：方程思想．分析：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．解答：解：由原方程移项，得x2﹣2x=5，方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x2﹣2x+1=6∴（x﹣1）2=6．故选C．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 7．（3分）（2022•沁阳市一模）如图，把△ABC绕着点C顺时针旋转30°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A的度数是（ ） A．30°B．50°C．60°D．80°考点：旋转的性质．分析：根据旋转的性质得出∠BCB′=∠ACA′=30°，进而得出∠A的度数即可．解答：解：∵把△ABC绕着点C顺时针旋转30°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，∴∠BCB′=∠ACA′=30°，∵∠A′DC=90°，则∠A的度数是：90°﹣∠ACA′=60°．故选：C．点评：此题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，根据已知得出∠ACA′=30°是解题关键． 8．（3分）（2022•沁阳市一模）如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（ ） A．2B．4C．8D．1013\n考点：垂径定理；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：观察图形延长CO交AB于E点，由OC与AB垂直，根据垂径定理得到E为AB的中点，连接OB，构造直角三角形OBE，然后由PB，OE的长，根据勾股定理求出AE的长，进而得出AB的长．解答：解：延长CO交AB于E点，连接OB，∵CE⊥AB，∴E为AB的中点，由题意可得CD=4，OD=4，OB=8，DE=（8×2﹣4）=×12=6，OE=6﹣4=2，在Rt△OEB中，根据勾股定理可得：OE2+BE2=OB2，代入可求得BE=2，∴AB=4．故选B．点评：此题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定理得出直径平分弦，进而由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形来解决问题，故延长CO并连接OB作出辅助线是本题的突破点． 二、填空题（每小题3分，共21分）9．（3分）（2022•沁阳市一模）点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为 （﹣3，2） ．考点：关于原点对称的点的坐标．分析：根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．解答：解：点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为（﹣3，2），故答案为：（﹣3，2）．点评：此题主要考查了两个点关于原点对称时，关键是掌握点的坐标的变化规律． 10．（3分）（2022•沁阳市一模）写出一个所描述的事件是不可能事件的成语 拔苗助长等 ．考点：随机事件．专题：开放型．分析：不可能事件就是一定不会发生的事件，据此即可解答．解答：解：所描述的事件是不可能事件的成语：拔苗助长．（答案不唯一）．故答案是：拔苗助长．点评：本题考查了不可能事件的定义，理解定义是关键． 11．（3分）（2022•沁阳市一模）长度等于圆的半径的弦所对的圆周角的度数为 30°或150° ．考点：圆周角定理；等边三角形的判定与性质．13\n专题：计算题．分析：根据题意画出相应的图形，如图所示，由半径等于弦长，得到三角形AOB为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠AOB为60°，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍求出∠ACB的度数，再利用圆内接四边形的对角1互补求出∠ADB的度数，即可得出弦AB所对圆周角的度数．解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示，∵OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠AOB与∠ACB都对，∴∠ACB=∠AOB=30°，又四边形ACBD为圆O的内接四边形，∴∠ACB+∠ADB=180°，∴∠ADB=150°，则弦AB所对的圆周角为30°或150°．故答案为：30°或150°点评：此题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，以及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键． 12．（3分）（2022•沁阳市一模）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜9且k≠0 ．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．分析：根据一元二次方程kx2﹣6x+1=0有两个不相等的实数根，知△=b2﹣4ac＞0，然后据此列出关于k的方程，解方程即可．解答：解：∵kx2﹣6x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=36﹣4k＞0，且k≠0，解得k＜9且k≠0；故答案是：k＜9且k≠0．点评：本题主要考查了一元二次方程的根的判别式．解题时，注意一元二次方程的“二次项系数不为0”这一条件． 13．（3分）（2022•沁阳市一模）在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则r与R之间的关系是r= ．13\n考点：圆锥的计算．分析：让扇形的弧长等于圆的周长列式求解即可．解答：解：=2πr，解得r=．点评：用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长． 14．（3分）（2022•沁阳市一模）某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，设平均每月增长的百分率是x，则列方程为 160（1+x）2=250 ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：设平均每月增长的百分率是x，根据4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，由增长率问题可列方程．解答：解：设平均每月增长的百分率是x，由题意，得160（1+x）2=250．故答案为：160（1+x）2=250．点评：本题考查的是一个增长率问题，关键知道4月份的利润为160万元，6月份的利润达到250万元只要设出出每个月的增长率就可以列出方程． 15．（3分）（2022•沁阳市一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°、∠A=30°，在AC边上取点O画圆，使⊙O经过A、B两点，下列结论正确的序号是 ①③④ （多填或错填得0分，少填酌情给分）．①AO=2CO；②AO=BC；③以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；④延长BC交⊙O与D，则A、B、D是⊙O的三等分点．考点：切线的判定；含30度角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理．专题：计算题；压轴题．分析：连接OB，可得∠ABO=30°，则∠OBC=30°，根据直角三角形的性质得OC=OB=OA，再根据三角函数cos∠OBC=，则BC=OB，因为点O在∠ABC的角平分线上，所以点O到直线AB的距离等于OC的长，根据垂径定理得直线AC是弦BD的垂直平分线，则点A、B、D将⊙O的三等分．解答：解：连接OB，∴OA=OB，∴∠A=∠ABO，∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∴∠OBC=30°，∴OC=OB=OA，13\n即OA=2OC，故①正确；∵cos∠OBC=，∴BC=OB，即BC=OA，故②错误；∵∠ABO=∠OBC=30°，∴点O在∠ABC的角平分线上，∴点O到直线AB的距离等于OC的长，即以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；故③正确；延长BC交⊙O于D，∵AC⊥BD，∴AD=AB，∴△ABD为等边三角形，∴==，∴点A、B、D将⊙O的三等分．故④正确．故答案为①③④．点评：本题考查了直角三角形的性质、勾股定理和垂径定理，是基础知识要熟练掌握． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）（2022•沁阳市一模）计算：．考点：二次根式的加减法．专题：计算题．分析：将原式各项化为最简二次根式，合并同类二次根式即可得到结果．解答：解：原式=﹣5×+6×=4﹣+=3．点评：此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握合并同类二次根式法则是解本题的关键． 17．（9分）（2022•沁阳市一模）关于x的方程（m2﹣8m+19）x2﹣2mx﹣13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．考点：一元二次方程的定义．13\n分析：利用根的判别式，判断m2﹣8m+19=0的根的情况，根据一元二次方程的一般形式即可作出判断．解答：解：方程m2﹣8m+19=0中，b2﹣4ac=64﹣19×4=﹣8＜0，方程无解．故关于x的方程（m2﹣8m+19）x2﹣2mx﹣13=0一定是一元二次方程．点评：本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 18．（9分）（2022•沁阳市一模）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．（1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为（﹣3，1），直接写出点A的坐标；（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1，并求点B旋转到B1所经过的路线的长度．考点：作图-旋转变换；弧长的计算．分析：（1）根据以O为原点建立直角坐标系，利用点B的坐标为（﹣3，1），即可得出点A的坐标；（2）利用△ABO绕点O顺时针旋转90°，得出对应点坐标A1，B1，进而得出图形即可，再利用弧长公式求出B1所经过的路线的长度．解答：解：（1）如图所示：点A的坐标为：（﹣2，3）；（2）如图所示；点B旋转到B1所经过的路线的长度为：．点评：此题主要考查了作旋转变换和弧长公式的应用，根据已知得出对应点坐标是解题关键． 19．（9分）（2022•青岛）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．13\n考点：垂径定理的应用；勾股定理．专题：应用题．分析：如图所示，根据垂径定理得到BD=AB=×16=8cm，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解．解答：解：（1）先作弦AB的垂直平分线；在弧AB上任取一点C连接AC，作弦AC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形．（2）过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB．∵OE⊥AB∴BD=AB=×16=8cm由题意可知，ED=4cm设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2∴（x﹣4）2+82=x2解得x=10．即这个圆形截面的半径为10cm．点评：本题主要考查：垂径定理、勾股定理． 20．（9分）（2022•沁阳市一模）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为．（1）求袋中黄球的个数；（2）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率．考点：列表法与树状图法；概率公式．13\n分析：（1）根据红球的概率为及红球个数求出所有球的个数，然后利用概率公式解答即可．（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于不放回实验．解答：解：（1）设袋中黄球的个数为x个，∴袋中黄球的个数为1个；（2）、列表如下：*红1红2黄蓝红1*（红1，红2）（红1，黄）（红1，蓝）红2（红2，红1）*（红2，黄）（红2，蓝）黄（黄，红1）（黄，红2）*（黄，蓝）蓝（蓝，红1）（蓝，红2）（蓝，黄）*∴一共有12种情况，两次摸到都是红球的有2种情况，∴两次摸到都是红球的概率为：P=点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21．（10分）（2022•十堰）如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）当0B=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长．考点：切线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）求证：MN是⊙O的切线，就可以证明∠NMC=90°（2）连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径，根据△NMC∽△BOC就可以求出MN的长．解答：（1）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G∴∠OBC=∠ABC，∠DCB=2∠DCM（1分）∵AB∥CD∴∠ABC+∠DCB=180°∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣90°=90°（2分）∵MN∥OB13\n∴∠NMC=∠BOC=90°即MN⊥MC且MO是⊙O的半径∴MN是⊙O的切线（4分）（2）解：连接OF，则OF⊥BC（5分）由（1）知，△BOC是直角三角形，∴BC===10，∵S△BOC=•OB•OC=•BC•OF∴6×8=10×OF∴0F=4.8cm∴⊙O的半径为4.8cm（6分）由（1）知，∠NCM=∠BCO，∠NMC=∠BOC=90°∴△NMC∽△BOC（7分）∴，即=，∴MN=9.6（cm）．（8分）点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 22．（10分）（2022•山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．解答：（1）解：设每千克核桃应降价x元．…1分根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240．…4分化简，得x2﹣10x+24=0解得x1=4，x2=6．…6分答：每千克核桃应降价4元或6元．…7分（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为：60﹣6=54（元），．…9分答：该店应按原售价的九折出售．…10分13\n点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． 23．（11分）（2022•沁阳市一模）以原点为圆心，1cm为半径的圆分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点P的坐标为（2，0）．（1）如图1，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动一周，设经过的时间为t秒，当t=1时，直线PQ恰好与⊙O第一次相切，连接OQ．求此时点Q的运动速度（结果保留）；（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，①当t为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形；②在①的条件下，如果直线PQ与⊙O相交，请求出直线PQ被⊙O所截的弦长．考点：圆的综合题．分析：（1）连接OQ，求出∠QPO，求出∠BOQ，根据弧长公式求出即可；（2）分为四种情况，画出图形，求出弧长，即可求出答案；（3）作OM⊥PQ，根据面积公式即可求出答案．解答：解：（1）如图1，连接OQ，则OQ⊥PQ．∵OQ=OA=1，OP=2，∴∠QPO=30°，∵∠PQO=90°，∴∠QOP=60°，∴∠BOQ=30°，∴弧BQ的长是=π，∵运动时间t=1，∴点Q的运动速度为；（2）分为四种情况：①由（1）可知，当t=1时，△OPQ为直角三角形；②如图2，当点Q1关于x轴对称时，△OPQ1为直角三角形，此时∠BOQ1=150°，弧BQ1=π，T=5；③当点Q2（0，﹣1）或Q3（0，1）时，∠POQ2=∠POQ3=90°，此时t=6或t=12即当t=1，t=5，t=6或t=12时，△OPQ为直角三角形；（3）如图3，当t=6或t=12时，直线PQ与⊙O相交，设交点为N，作OM⊥PQ，根据等面积法可知：PQ•OM=OQ•OP，PQ=，OM=，QM=，13\n弦长QN=2QM=CM．点评：本题考查了弧长的计算，三角形面积公式，切线的性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，主要考查学生的计算能力，用了分类讨论思想． 13
