2022年浙江省杭州市萧山区中考数学模拟试卷 一.仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填涂在答题纸上，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．（3分）（2022•聊城）PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A．0.25×10﹣5B．0.25×10﹣6C．2.5×10﹣5D．2.5×10﹣6考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.0000025=2.5×10﹣6；故选：D．点评：本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 2．（3分）（2022•萧山区模拟）数据5、6、7、8、9，这组数的平均数是（ ） A．6B．7C．8D．9考点：算术平均数．分析：根据平均数公式求解即可，即用所有数据的和除以5即可．解答：解：5、6、7、8、9，这组数的平均数为：（5+6+7+8+9）=7，．故选：B．点评：本题考查了算术平均数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握平均数的求解公式． 3．（3分）（2022•温州模拟）如图，数轴的单位长度为1，如果R，T表示的数互为相反数，那么图中的4个点中，哪一个点表示的数的绝对值最大（ ） A．PB．RC．QD．T考点：绝对值；数轴．分析：根据相反数的定义确定出RT的中点为原点，然后根据绝对值的定义解答即可．解答：解：如图，∵R，T表示的数互为相反数，∴线段RT的中点O为原点，∴点P的绝对值最大．故选A．点评：本题考查了绝对值的定义，相反数的定义，根据相反数确定出原点的位置是解题的关键． 4．（3分）（2022•萧山区模拟）的值等于（ ）15\n A．±（3.1﹣）B．3.1±C．3.1﹣D．﹣3.1考点：二次根式的性质与化简；估算无理数的大小．分析：根据绝对值的性质=|a|，然后利用绝对值的性质，即可进行化简．解答：解：∵＞3.1，∴3.1﹣＜0，∴=﹣3.1，故选D．点评：本题考查了二次根式的化简，正确理解=|a|是关键． 5．（3分）（2022•安顺）不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A．B．C．D．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．专题：压轴题．分析：本题应该先对不等式组进行化简，然后在数轴上分别表示出x的取值范围．解答：解：由（1）得，x＞1，由（2）得，x≥2，故原不等式的解集为：x≥2，在数轴上可表示为：故选A．点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．要注意x是否取得到，若取得到则x在该点是实心的．反之x在该点是空心的． 6．（3分）（2022•萧山区模拟）如图，△ABC中，E、F分别是AB，AC的中点，若△AEF的面积为1，则四边形EBCF的面积为（ ） A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．15\n分析：根据三角形的中位线得出EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，得出比例式，求出△ABC的面积，即可得出答案．解答：解：∵E、F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴===，∵△AEF的面积为1，∴△ABC的面积是4，∴四边形EBCF的面积是4﹣1=3，故选C．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线定理的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方． 7．（3分）（2022•萧山区模拟）从下列4个函数：①y=3x﹣2；②；③；④y=﹣x2（x＜0）中任取一个，函数值y随自变量x的增大而增大的概率是（ ） A．B．C．考点：概率公式；一次函数的性质；反比例函数的性质；二次函数的性质．分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题共有6个字母，满足条件的字母有3个，则可得到所求的结果．解答：解：①y=3x﹣2；∵k=3＞0，∴y随x的增大而增大，②；∵k=﹣7＜0，∴每个象限内，y随x的增大而增大，③；∵k=5＞0，∴每个象限内，y随x的增大而减小，④y=﹣x2（x＜0），∵a=﹣1＜0，∴x＜0时，y随x的增大而增大，∴函数值y随自变量x的增大而增大的有3种情况，故函数值y随自变量x的增大而增大的概率是：．故选：C．点评：此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 15\n8．（3分）（2022•萧山区模拟）如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，∠BAO的平分线所在的直线AM的解析式是（ ） A．B．C．D．考点：一次函数综合题．专题：计算题．分析：对于已知直线，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出A与B的坐标，在x轴上取一点B′，使AB=AB′，连接MB′，由AM为∠BAO的平分线，得到∠BAM=∠B′AM，利用SAS得出两三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到BM=B′M，设BM=B′M=x，可得出OM=8﹣x，在Rt△B′OM中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出M坐标，设直线AM解析式为y=kx+b，将A与M坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AM解析式．解答：解：对于直线y=﹣x+8，令x=0，求出y=8；令y=0求出x=6，∴A（6，0），B（0，8），即OA=6，OB=8，根据勾股定理得：AB=10，在x轴上取一点B′，使AB=AB′，连接MB′，∵AM为∠BAO的平分线，∴∠BAM=∠B′AM，∵在△ABM和△AB′M中，，∴△ABM≌△AB′M（SAS），∴BM=B′M，设BM=B′M=x，则OM=OB﹣BM=8﹣x，在Rt△B′OM中，B′O=AB′﹣OA=10﹣6=4，根据勾股定理得：x2=42+（8﹣x）2，解得：x=5，∴OM=3，即M（0，3），设直线AM解析式为y=kx+b，将A与M坐标代入得：，解得：，15\n则直线AM解析式为y=﹣x+3．故选B．点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 9．（3分）（2022•萧山区模拟）如图，⊙O的半径为，BD是⊙O的切线，D为切点，过圆上一点C作BD的垂线，垂足为B，BC=3，点A是优弧CD的中点，则sin∠A的值是（ ） A．B．C．D．考点：切线的性质．分析：连接OC、OD，过C做CE⊥OD于点E，得出四边形BCED为矩形，求出OE，求出cos∠COE==，得出cosA=，根据sin2A+cos2A=1求出即可．解答：解：连接OC、OD，过C作CE⊥OD于E，∵BD切⊙O于D，∴BD⊥OD，∵BC⊥BD，∴∠B=∠BDE=∠CED=90°，∴四边形CEDB是矩形，∴BC=DE=3，∵OD=，15\n∴OE=OD﹣DE=﹣3=，∴cos∠COE===，∵∠COD为弧CD对的圆心角，∠A为弧CD对的圆周角，∴∠COD=2∠A，∴cosA=，∵sin2A+cos2A=1，∴sinA=，故选C．点评：本题考查了矩形的性质和判定，切线的性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理等知识点的应用，关键是求出cos∠COE的值和得出∠COD=2∠A． 10．（3分）（2022•萧山区模拟）二次函数与的图象的一个交点为A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C（点B在点C的左侧）．则下列结论：（1）无论x取何值，y2的值总是正数；（2）当x=0时，y2﹣y1=4；（3）当x≥﹣2时，y1、y2都随x的增大而增大；（4）2AB=3AC；其中正确的是（ ） A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）（4）D．（1）（4）考点：二次函数的性质．分析：把y2配成顶点式，根据二次函数的最值问题对①进行判断；把A点坐标代入y1，求出a确定y1的关系式，然后把x=0分别代入两个函数解析式中求出对应的函数值，再计算它们的差，则可对②进行判断；根据二次函数的增减性对③进行判断；根据抛物线的对称性确定B点和C点坐标，则可计算出AB与AC，然后对④进行判断．解答：解：y2=（x﹣3）2+，则抛物线的顶点坐标为（3，），而a=＞0，抛物线开口向上，则函数的最小值为，所以①正确；把A（1，3）代入得9a﹣3=3，解得a=，则y1=（x+2）2﹣3，当x=0，y1=﹣，y2=，则y2﹣y1=，所以②错误；当x≥﹣2时，y1随x的增大而增大；当x≥3时，y2随x的增大而增大，所以当x≥3时，y1、y2都随x的增大而增大，所以③错误；因为y1=（x+2）2﹣3的对称轴为直线x=﹣2，所以B点坐标为（﹣5，3）；因为y2=（x﹣3）2+的对称轴为直线x=3，所以C点坐标为（5，3）；则AB=6，AC=4，所以2AB=3AC，所以④正确．故选D．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣b2a；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac15\n＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点． 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，准确完整地填写答案.11．（4分）（2022•牡丹江）函数y=的自变量x取值范围是 x≤3 ．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：3﹣x≥0，解得x的范围．解答：解：根据题意得：3﹣x≥0，解得：x≤3．点评：本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 12．（4分）（2022•萧山区模拟）正十边形的每个外角都等于 36 度．考点：多边形内角与外角．专题：常规题型．分析：直接用360°除以10即可求出外角的度数．解答：解：360°÷10=36°．故答案为：36．点评：本题主要考查了多边形的外角和等于360°，比较简单． 13．（4分）（2022•萧山区模拟）如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 3 cm．考点：圆锥的计算．分析：因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，则留下的扇形的弧长==12π，所以圆锥的底面半径r==6cm，所以圆锥的高===3cm．解答：解：∵从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，∴留下的扇形圆心角为：360°×=240°，15\n∴留下的扇形的弧长==12π，根据底面圆的周长等于扇形弧长，∴圆锥的底面半径r==6cm，所以圆锥的高===3cm．故答案为：3．点评：此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解此类题目要根据所构成的直角三角形的勾股定理作为等量关系求解． 14．（4分）（2022•萧山区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC：∠ABC=3：5，将△ABC绕点C旋转至△CDE，使点E、C、A在一条直线上，此时，点B恰好在△CDE的DE边上，则∠BCD等于 20° ．考点：旋转的性质．分析：设∠BAC=3x，∠ABC=5x，根据旋转的性质可得BC=CE，∠E=∠ABC，再根据等边对等角的性质可得∠E=∠CBE，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BCE=∠BAC+∠ABC，然后在△BCE中，利用三角形的内角和定理列式求出x，再根据∠BCD=∠DCE﹣∠BCE，代入数据进行计算即可得解．解答：解：∵∠BAC：∠ABC=3：5，∴设∠BAC=3x，∠ABC=5x，∵△ABC绕点C旋转至△CDE，∴BC=CE，∠E=∠ABC=5x，∴∠E=∠CBE=5x，在△ABC中，根据外角性质，∠BCE=∠BAC+∠ABC=3x+5x=8x，在△BCE中，∠E+∠CEB+∠BCE=5x+5x+8x=180°，解得x=10°，∴∠BAC=3x=30°，∠ABC=5x=50°，BCE=8x=80°，∴∠ACB=∠DCE=180°﹣30°﹣50°=100°，∠BCD=∠DCE﹣∠BCE=100°﹣80°=20°．故答案为：20°．点评：本题考查了旋转的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，等边对等角的性质，把角度转化到△BCE中，利用三角形的内角和定理列出方程是解题的关键． 15．（4分）（2022•萧山区模拟）已知：实数m满足：m2﹣5m﹣1=0，则代数式的值是 29 ．15\n考点：一元二次方程的解．分析：根据已知条件可以得到m2=5m+1，然后将其代入所求的代数式，通过化简即可求得所求代数式的值．解答：解：∵实数m满足：m2﹣5m﹣1=0，∴m2=5m+1，∴=3（5m+1）﹣10m+=5m+3+====29．故答案是：29．点评：本题考查了一元二次方程的解．解答该题时，注意m2与（5m+1）间的相互转换． 16．（4分）（2022•萧山区模拟）如图，点P是双曲线（x＞0）上动点，在y轴上取点Q，使得以P、Q、O为顶点的三角形是含有30°角的直角三角形，则符合条件的点Q的坐标是 （0，2）、（0，2）、（0，）、（0，8） ．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：设P点坐标为（a，b），a＞0，讨论：（1）若∠OQP=90°，①当∠POQ=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系可得b=a，而点P在反比例函数图象上，则=b，得到=a，可解得a=2，则b=2，于是可确定Q点坐标；②当∠OPQ=30°，利用同样方法可求Q点坐标；若∠OPQ=90°，作PA⊥y轴于A点，①当∠POQ=30°，根据（1）可得到P点坐标为（2，2），再计算AQ的长，即可得到Q点坐标；②当∠PQO=30°，计算方法与②一样．解答：解：设P点坐标为（a，b），a＞0，（1）若∠OQP=90°，①当∠POQ=30°，则b=a，∵=b，∴=a，解得a=2，则b=2，∴Q点坐标为（0，2），②当∠OPQ=30°，则a=b，∵=b，∴=，解得a=2，则b=2，∴Q点坐标为（0，2）；15\n（2）若∠OPQ=90°，作PA⊥y轴于A点，如图，①当∠POQ=30°，则b=a，∵=b，∴=a，解得a=2，则b=2，∴P点坐标为（2，2），∵∠QPA=30°，∴AQ=AP=，∴OQ=2+=，∴Q点坐标为（0，）；②当∠PQO=30°，则a=b，∵=b，∴=，解得a=2，则b=2，∴P点坐标为（2，2）；∵∠PQA=30°，∴AQ=AP=6，∴OQ=6+2=8，∴Q点的坐标为（0，8）．∴符合条件的点Q的坐标为（0，2）、（0，2）、（0，）、（0，8）．故答案为（0，2）、（0，2）、（0，）、（0，8）．点评：本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数y=图象上的点满足其解析式；利用含30°的直角三角形三边的关系可简化计算；运用分类讨论的思想使解题更加完整． 三、全面答一答（本题有8个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.17．（6分）（2022•萧山区模拟）（1）计算：（2）解方程：（x+3）2=（1﹣2x）2．考点：解一元二次方程-因式分解法；分式的加减法．分析：（1）先将整式﹣3+x通分，使分母为x+3，再根据同分母分式的加减法法则计算即可；15\n（2）首先移项，把方程的右边化成0，左边分解因式，即可化成两个一元一次方程，即可求解．解答：解：（1）原式=+=；（2）（x+3）2﹣（1﹣2x）2=0，（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x]=0，（﹣x+4）（3x+2）=0，﹣x+4=0或3x+2=0，∴x1=，4，x2=﹣．点评：本题考查了分式的加减法及运用因式分解法解一元二次方程，比较简单．进行分式的加减运算时，牢记法则是关键；解一元二次方程时，正确理解因式分解法的基本思想是化成一元一次方程是关键． 18．（8分）（2022•萧山区模拟）杭州湾跨海大桥两主塔与它们之间的斜拉索构成美轮美奂的对称造型，现测得跨海大桥主塔AB、CD之间的距离BD为448米，主塔AB的一根斜拉索AF的仰角为∠AFB=28.2°，且EF的长度为36米，求该桥的主塔AB高为多少米．（精确到米，sin28.2°≈0.473，cos28.2°≈0.881，tan28.2°≈0.536）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：根据BE=FD=，即可求得BE的长，则BF即可求得，则在直角△ABF中，已知一个锐角和一直角边，利用正切函数即可求得AB的长．解答：解：∵BE=FD===206米，∴BF=BE+EF=206+36=242米，∵在直角△ABF中，tan∠AFB=，∴AB=BF•tan∠AFB=242×tan28.2°≈242×0.536=129.712≈130米．答：该桥的主塔AB高为130米．点评：本题考查了仰角的概念，以及解直角三角形的应用，难度一般，正确理解正切函数的定义，求得BF的长是解题关键． 19．（8分）（2022•萧山区模拟）某校中午学生用餐比较拥挤，为建议学校分年级错时用餐，李老师带领数学学习小组在某天随机调查了部分学生，统计了他们从下课到就餐结束所用的时间，并绘制成统计表和如图所示的不完整统计时间分段/min频（人）数百分比10≤x＜15820%15≤x＜2014a20≤x＜251025%25≤x＜30b12.50%30≤x＜3537.50%15\n合计c100%根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）上表中a=，b=，c=，补全频数分布直方图；（2）在调查人数里，从下课到就餐结束所用时间不少于20min的共有 18 人；（3）此次调查中，中位数所在的时间段是 15≤x＜20 min．考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；中位数．分析：（1）根据10≤x＜15的有8人，占20%，据此即可求得总人数，然后根据百分比的定义即可求得a，b的值；（2）求出最后三组的人数的和即可；（3）确定第20和第21名所在的组，即可．解答：解：（1）调查的总人数是：c=8÷20%=40（人），则a=×100%=35%，b=40×12.5%=5；（2）所用时间不少于20min的共有：10+5+3=18（人）；（3）15≤x＜20．点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 20．（10分）（2022•萧山区模拟）如图，l1、l2、l3是一组距离不想等的平行线，作等边△ABC，使A、B在l1上，C在l3上，BC交l2于点M，△ACM的外接圆交l3于点N，试判断△AMN的形状并证明．考点：圆周角定理；等边三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：先根据△ABC是等边三角形得出∠BAC=∠ACB=60°，再由l1∥l3可知∠BAC=∠ACN=60°，根据A、M、C、N四点共圆，由圆周角定理可知∠ACN=∠AMN=60°，∠ACB=∠ANM=60°，故可得出结论．15\n解答：△AMN是等边三角形．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∵l1∥l3，∴∠BAC=∠ACN=60°，∵A、M、C、N四点共圆，∴∠ACN=∠AMN=60°，∠ACB=∠ANM=60°，∴△AMN是等边三角形．点评：本题考查的是圆周角定理及等边三角形的判定与性质，熟知圆周角定理是解答此题的关键． 21．（10分）（2022•萧山区模拟）如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分别与AD、AE相交于点F、G，BF≠CG．（1）图中有那几对不全等的相似三角形，请把他们表示出来．（2）根据甲、乙两位同学对图形的探索，试探究BF、FG、GC之间的关系，并证明．甲同学：把△ABF、△AGC分别沿AD、AE折叠，发现：B、C两点重合．乙同学：把△ABF绕点A旋转，使AB、AC重合，发现：构造出了直角．考点：几何变换综合题．分析：（1）直接根据相似三角形判定定理找出所有不全等的相似三角形的个数；（2）方法（一）把△ABF、△AGC分别沿AD、AE折叠，利用三角形全等的知识证明∠FPG=∠B+∠C=90°，进而可以证明BF、FG、GC之间的关系；方法（二）标出∠1、∠2、∠3、∠4，把△ABF旋转至△ACP，得△ABF≌△ACP，再利用三角形全等的知识证明∠ACP+∠ACB=90°，进而可以证明BF、FG、GC之间的关系；解答：解：（1）共有3对，△GAF∽△GAB；△FAC∽△FGA；△ABG∽△FAC；（2）证明方法（一）如图1，把△ABF、△AGC分别沿AD、AE折叠，得△ABF≌△APF，△ACG≌△APG，B、C两点重合，BF=FP，CG=GP，∠FPG=∠B+∠C=90°，在RT△PFG中，GF2=BF2+GC2；证明方法（二）把△ABF旋转至△ACP，得△ABF≌△ACP，∠1=∠4，AF=AP，CP=BF，∠ACP=∠B，∠1+∠3=45°，∠4+∠3=45°，∠2=∠4+∠3=45°，AG=AG，△AFG≌△AGP，FG=GP，∠ACP+∠ACB=90°，15\n在RT△PGG中，GF2=CG2+CP2，GF2=BF2+GC2．点评：本题主要考查几何变换综合题，解答本题的关键是熟练掌握旋转知识，全等三角形的证明，此类题也是中考经常涉及的考题类型，此题难度不大． 22．（12分）（2022•湖州）我县农村已经实行了农民新型合作医疗保险制度，享受医保的农民可在规定的医院就医并按规定标准报销部分医疗费用，下表是医疗费用报销的标准：医疗费用范围门诊住院0～5000元5001～20000元20000元以上每年报销比例标准30%30%40%50%（说明：住院医疗费用的报销分段计算，如：某人住院医疗费用共30000元，则5000元按30%报销、15000元按40%报销、余下的10000元按50%报销，题中涉及到的医疗费均指允许报销的医疗费）（1）某农民在2022年门诊看病报销医疗费180元，则他在这一年中门诊医疗自付费用 元；（2）设某农民一年中住院的实际医疗费用为x元（5000≤x≤20000），按标准报销的金额为y元，试求出y与x的函数关系式；（3）若某农民一年内本人自负住院费17000元（自负医疗费=实际医疗费﹣按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费用共多少？考点：一元一次不等式的应用；一次函数的应用．专题：图表型．分析：本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．解答：解：（1）因为门诊报销标准为30%，当门诊看病报销医疗费180元时，则这一年中门诊医疗自付费用180÷30%=600元；这一年中门诊医疗自付费用为600×70%=420元．（2）设某农民一年中住院的实际医疗费用为x元．由于5001≤x≤20000，所以5000元按标准30%报销，余下的部分按标准40%报销；因此y=5000×30%+（x﹣5000）×40%=0.4x﹣500（5001≤x≤20000）．（3）假设该农民当年实际医疗费用不超过20000元，则根据函数y=0.4x﹣500解得按标准报销的金额为7500，又因为自付医疗费=实际医疗费﹣按标准报销的金额=20000﹣7500=12500＜17000，所以该农民当年实际医疗费用超过20000元．设该农民当年实际医疗费用为z元．15\n则17000=z﹣[5000×30%+15000×40%+（z﹣20000）×50%]解得：z=29000．答：该农民当年实际医疗费用共29000元．点评：本题是贴近社会生活的应用题，赋予了生活气息，使学生真切地感受到“数学来源于生活”，体验到数学的“有用性”．这样设计体现了《新课程标准》的“问题情景﹣建立模型﹣解释、应用和拓展”的数学学习模式． 23．（12分）（2022•萧山区模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴的交点为点D，顶点为C，（1）写出该抛物线的对称轴方程；（2）当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，求出a的取值范围；（3）作直线CD交x轴于点E，问：在y轴上是否存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），即可求出抛物线的对称轴；（2）分别求出当∠ACB=60°和∠ACB=90°时a的值，进而求出使60°≤∠ACB≤90°时，求出a的取值范围；（3）分别写出C点和D点的坐标以及E点的坐标，再进行分类讨论证明△EHF≌△FKC，列出a的方程，解出a的值．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），∴抛物线的对称轴x==1；（2）当∠ACB=60°时，△ABC是等边三角形，即点C坐标为（1，﹣2），设y=a（x+1）（x﹣3），把C点坐标（1，﹣2）代入，解得a=；当∠ACB=90°时，△ABC是等腰直角三角形，即点C坐标为（1，﹣2），设y=a（x+1）（x﹣3），把C点坐标（1，﹣2）代入，解得a=，即当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，≤a≤；（3）由于C（1，﹣4a），D（0，﹣3a），设直线CD的解析式为y=kx+b，即，解得k=﹣a，b=﹣3a，15\n直线CD的解析式为y=﹣a（x+3），故求出E点坐标为（﹣3，0）；分两类情况进行讨论；①如图1，△EHF≌△FKC，即HF=CK=3，4a+1=3，解得a=；②如图2，△EHF≌△FKC，即EK=HF=3；即4a=3，解得a=；同理，当点F位于y轴负半轴上，a=综上可知在y轴上存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形，且a=、a=或a=点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是能够利用数形结合进行解题，此题的难度较大，特别是第三问需要进行分类讨论解决问题． 15
