2022年湖北省襄阳市襄城区中考适应性考试数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）（2022•陕西）﹣的倒数是（ ） A．B．﹣2C．2D．||考点：倒数．分析：倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．据此作答．解答：解：的倒数是﹣2．故选B．点评：此题主要考查了倒数的定义．注意一个数与它的倒数符号相同． 2．（3分）（2022•襄城区模拟）李明的作业本上有四道题：（1）a2•a3=a5，（2）（2b2）3=8b6，（3）（x+1）2=x2+1，（4）4a6÷（﹣2a3）=﹣2a3，如果你是他的数学老师，请找出他做错的题是（ ） A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．分析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；完全平方公式；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．解答：解：（1）正确；（2）正确；（3）（x+1）2=x2+2x+1，故错误；（4）正确．故选C．点评：本题考查同底数幂的除法，完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题． 3．（3分）（2022•襄城区模拟）函数y=中的自变量的取值范围为（ ） A．x＞﹣2B．x＞2且x≠﹣1C．x≥2D．x≥2且x≠﹣1考点：函数自变量的取值范围．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．解答：解：根据题意得：，解得：x≥2．故选C．点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；17\n（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 4．（3分）（2022•襄城区模拟）如图是某几何体的三种视图，则该几何体是（ ） A．正方体B．圆锥体C．圆柱体D．球体考点：由三视图判断几何体．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解答：解：由于主视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由左视图可知此几何体为横放的圆柱．故选C．点评：此题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 5．（3分）（2022•襄城区模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．解答：解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；B、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；D、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选D．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴． 6．（3分）（2022•兰州）下列说法正确的是（ ） A．一个游戏的中奖概率是，则做10次这样的游戏一定会中奖 B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C．一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8 D．若甲组数据的方差S2甲=0.01，乙组数据的方差S2乙=0.1，则乙组数据比甲组数据稳定考点：中位数；全面调查与抽样调查；众数；方差；概率的意义．专题：压轴题．分析：根据中位数、众数、方差的概念对选项一一分析，选择正确答案即可．17\n解答：解：A、概率即是在多次重复试验中，比较接近的一个数，所以一个游戏的中奖概率是，则做10次这样的游戏不一定会中奖，故选项错误；B、容量太大，只能抽样调查，故选项错误；C、数据8出现3次，次数最多，所以8是众数；数据从小到大排列为6，7，8，8，8，9，10，所以中位数是8，故选项正确；D、方差越大，说明这组数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，故选项错误．故选C．点评：随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；不易采集到的数据的调查方式应采用抽样调查的方式；一组数据中出现次数最多的数为众数；一组数据按顺序排列后，中间的那两个数的平均数或中间的那个数叫做中位数；一组数据的方差越小，稳定性越好． 7．（3分）（2022•襄城区模拟）北京2022奥运的国家体育场“鸟巢”建筑面积达25.8万平方米，用科学记数法表示应为（ ）平方米． A．0.258×106B．2.58×105C．25.8×104D．258×103考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：25.8万=258000=2.58×105，故选：B．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 8．（3分）（2022•乐山）在中央电视台2套“开心辞典”节目中，有一期的某道题目是：如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一个香蕉的重量的（ ） A．倍B．倍C．2倍D．3倍考点：三元一次方程组的应用．分析：设一个苹果的重量为x、一个香蕉的重量为y、一个砝码的重量为z，先用含z的代数式表示x，y，即解关于x，y的方程组，再求即可．解答：解：设一个苹果的重量为x、一个香蕉的重量为y、一个砝码的重量为z，由题意得，解得x=2z，y=z，故==．故选B．点评：本题先通过解三元一次方程组，求得用z表示的x，y的值后而求解．17\n 9．（3分）（2022•襄城区模拟）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A．x2+2x﹣1=0B．x2+2x+2=0C．D．﹣x2+x+2=0考点：根的判别式．专题：计算题．分析：分别求得每个选项中的根的判别式的值，找到b2﹣4ac＜0的即为本题的正确的选项．解答：解：A、x2+2x﹣1=0∵△=b2﹣4ac=4+4＞0，∴A中方程有两个不相等的实数根；B、x2+2x+2=0∵△=b2﹣4ac=8﹣8=0，∴B中方程有两个相等的实数根；C、∵△=b2﹣4ac=2﹣4＜0，∴A中方程没有实数根；D、∵△=b2﹣4ac=1+8＞0，∴D中方程有两个不相等的实数根；故选C．点评：本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况． 10．（3分）（2022•眉山）如图，以点O为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦长AB的取值范围是（ ） A．8≤AB≤10B．AB≥8C．8＜AB≤10D．8＜AB＜10考点：直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．分析：要求弦长AB的取值范围，则只需求得弦的最小值和弦的最大值．根据直线和圆相切时，运用垂径定理和勾股定理进行求解，求得弦的最小值；根据直径是圆中最长的弦，求得弦长的最大值．解答：解：当AB与小圆相切时，OC⊥AB，则AB=2AC=2=2×4=8；当AB过圆心时最长即为大圆的直径10．则弦长AB的取值范围是8＜AB≤10．故选C．点评：主要考查了直线与圆的位置关系，以及勾股定理和垂径定理的运用．要掌握同心圆的性质，并会利用垂径定理以及勾股定理解题．17\n 11．（3分）（2022•襄城区模拟）如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的底面半径为（ ） A．2cmB．4cmC．1cmD．8cm考点：圆锥的计算．分析：首先利用扇形的弧长公式即可求得扇形，然后根据圆的周长公式即可求解．解答：解：扇形的弧长是=4πcm，设底面半径是r，则2πr=4π，解得：r=2cm．故选A．点评：本题考查圆锥的计算，理解圆锥的展开图中扇形的弧长等于圆锥的底面周长是关键． 12．（3分）（2022•河北）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（ ） A．B．C．D．考点：一次函数的图象；根据实际问题列一次函数关系式．专题：压轴题．分析：先求出一次函数的关系式，再根据函数图象与坐标轴的交点及函数图象的性质解答即可．解答：解：由题意知，函数关系为一次函数y=﹣2x+4，由k=﹣2＜0可知，y随x的增大而减小，且当x=0时，y=4，当y=0时，x=2．故选D．点评：本题考查学生对计算程序及函数性质的理解．根据计算程序可知此计算程序所反映的函数关系为一次函数y=﹣2x+4，然后根据一次函数的图象的性质求解． 17\n二、填空题（每小题3分，共15分）13．（3分）（2022•襄城区模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°．若BD∥AE，∠DBC=20°，则∠CAE的度数是 70° ．考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：过点C作CF∥BD，根据两直线平行，内错角相等即可求解．解答：解：过点C作CF∥BD，则CF∥BD∥AE．∴∠BCF=∠DBC=20°，∵∠C=90°，∴∠FCA=90°﹣20°=70°．∵CF∥AE，∴∠CAE=∠FCA=70°．故答案为：70°．点评：本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等．正确作出辅助线是解题的关键． 14．（3分）（2022•襄城区模拟）已知：一等腰三角形的两边长x、y满足方程组，则此等腰三角形的周长为 5 ．考点：等腰三角形的性质；解二元一次方程组．专题：计算题；方程思想．分析：先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案．解答：解：解方程组得所以，等腰三角形的两边长为2，1． 若腰长为1，底边长为2，由1+1=2知，这样的三角形不存在．若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5．所以这个等腰三角形的周长为5．故答案为：5．点评：本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题． 15．（3分）（2022•襄城区模拟）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则AF的长为 6 ．17\n考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，易证得△ABE是等腰三角形，即可求得BE的长，易证得△FEC∽△FAD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AF的长．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=9，∴∠DAE=∠AEB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB=6，∴EC=BC﹣BE=3，∵△FEC∽△FAD，∴EC：AD=EF：AF=3：9=1：3，∴AE：AF=2：3，∵BG⊥AE，在Rt△ABG中，AG==2，∴AE=2AG=4，∴AF=×4=6．故答案为：6．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 16．（3分）（2022•襄城区模拟）某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是 ．考点：列表法与树状图法．分析：此题可以借助于列表法求解，一共有20种情况记为m，其中选出的恰为一男一女的有12种情况记为n，根据概率公式可知选出的恰为一男一女的概率是=．解答：解：列表得：男1，女2男2，女2男3，女2女1，女2男1，女1男2，女1男3，女1女2，女1男1，男3男2，男3女1，男3女2，男3男1，男2男3，男2女1，男2女2，男2男2，男3男3，男1女1，男1女2，男1∴一共有20种情况，选出的恰为一男一女的有12种情况；17\n∴选出的恰为一男一女的概率是=．点评：列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 17．（3分）（2022•宁波）如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 （，2），（﹣，2） ．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；动点型．分析：当⊙P与x轴相切时，P点的纵坐标为2，可将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点坐标．解答：解：当⊙P与x轴相切时，P点纵坐标为±2；当y=2时，x2﹣1=2，解得x=±；当y=﹣2时，x2﹣1=﹣2，x无解；故P点坐标为（，2）或（﹣，2）．点评：能够判断出⊙P与x轴相切时P点的纵坐标，是解答此题的关键． 三、解答题（本题有9个小题，共69分）18．（6分）（2022•襄城区模拟）先化简：；若结果等于，求出相应x的值．考点：分式的混合运算；解分式方程．专题：计算题．分析：首先将所给的式子化简，然后根据代数式的结果列出关于x的方程，求出x的值．解答：解：原式==；由=，得：x2=2，解得x=±．点评：本题考查了实数的运算及分式的化简计算．在分式化简过程中，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除． 17\n19．（6分）（2022•莱芜）某中学对全校学生60秒跳绳的次数进行了统计，全校平均次数是100次．某班体育委员统计了全班50名学生60秒跳绳的成绩，列出的频数分布直方图如下（每个分组包括左端点，不包括右端点）：求：（1）该班60秒跳绳的平均次数至少是多少？是否超过全校平均次数？（2）该班一个学生说：“我的跳绳成绩在我班是中位数”，请你给出该生跳绳成绩的所在范围；（3）从该班中任选一人，其跳绳次数达到或超过校平均次数的概率是多少？考点：频数（率）分布直方图；算术平均数；中位数；概率公式．专题：图表型．分析：（1）观察直方图，根据平均数公式计算平均次数后，比较得答案；（2）根据中位数意义，确定中位数的范围；（3）根据频率的计算方法，可得跳绳成绩达到或超过校平均次数的概率为0.66．解答：解：（1）该班60秒跳绳的平均次数至少是：=100.8，∵100.8＞100，∴一定超过全校平均次数；（2）这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，由4+13+19=36，所以中位数一定在100～120范围内；（3）该班60秒跳绳成绩大于或等于100次的有：19+7+5+2=33（人），∴=0.66，∴从该班任选一人，跳绳成绩达到或超过校平均次数的概率为0.66．点评：利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．一组数据按顺序排列后，中间的那两个数的平均数或中间的那个数叫做中位数． 20．（6分）（2022•湖州）为了支援青海省玉树地区人民抗震救灾，四川省某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划用10天完成．（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷 2000 顶；（2）生产2天后，公司又从其他部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？考点：分式方程的应用．专题：应用题．17\n分析：（1）直接利用20000÷10即可得到平均每天应生产帐篷多少顶；（2）设该公司原计划安排x名工人生产帐篷，那么原计划每名工人每天生产帐篷顶，后来每名工人每天生产帐篷×（1+25%）顶，然后根据已知条件即可列出方程10﹣2﹣2=，解方程即可求出该公司原计划安排多少名工人生产帐篷．解答：解：（1）该公司平均每天应生产帐篷20000÷10=2000顶；（2）设该公司原计划安排x名工人生产帐篷，依题意得，（10﹣2﹣2）××1.25×（x+50）=20000﹣2×2000，即16000x=15000（x+50），1000x=750000，解得x=750，经检验x=750是方程的解，答：该公司原计划安排750名工人生产帐篷．点评：找到合适的等量关系是解决问题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 21．（6分）（2022•襄城区模拟）如图所示，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：应用题．分析：在Rt△ABC中求出AC，在Rt△ADC中求出CD，求出BD的长度后可得出剩余空地的长度，继而可作出判断．解答：解：∵在Rt△ABC中，sin45°=，∴AC=AB•sin45°=m，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，∴BC=AC=m，∵在Rt△ADC中，tan30°=，17\n∴CD==m，∴BD=CD﹣BC=（﹣）≈2.5875≈2.29m，∵6﹣2.59=3.41（米）＞3米，∴这样改造是可行的．点评：本题考查了解直角三角形的应用，要求同学们能利用三角函数求出表示出线段的长度，难度一般． 22．（7分）（2022•襄城区模拟）如图，△ABC是边长为5的等边三角形，将△ABC绕点C顺时针旋转120°，得到△EDC，连接BD，交AC于F．（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长．考点：旋转的性质；等边三角形的性质；勾股定理；菱形的判定与性质．分析：（1）AC与BD互相垂直平分．如图，连接AD构建菱形ABCD，则菱形的对角线互相垂直平分；（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长．解答：解：（1）AC与BD互相垂直平分．证明：连接AD，由题意知，△ABC≌△EDC，∠ACE=120°，又∵△ABC是等边三角形，∴AB=DC=BC=DE=5，∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠E=60°，∴∠ACE+∠ACB=120°+60°=180°，∴B、C、E三点在一条直线上．∴AB∥DC，∴四边形ABCD为菱形，∴AC与BD互相垂直平分；（2）由（1）知，四边形ABCD为菱形，∴∠DBE=∠ABC=30°，∵∠DBE+∠BDE+∠E=180°，∴∠BDE=90°．∵B、C、E三点在一条直线上，∴BE=10，∴BD===5．17\n点评：本题考查的是等边三角形的性质及旋转的性质，熟知图形旋转后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键． 23．（7分）（2022•襄城区模拟）如图，反比例函数（k＞0）与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA=2，OC=4，连接OD、OE、DE．记△OAD、△OCE的面积分别为S1、S2．（1）①点B坐标为 （4，2） ；②S1 = S2（填“＞”、“＜”、“=”）；（2）当点D为线段AB的中点时，求k的值及点E坐标；（3）当S1+S2=2时，试判断△ODE的形状，并求△ODE的面积．考点：反比例函数综合题．分析：（1）根据OA=2，OC=4可直接得到点B坐标；②根据反比例函k的意义可知S1、S2都等于|k|，即可得到答案；（2）当点D为AB中点时，AD=2，得出D的坐标是（2，2），求出解析式即可；（3）根据当S1+S2=2时，由（1）得出S1=S2=1，进而得出BD，BE的长，进而得出DO2+DE2=OE2，△ODE是直角三角形，进而得出三角形面积．解答：解：（1）①根据长方形OABC中，OA=2，OC=4，则点B坐标为（4，2），②∵反比例函数（k＞0）与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，利用△OAD、△OCE的面积分别为S1=AD•AO，S2=•CO•EC，xy=k，得出，S1=AD•AO=k，S2=•CO•EC=k，∴S1=S2；（2）当点D为AB中点时，AD=2，∴D的坐标是（2，2），把D（2，2）代入y=得：k=2×2=4，17\n∴y=．∵点B坐标为（4，2），∴E点横坐标为：4，∴4×y=4，∴y=1，∴E点坐标为：（4，1）；（3）当S1+S2=2时，∵S1=S2，∴S1=S2=1，∵S1=AD•AO=AD×2=1，∴AD=1，∵S2=•CO•EC=×4×EC=1，∴EC=，∵OA=2，OC=4，∴BD=4﹣1=3，BE=2﹣=，∴DO2=AO2+AD2=4+1=5，DE2=DB2+BE2=9+=，OE2=CO2+CE2=16+=，∴DO2+DE2=OE2，∴△ODE是直角三角形，∵DO2=5，∴DO=，∵DE2=，∴DE=，∴△ODE的面积为：×DO×DE=××=．点评：此题主要考查了反比函数的综合应用以及勾股定理的应用以及三角形面积求法，利用数形结合在一起，得出BD，EB长是分析解决问题的关键．17\n 24．（8分）（2022•襄城区模拟）为加强对学生的社会责任感和爱国主义的教育，某学校团组织在清明节节到来之际计划租用6辆客车送一批团员师生去烈士陵园扫墓．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．甲种客车乙种客车载客量（人/辆）4530租金（元/辆）280200（1）求出y（元）与x（辆）之间的函数关系式，指出自变量的取值范围；（2）若该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元，试问预支的租车费用是否可以结余？若有结余，最多可结余多少元？考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．分析：（1）租用甲种客车x辆，则乙种客车为6﹣x，则y=280x+（6﹣x）×200；（2）由题意可知：，又y=280x+（6﹣x）×200，求解可得．解答：解：（1）租用甲种客车x辆，则乙种客车为6﹣x，根据题意得：y=280x+（6﹣x）×200=80x+1200（0≤x≤6）；（2）由“该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元”得：，解不等式组得：4≤x≤5．∴预支的租车费用可以有结余．∵x取整数，∴x取4或5．∵k=80＞0，∴y随x的增大而增大．∴当x=4时，y的值最小．其最小值y=4×80+1200=1520元，∴最多可结余1650﹣1520=130元．点评：本题考查了一次函数和一元一次不等式组的应用：通过表格当中的信息是解题关键；根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组和依题意列出不等式组进行求解． 25．（11分）（2022•襄城区模拟）如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．17\n考点：切线的判定；平行四边形的判定．专题：几何综合题．分析：（1）要证DE是⊙O的切线，必须证ED⊥OD，即∠EDB+∠ODB=90°（2）要证AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点，又BD⊥AC，所以△ABC为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再利用此结论，过E作EH⊥AC于H，求出EH、AE，即可求得sin∠CAE的值．解答：（1）证明：连接O、D与B、D两点，∵△BDC是Rt△，且E为BC中点，∴∠EDB=∠EBD．（2分）又∵OD=OB且∠EBD+∠DBO=90°，∴∠EDB+∠ODB=90°．∴DE是⊙O的切线．（4分）（2）解：∵∠EDO=∠B=90°，若要四边形AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点，又∵BD⊥AC，∴△ABC为等腰直角三角形．∴∠CAB=45°．（6分）过E作EH⊥AC于H，设BC=2k，则EH=，（8分）∴sin∠CAE=．（10分）点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可． 26．（12分）（2022•襄城区模拟）矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、c两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线y=﹣x与BC边相交于D点．（1）若抛物线y=ax2﹣x经过点A，试确定此抛物线的表达式；（2）在（1）中的抛物线的对称轴上取一点E，求出EA+ED的最小值；17\n（3）设（1）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P，O，M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）由抛物线图象经过A点，将A坐标代入抛物线解析式求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）由抛物线与x轴的交点A与O关于对称轴对称，则OD与对称轴的交点即为EA+ED取最小值时E的位置，此时EA+ED的最小值为OD的长，由D的坐标即可求出OD的长；（3）抛物线对称轴与x轴的交点符号题意，理由为：由BC与AO平行，利用两直线平行内错角相等的一对角相等，再由一对直角相等可得出三角形OP1M与三角形OCD相似，求出此时P1的坐标；过O作OD的垂线，交抛物线的对称轴于点P2，此时由抛物线对称轴与y轴平行，得到一对内错角相等，再由一对直角相等得到三角形P2MO与三角形DOC相似，由相似三角形对应角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且OP1=OC=3，利用AAS得到三角形P1P2O与三角形OCD全等，由全等三角形对应边相等得到P1P2=CD=4，再由P2属于第一象限，即可求出此时P2的坐标，综上，得到满足题意的P的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2﹣x经过点A（6，0），∴将x=6，y=0代入得：0=36a﹣×6，即a=，则抛物线解析式为y=x2﹣x；（2）直线y=﹣x与BC边相交于点D，将y=﹣3代入得：x=4，即D（4，﹣3），∵点O与点A关于对称轴对称，且点E在对称轴上，∴EA=EO，∴EA+ED=ED+EO，则最小值为AD长为OD==5，则EA+ED的最小值为5；（3）抛物线的对称轴与x轴的交点P1符合条件，∵OA∥CB，∴∠P1OM=∠CDO，∵∠OP1M=∠DCO=90°，∴Rt△P1OM∽Rt△CDO，∵抛物线的对称轴为直线x=3，∴P1坐标为（3，0），17\n过O作OD的垂线，交抛物线的对称轴于点P2，∵对称轴平行于y轴，∴∠P2MO=∠DOC，∵∠P2OM=∠DCO=90°，∴Rt△P2MO∽Rt△DOC，∴P2也符合条件，∠OP2M=∠ODC，∴P1O=CO=3，∠P2P1O=∠DCO=90°，∴Rt△P2P1O≌Rt△DCO，∴P1P2=CD=4，∵点P2在第一象限，∴点P2的坐标为（3，4），∴符合条件的点P有两个，分别为P1（3，0），P2（3，4）．点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：平行线的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，对称的性质，待定系数法确定二次函数解析式，最后一问注意P点坐标要找全．17
