2022年湖北省黄冈市浠水县巴河中学中考数学模拟试卷一、选择题（A，B，C，D四个答案中，有且只有一个是正确的每小题3分，共24分）1．（3分）（2022•濉溪县二模）（﹣2）3的值为（ ） A．﹣6B．6C．﹣8D．8考点：有理数的乘方．专题：计算题．分析：根据有理数乘方的法则计算：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．解答：解：（﹣2）3=﹣8，故选C．点评：本题考查了有理数的乘方法则，解题时牢记法则是关键，此题比较简单，易于掌握． 2．（3分）（2022•郴州）下列运算，正确的是（ ） A．a3•a2=a5B．2a+3b=5abC．a6÷a2=a3D．a3+a2=a5考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．分析：根据同底数幂的乘法与除法、合并同类项的法则计算即可．解答：解：A、a3•a2=a5，正确；B、2a与3b不是同类项，不能合并，故选项错误；C、a6÷a2=a4，故选项错误；D、a3与a2，是相加不是相乘，不能运算，故选项错误．故选A．点评：本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法和除法，熟练掌握性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的一定不能合并． 3．（3分）（2022•鹤峰县一模）函数中自变量x的取值范围是（ ） A．x≤2B．x=3C．x＜2且x≠3D．x≤2且x≠3考点：函数自变量的取值范围．专题：压轴题；函数思想．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．解答：解：根据题意得：2﹣x≥0且x﹣3≠0，解得：x≤2且x≠3．故选A．点评：考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 4．（3分）（2022•岳阳）如图，是一个正五棱柱，作为该正五棱柱的三视图，下列四个选项中，错误的一个是（ ）17\n A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图．专题：数形结合．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解答：解：主视图：左视图：俯视图：故选C．点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 5．（3分）如图，直线l1∥l2被直线l3所截，∠1=∠2=35°，∠P=90°，则∠3=（ ）度． A．35B．55C．60D．70考点：平行线的性质．专题：探究型．分析：先根据平行线的性质求出∠CAB的度数，再由直角三角形的性质求出∠PAB的度数，故可得出结论．解答：解：∵直线l1∥l2被直线l3所截，∴∠CAB=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣35°﹣35°=110°，∵△ABP中，∠2=35°，∠P=90°，∴∠PAB=90°﹣35°=55°，∴∠3=∠CAB﹣∠PAB=110°﹣55°=55°．故选B．17\n点评：本题考查的是平行线的性质及直角三角形的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补． 6．（3分）（2022•黔南州）今年我省遭遇历史罕见的干旱，全省八十多个县（市）不同程度受灾，直接经济损失达2870000000元，这笔款额用科学记数法（保留2个有效数字）表示正确的是（ ） A．28.7×108B．2.87×109C．2.8×109D．2.9×109考点：科学记数法与有效数字．专题：应用题．分析：有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字，用科学记数法表示的数a×10n的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．解答：解：2870000000=2.87×109≈2.9×109．故选D．点评：此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法． 7．（3分）（2022•兰州）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y=的图象上．下列结论中正确的是（ ） A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1考点：反比例函数图象上点的坐标特征．专题：压轴题．分析：先判断出函数反比例函数y=的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特点进行判断即可．解答：解：∵k2≥0，∴﹣k2≤0，﹣k2﹣1＜0，∴反比例函数y=的图象在二、四象限，∵点（﹣1，y1）的横坐标为﹣1＜0，∴此点在第二象限，y1＞0；∵（2，y2），（3，y3）的横坐标3＞2＞0，∴两点均在第四象限y2＜0，y3＜0，∵在第四象限内y随x的增大而增大，∴0＞y3＞y2，∴y1＞y3＞y2．故选B．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．17\n 8．（3分）（2022•眉山模拟）函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=AP．其中所有正确结论的序号是（ ） A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：压轴题．分析：由于A、B是反比函数y=上的点，可得出S△OBD=S△OAC=，故①正确；当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．解答：解：∵A、B是反比函数y=上的点，∴S△OBD=S△OAC=，故①正确；当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；∵P是y=的图象上一动点，∴S矩形PDOC=4，∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确；连接OP，===4，∴AC=PC，PA=PC，∴=3，∴AC=AP；故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选C．17\n点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）（2022•高港区二模）的平方根是 ．考点：算术平方根；平方根．分析：首先算术平方根的定义化简，然后根据平方根的定义即可求得结果．解答：解：∵=2，2的平方根是，∴的平方根是．故答案为：．点评：此题主要考查了平方根算术平方根定义，解题时注意：本题求的是2的平方根，不是4的平方根． 10．（3分）（2022•黑河）抛物线y=x2﹣4x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 （3，0） ．考点：抛物线与x轴的交点．分析：把交点坐标代入抛物线解析式求m的值，再令y=0解一元二次方程求另一交点的横坐标．解答：解：把点（1，0）代入抛物线y=x2﹣4x+中，得m=6，所以，原方程为y=x2﹣4x+3，令y=0，解方程x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．点评：本题考查了点的坐标与抛物线解析式的关系，抛物线与x轴交点坐标的求法．本题也可以用根与系数关系直接求解． 11．（3分）（2022•锦江区模拟）若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值等于
4或﹣ ．考点：函数值．专题：计算题．分析：因为不知道x的取值范围，所以需要讨论，①x≤2，②x＞2，从而在两种情况下分别求出符合条件的x的值．解答：解：①当x≤2时，x2+2=8，解得：x=﹣；②当x＞2时，2x=8，17\n解得：x=4．故答案为：4或﹣．点评：本题考查函数值的知识，属于基础题，解答此类题目的关键是讨论x的取值范围，避免漏解． 12．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为6，sinB=，则线段AC的长是 4 ．考点：圆周角定理；解直角三角形．专题：探究型．分析：先求出圆的直径，连接CD，由圆周角定理可知，∠B=∠D，∠ACD=90°，再由sinB=可知sinD==，故可得出结论．解答：解：∵AD是⊙O的直径，⊙O的半径为6，∴AD=2OA=12，连接CD，∵∠B、∠D是所对的圆周角，AD是⊙O的直径，∴∠B=∠D，∠ACD=90°，∵sinB=，∴sinD==，即=，解得AC=4．故答案为：4．点评：本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键． 13．（3分）（2022•黑河）代数式3x2﹣4x﹣5的值为7，则x2﹣x﹣5的值为 ﹣1 ．考点：代数式求值．专题：整体思想．分析：观察题中的两个代数式3x2﹣4x﹣5和x2﹣x﹣5，可以发现x2﹣x=（3x217\n﹣4x），因此可整体求出3x2﹣4x的值，然后整体代入即可求出所求的结果．解答：解：∵3x2﹣4x﹣5的值为7，3x2﹣4x=12，代入x2﹣x﹣5，得（3x2﹣4x）﹣5=4﹣5=﹣1．点评：代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式3x2﹣4x的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 14．（3分）（2022•海陵区模拟）如图，已知圆锥的高为8，底面圆的直径为12，则此圆锥的侧面积是 60π ．考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：圆锥的侧面积是一个扇形，根据扇形公式计算即可．解答：解：底面圆的直径为12，则半径为6，∵圆锥的高为8，根据勾股定理可知：圆锥的母线长为10．根据周长公式可知：圆锥的底面周长=12π，∴扇形面积=10×12π÷2=60π．故答案为60π．点评：本题主要考查了圆锥的侧面积的计算方法．解题的关键是熟记圆锥的侧面展开扇形的面积计算方法． 15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的三等分点．若∠AEB=∠BDC，AB=3，则平行四边形ABCD的周长是 6+6 ．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：根据平行四边形性质得出∠A=∠C，AD=BC，AB=CD=3，设AE=x，则AD=BC=3x，根据∠AEB=∠BDC，∠A=∠C，证△AEB∽△CDB，得出比例式=，代入求出x，即可求出BC和AD，求出答案即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=BC，AB=CD=3，设AE=x，则AD=BC=3x，∵∠AEB=∠BDC，∠A=∠C，17\n∴△AEB∽△CDB，∴=，∴=，解得：x=，BC=3=AD，∴平行四边形ABCD的周长是2AB+2BC=6+6，故答案为：6+6．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，关键是求出AE长，题目比较好，有一定的难度． 16．（3分）（2022•双鸭山）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；…，依此类推，这样作的第n个正方形对角线交点Mn的坐标为 （，） ．考点：正方形的性质；坐标与图形性质．专题：压轴题；规律型．分析：先观察图形，了解正方形的性质，例如正方形对角线的性质，然后列出几个M点的坐标，推出公式．解答：解：设正方形的边长为1，则正方形四个顶点坐标为O（0，0），C（0，1），B1（1，1），A1（1，0）；根据正方形对角线定理得M1的坐标为（）；同理得M2的坐标为（，）；M3的坐标为（，），…，依此类推：Mn坐标为（，）=（，）点评：准确掌握正方形的性质，正确认识坐标图． 三、解答题（本大题共72分）17\n17．（5分）（2022•自贡）解不等式组考点：解一元一次不等式组．分析：用加减法解不等式组即可．解答：解：原不等式组化简为，由①得x＞5（2分）由②得x≤﹣4（4分）∴原不等式组无解（6分）点评：本题考查的是二元一次方程和不等式的综合问题，通过把x，y的值用k代，再根据x、y的取值判断k的值．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 18．（6分）（2022•昭通）果农老张进行苹果科学管理试验．把一片苹果林分成甲、乙两部分，甲地块用新技术管理，乙地块用老方法管理，管理成本相同．在甲、乙两地块上各随机选取20棵苹果树，根据每棵树产量把苹果树划分成A，B，C，D，E五个等级（甲、乙的等级划分标准相同，每组数据包括左端点不包括右端点）．画出统计图如下：（1）补齐直方图，求a的值及相应扇形的圆心角度数；（2）选择合适的统计量，比较甲乙两地块的产量水平，并说明试验结果；（3）若在甲地块随机抽查1棵苹果树，求该苹果树产量等级是B的概率．考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图；算术平均数；概率公式．专题：图表型．分析：（1）用样本容量减去其他各组的频数即是B组的棵树，a的值=100﹣15﹣10﹣20﹣45，圆心角度数=360°×10%；（2）计算两块地的平均产量，说明通过新技术管理甲地块杨梅产量高于乙地块苹果产量；（3）等级是B的概率=苹果树产量等级是B的频数÷样本容量．解答：解：（1）画直方图（2分）a=100﹣15﹣10﹣20﹣45=10，相应扇形的圆心角为：360°×10%=36°．（2分）（2）甲=17\n=80.5，乙==75，（2分）甲＞乙，由样本估计总体的思想，说明通过新技术管理甲地块苹果产量高于乙地块苹果产量．（1分）（若没说明“由样本估计总体”不扣分）（3）P（B）==0.3（3分）点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．由样本估计总体是统计常用思想． 19．（6分）（2022•长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）在证明△BEC≌△DEC时，根据题意知，运用SAS公理就行；（2）根据全等三角形的性质知对应角相等，即∠BEC=∠DEC=∠BED，又由对顶角相等、三角形的一个内角的补角是另外两个内角的和求得∠EFD=∠BEC+∠CAD．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ECB=∠ECD=45°．∴在△BEC与△DEC中，∴△BEC≌△DEC（SAS）．（3分）（2）解：∵△BEC≌△DEC，17\n∴∠BEC=∠DEC=∠BED．（4分）∵∠BED=120°，∴∠BEC=60°=∠AEF．（5分）∴∠EFD=60°+45°=105°．（6分）点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质、全等三角形的判定与性质、以及对顶角相等等知识． 20．（6分）在一次晚会上，大家围着飞镖游戏前．只见靶子设计成如图形式．已知从里到外的三个圆的半径分别为1，2，3，并且形成A，B，C三个区域．如果飞镖没有停落在最大圆内或只停落在圆周上，那么可以重新投镖．（1）分别求出三个区域的面积；（2）雨薇与方冉约定：飞镖停落在A、B区域雨薇得1分，飞镖落在C区域方冉得1分．你认为这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改得分规则，使这个游戏公平．考点：游戏公平性；几何概率．分析：分别求出三个区域的面积占总面积的概率，比较即可．解答：解：（1）SA=π•12=π，SB=π•22﹣π•12=3π，SC=π•32﹣π•22=5π；（3分）（2）P（A）==，P（B）==，P（C）==（4分）P（雨薇得分）=×1+×1=，P（方冉得分）=×1=（5分）∵P（雨薇得分）≠P（方冉得分）∴这个游戏不公平．（6分）修改得分规则：飞镖停落在A区域得2分，飞镖停落在B区域、C区域得1分，这样游戏就公平了．（8分）点评：本题考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 21．（7分）2022年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划生产1800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务．求原计划每天生产多少吨纯净水？考点：分式方程的应用．分析：设原计划每天生产x吨纯净水，根据工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务，可以时间做为等量关系列方程求解．解答：解：设原计划每天生产x吨纯净水，=+3，x=200，17\n经检验x=200是原分式方程的解，且符合题意，原计划每天生产200吨纯净水．点评：本题考查理解题意的能力，根据结果比原计划提前3天完成了生产任务，可以时间做为等量关系列方程求解． 22．（8分）如图，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连接BD．（1）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．（2）若AD=3，BD=4，求边BC的长．考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）连接OD．欲证ED与⊙O相切，只需证明OD⊥DE；（2）通过相似三角形△BDC∽△ADB的对应边成比例知=，由此可以求得线段BC的长度．解答：（1）证明：连接OD．∵OD=OB（⊙O的半径），∴∠OBD=∠BDO（等边对等角）；∵AB是直径（已知），∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ADB=∠BDC=90°；在Rt△BDC中，E是BC的中点，∴BE=CE=DE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴∠DBE=∠BDE（等边对等角）；又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90°，∴∠ODE=∠BDO+∠BDE=90°（等量代换）；∵点D在⊙O上，∴ED与⊙O相切；（2）在Rt△ABD中，∵AD=3，BD=4，∴AB=5（勾股定理）；在Rt△BDC和Rt△ADB中，∠ADB=∠BDC=90°，∠ABC=90°，∴∠ABD=∠BCD，∴△BDC∽△ADB，∴=．即=，∴BC=．17\n点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质．圆心到一条直线的距离等于该圆的半径，则该直线就是圆的一条切线． 23．（8分）（2022•连云港）如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP=74°，∠BEQ=30°；在点F处测得∠AFP=60°，∠BFQ=60°，EF=1km．（1）判断AB，AE的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：≈1.73，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）考点：解直角三角形的应用．分析：（1）根据SAS即可证明△AEF≌△ABF，得到AB=AE；（2）作AH⊥PQ，垂足为H．设AE=x，在直角△AHF，直角△AEP中，利用三角函数表示出HE与HF，从而可得到关于x的方程，解方程即可得解．解答：解：（1）相等．理由如下：∵∠BEQ=30°，∠BFQ=60°，∴∠EBF=30°，EF=BF．又∵∠AFP=60°，∴∠BFA=60°．在△AEF与△ABF中，EF=BF，∠AFE=∠AFB，AF=AF，∴△AEF≌△ABF，∴AB=AE．（2）方法一：作AH⊥PQ，垂足为H．设AE=x，则AH=xsin74°，HE=xcos74°，HF=xcos74°+1．Rt△AHF中，AH=HF•tan60°，∴xsin74°=（xcos74°+1）•tan60°，即0.96x=（0.28x+1）×1.73，解得x≈3.6，即AB≈3.6．答：两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km．17\n方法二：设AF与BE的交点为G．在Rt△EGF中，∵EF=1，∴EG=．在Rt△AEG中，∠AEG=76°，AE=EG÷cos76°=÷0.24≈3.6km，∵AE=AB，∴两个岛屿A和B之间的距离是3.6km，答：两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km．点评：本题主要运用了三角函数，把求线段成的问题转化为方程求解的问题． 24．（12分）（2022•渝北区一模）在“春季经贸洽谈会”上，我市某服装厂接到生产一批出口服装的订单，要求必须在12天（含12天）内保质保量完成，且当天加工的服装当天立即空运走．为了加快进度，车间采取工人轮流休息，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高．这样每天生产的服装数量y（套）与时间x（元）的关系如下表：时间x（天）1234…每天产量y（套）22242628…由于机器损耗等原因，当每天生产的服装数达到一定量后，平均每套服装的成本会随着服装产量的增加而增大，这样平均每套服装的成本z（元）与生产时间x（天）的关系如图所示．（1）判断每天生产的服装的数量y（套）与生产时间x（元）之间是我们学过的哪种函数关系？并验证．（2）已知这批外贸服装的订购价格为每套1570元，设车间每天的利润为w（元）．求w（元）与x（天）之间的函数关系式，并求出哪一天该生产车间获得最高利润，最高利润是多少元？（3）从第6天起，该厂决定该车间每销售一套服装就捐a元给山区的留守儿童作为建图书室的基金，但必须保证每天扣除捐款后的利润随时间的增大而增大．求a的最大值，此时留守儿童共得多少元基金？考点：一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的应用．分析：（1）利用待定系数法求出一次函数解析式，进而验证得出即可；17\n（2）根据自变量的取值范围，分别求出当1≤x≤5时，以及当6≤x≤12时，求出W的值，即可得出答案；（3）利用二次函数的性质以及对称轴x=，在对称轴的左侧，Q随x的增大而增大，求出即可．解答：解：（1）由表格知，y是x的一次函数设y=kx+b则，∴；∴y=2x+20；检验：当x=3时，y=2×3+20=26，当x=4时，y=2×4+20=28，∴（3，26），（4，28）均满足y=2x+20；（2）由题意得：z=400（1≤x≤5的整数），当6≤x≤12的整数时，设z=k′x+b′，∴．∴，∴z1=40x+200；当1≤x≤5时．W1=（2x+20）（1570﹣400），即W1=2340x+23400，∵2340＞0，∴W1随x的增大而增大．∴x=5时，W1最大=2340×5+23400=35100（元），当6≤x≤12时，W2=（2x+20）（1570﹣40x﹣200）=（2x+20）（1370﹣40x），即W2=﹣80x2+1940x+27400，∵﹣80＜0，∴开口向下对称轴x=﹣=12，在对称轴的左侧，W2随x的增大而增大．∴当x=12时，W2最大=39160（元）∵39160＞35100，∴第12天获得最大利润为39160元；（3）设捐款a元后的利润为Q（元）∵6≤x≤12，∴Q=（2x+20）（1570﹣40x﹣200﹣a）=（2x+20）（1370﹣2a）x+27400﹣20a，∵﹣80＜0，开口向下，对称轴x=，在对称轴的左侧，Q随x的增大而增大．∴≥12，17\n∴a≤10，∴a的最大值是10，共得到基金（32+34+36+38+40+42+44）×10=2660（元）．点评：此题主要考查了一次函数与二次函数的应用，根据已知结合自变量的取值范围确定函数解析式进而求出是解题关键． 25．（14分）（2022•营口）如图（1），直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值．（图（2）、图（3）供画图探究）考点：二次函数综合题；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的判定；相似三角形的判定．专题：压轴题．分析：（1）把B、C的坐标代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解即可；（2）求出C、P的坐标，求出PC的值，PC是腰时，有3个点，PC是底时，有1个点，根据PC的值求出即可；（3）连接BP，根据相似得出比例式=和=，代入求出BQ即可；（4）连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，设点F（x，﹣x+3），点E（x，x2﹣4x+3），推出EF=﹣x2+3x，根据S△CBE=S△CEF+S△BEF=EF•OB代入求出即可．解答：解：（1）由已知，得B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴对称轴为x=2，顶点坐标为P（2，﹣1），∴满足条件的点M分别为M1（2，7），M2（2，2﹣1），M3（2，），M4（2，﹣217\n﹣1）；（3）由（1），得A（1，0），连接BP，∵∠CBA=∠ABP=45°，∴当=时，△ABC∽△PBQ，∴BQ=3．∴Q1（0，0），∴当=时，△ABC∽△QBP，∴BQ=．∴Q′（，0）．（4）当0＜x＜3时，在此抛物线上任取一点E，连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，设点F（x，﹣x+3），点E（x，x2﹣4x+3），∴EF=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△CEF+S△BEF=EF•OB，=﹣x2+x，=﹣（x﹣）2+，∵a=﹣＜0，∴当x=时，S△CBE有最大值，∴y=x2﹣4x+3=﹣，∴E（，﹣）．点评：本题综合考查了二次函数的综合，二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积等知识点的应用，此题难度偏大，对学生提出较高的要求，综合性比较强． 17\n17
