山东烟台2022高考诊断性测试数学理一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合，集合，则集合（）A.B.C.D.2.复数的共轭复数（）A.B.C.D.3.“，”是“函数的图象过原点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.甲乙两名同学参加某项技能比赛，名裁判给两人打出的分数如下茎叶图所示，依此判断（）A.甲成绩稳定且平均成绩较高B.乙成绩稳定且平均成绩较高C.甲成绩稳定，乙平均成绩较高D.乙成绩稳定，甲平均成绩较高5.某程序的框图如右图所示，执行该程序，则输出的结果为（）A.B.C.D.6.已知，，且，，则的值是（）A.B.C.D.7.设点是区域内的随机点，函数在区间-10-上是增函数的概率为（）A.B.C.D.8.若双曲线（，）的左.右焦点分别为.，线段被抛物线的焦点分成两段，则此双曲线的离心率为（）A.B.C.D.9.已知是内一点，且，，若..的面积分别为..，则的最小值是（）A.B.C.D.10.已知函数（），定义函数，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当时，若，则有成立；④当时，函数有个零点.其中正确命题的个数为（）A.B.C.D.二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.若不等式恒成立，则实数的取值范围是.12.现有枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面，把枚硬币摆成一摞，满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有种（用数字作答）.13.若某四面体的三视图如右图所示，则这个四面体四个面的面积中最大值的是.14.已知，，，，，，经计算：，-10-，，，照此规律则.15.已知圆和两点，（），若圆上至少存在一点，使得，则的取值范围是.三.解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）在中，角..所对的边分别为..，已知.求角的大小；若，，求值.17.（本小题满分12分）为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了理科.文科两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示.现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从两组中共抽取名同学进行测试.求从理科组抽取的同学中至少有名女同学的概率；记为抽取的名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.18.（本小题满分12分）已知等差数列中，，前项和为且满足条件：（）.求数列的通项公式；若数列的前项和为，且有（），，证明：数列是等比数列；又，求数列的前项和.-10-19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面.求证：平面平面；若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值.20.（本小题满分13分）已知椭圆（）的右焦点，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，当直线经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为.求椭圆的方程；设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数（）.当时，求函数图象在点处的切线方程；求函数的单调区间；若，，且对任意的，，恒成立，求实数的取值范围.-10-参考答案一.选择题1.C2.B3.A4.D5.C6.C7.A8.D9.C10.D二.填空题11.12.513.1014.15.三.解答题16.解：（1）由正弦定理可得，由余弦定理：，…………………2分因为，所以.（2）由（1）可知，，…………………4分因为，B为三角形的内角，所以，…………………6分故…………………9分由正弦定理，得.…………………12分17.解：（1）两小组的总人数之比为8:4=2:1，共抽取3人，所以理科组抽取2人，文科组抽取1人，…………………2分从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：一男一女、两女，所以所求的概率为：.…………………4分（2）由题意可知的所有可能取值为0,1,2,3，…………………5分相应的概率分别是-10-,，,,………………9分所以的分布列为：0123P.18.解：………………2分∴所以………………4分（2）由所以，，………………4分所以是等比数列且，………………6分∴∴………………8分∴………………9分∴-10-利用错位相减法，可以求得.………………12分19.解：（1）∵平面平面，平面平面，，∴平面,………………2分又∵，故可建立空间直角坐标系如图所示，不妨设,则有，∴，∴，………………4分∴，∴平面.又平面∴平面平面………………6分（2）由（1），平面的一个法向量是，,设直线与平面所成的角为，，解得，∵∴，即………………8分设平面的一个法向量为，，由,-10-∴，不妨令，则………………10分∴,显然二面角的平面角是锐角，∴二面角的余弦值为.……………12分20.解：（1）由题意知，又，所以，……………2分，所以椭圆的方程为：；……………4分（2）设直线的方程为：，代入，得：设，线段的中点为，则，……………7分由得：，所以直线为直线的垂直平分线，直线的方程为：，……………9分令得：点的横坐标，……………10分因为，所以，所以.……………12分所以线段上存在点-10-使得，其中.……………13分21.解（1）当时，，，，……………2分所以，切线方程为，即……………4分（2）由题意可知，函数的定义域为，，……………6分当时，，，为增函数，，，为减函数；当时，，，为减函数，，，为增函数.……………8分（3）“对任意的恒成立”等价于“当时，对任意的成立”，当时，由（2）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以的最小值为，，当时，，时，，显然不满足，……………10分当时，令得，，（1）当，即时，在上，所以在单调递增，所以，只需，得，所以-10-（2）当，即时，在，单调递增，在，单调递减，所以，只需，得，所以（3）当，即时，显然在上，单调递增，，不成立，……………13分综上所述，的取值范围是……………14分-10-
