珠海市2022年5月高三综合试题（二）理科数学本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合则等于A．B．C．D．2．设为虚数单位，则复数的虚部为A．－4B．－4iC．4D．4i3．已知非零向量，满足，则函数是A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数4．设随机变量服从正态分布，若，则等于A.B.C.D.5．已知变量满足，则的值域是A．B．C．D．6．已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为第7题A．B．C．或 D.或77．如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是A．B.C.D.8．已知是R上的偶函数，，若的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，那么14的值为A．1B．0C．-1D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．第9题（一）必做题（9～13题）9．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是．10.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表。为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到因为，所以断定主修统计专业与性别有关系，这种判断出错的可能性最高为．专业性别非统计专业统计专业男1310女720P(K2≥k)0.0500.0250.0100.001k3.8415.0246.63510.82811．展开式中的常数项的值是．(用数字作答)12．在中，，则__________．13．在等比数列中，若是互不相等的正整数，则有等式成立.类比上述性质，相应地，在等差数列中,若是互不相等的正整数，则有等式成立.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图，圆内的两条弦，相交于圆内一点，已知，，，则的长为.1415．（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点，，是极点，则的面积等于．三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数，的部分图像如图所示．(1)求的解析式；(2)且，求．17．（本小题满分12分）某公益活动分别从A、B两个单位招募9名和11名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图，将身高180cm及以上的人组成甲队，不足180cm的人组成乙队（1）根据志愿者身高茎叶图指出A、B两个单位志愿者身高的中位数．（2）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队中抽取５人，再从这５人中选２人，那么至少有１人是甲队的概率是多少（3）若只有B单位的志愿者能够胜任翻译工作，现从甲队中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能够胜任翻译工作的人数，试写出ξ的概率分布列，并求ξ数学期望．18．（本小题满分14分）如图，四边形与均为菱形，，且．（1）求证：；（2）求证：；（3）求二面角的余弦值．19．（本小题满分14分）数列的前项和记为，且满足．14（1）求数列的通项公式；（2）求和：；（3）设各项均为正整数的等差数列的公差为1，并且满足：试问数列最多有几项？并求这些项的和．20．（本小题满分14分）已知椭圆的方程为，点分别为其左、右顶点，点分别为其左、右焦点，以点为圆心，为半径作圆；以点为圆心，为半径作圆；若直线被圆和圆截得的弦长之比为．（1）求椭圆的离心率；（2）己知，问是否存在点，使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为?若存在，请求出所有的点坐标；若不存在，请说明理由．A·F2F1yBxO·21．（本小题满分14分）已知函数(1)若时，恒成立，求的取值范围；(2)若时，函数在实数集上有最小值，求实数的取值范围．142022年5月珠海市高三综合测试（二）理科数学参考答案及评分标准本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合则等于CA．B．C．D．2．设为虚数单位，则复数的虚部为（）AA．－4B．－4iC．4D．4i3．已知非零向量，满足错误！未找到引用源。，则函数是()AA.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数4．设随机变量服从正态分布，若，则等于BA.B.C.D.5．已知变量满足，则的值域是DA．B．C．D．6．已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（C）A．B．C．或 D.或7147．如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是(A)A．B.C.D.【答案】A8．已知是R上的偶函数，，若的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，那么的值为（）CA．1B．0C．-1D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是。410.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表。为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到因为，所以断定主修统计专业与性别有关系，这种判断出错的可能性最高为。（5%(或0.05)）专业性别非统计专业统计专业男1310女720P()0.0500.0250.0100.001k3.8415.0246.63510.82811．展开式中的常数项的值是(用数字作答)2812．在中，，则__________________．113．在等比数列中，若是互不相等的正整数，则有等式成立.类比上述性质，相应地，在等差数列中,若14是互不相等的正整数，则有等式________成立.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图，圆内的两条弦，相交于圆内一点，已知，，，则的长为.15．（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点，，是极点，则的面积等于．4三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数，的部分图像如图所示（1）求的解析式；（2）且，求．解：(1)由图像知，（2分），∴∴（4分）又得∴（6分）(2)∵∴（8分）14=（10分）∵∴（12分）17．（本小题满分12分）某公益活动分别从A、B两个单位招募9名和11名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图，将身高180cm及以上的人组成甲队，不足180cm的人组成乙队．（1）根据志愿者身高茎叶图指出A、B两个单位志愿者身高的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队中抽取５人，再从这５人中选２人，那么至少有１人是甲队的概率是多少（3）若只有B单位的志愿者能够胜任翻译工作，现从甲队中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能够胜任翻译工作的人数，试写出ξ的概率分布列，并求ξ数学期望。解：(1)A单位中位数是180cm，B单位中位数是173cm……………………………………2分(2)∵总人数是20人，甲单位8人，乙单位12人，设甲、乙各抽人和人，则，得，∴甲队抽2人，乙队抽3人．……………………………………4分设“5人中选2人，其中至少有1人是甲队的”为事件A，则答：从这５人中选２人，至少有１人是甲队的概率是………………………6分(3)甲队中B单位有3人，这3人能胜任翻译工作，故………………7分的概率分布列;;;…………………………11分14的期望是………………………………12分18．（本小题满分14分）如图，四边形与均为菱形，，且.（1）求证：；（2）求证：；（3）求二面角的余弦值．（1）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO.因为四边形ABCD为菱形，所以，且O为AC中点.又FA=FC，所以.………………………………2分因为，所以.………………………………3分（2）证明：因为四边形与均为菱形，所以因为所以又，所以平面又所以.………………………………6分（3）解：因为四边形BDEF为菱形，且，所以为等边三角形．因为为中点，所以由（Ⅰ）知，故.法一：由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，，则BD=2，所以OB=1，.则…………………8分14所以.设平面BFC的法向量为则有所以取，得.…………………12分易知平面的法向量为.由二面角A-FC-B是锐角，得.所以二面角A-FC-B的余弦值为.………14分法二：取的中点，连接，，∵四边形与均为菱形，，且∴，设为∵为、中点，∴，∴（8分）∴，∴是二面角的平面角（10分）∵∴，，又（12分）∴∴二面角A-FC-B的余弦值为（14分）19．（本小题满分14分）数列的前项和记为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）求和：；14（3）设各项均为正整数的等差数列的公差为1，并且满足：试问数列最多有几项？并求这些项的和．19．解：（1）由得，相减得，即．又，得，数列是以1为首项2为公比的等比数列，．………………………………………………4分（2）由（1）知．………………………………………………9分（3）由已知得．又是连续的正整数数列，．上式化为．……11分又，消得．，由于，，时，的最大值为9.此时数列的所有项的和为……………………14分20．（本小题满分14分）已知椭圆的方程为，点分别为其左、右顶点，点分别为其左、右焦点，以点为圆心，为半径作圆；以点为圆心，为半径作圆；若直线被圆和圆截得的弦长之比为；14（1）求椭圆的离心率；（2）己知，问是否存在点，使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的点坐标；若不存在，请说明理由．A·F2F1yBxO·解：（1）由，得直线的倾斜角为，则点到直线的距离，故直线被圆截得的弦长为，直线被圆截得的弦长为，（3分）据题意有：，即，（4分）化简得：，（5分）解得：或，又椭圆的离心率；故椭圆的离心率为．（6分）（2）假设存在，设点坐标为，过点的直线为；当直线的斜率不存在时，直线不能被两圆同时所截；故可设直线的方程为，则点到直线的距离，14由（1）有，得=，故直线被圆截得的弦长为，（8分）则点到直线的距离，，故直线被圆截得的弦长为，（10分）据题意有：，即有，整理得，即，两边平方整理成关于的一元二次方程得，（12分）关于的方程有无穷多解，故有：，故所求点坐标为（－1，0）或（－49，0）．（14分）（注设过P点的直线为后求得P点坐标同样得分）21.（本小题满分14分）已知函数(1)若时，恒成立，求的取值范围；(2)若时，函数在实数集上有最小值，求实数的取值范围．解：(1)因为时，，所以令，则有，当时恒成立，转化为，即在上恒成立，…………………………………………………2分14令p(t)＝t－，，则，所以p(t)＝t－在上单调递增，所以，所以，解得．…………………6分(2)当时，，即，………7分当时，即时，；当时，即，；…………………8分当时，，令，，则，…………10分当，即时，；当，即时，在开区间上单调递减，，无最小值；……………………………………………………12分综合与，所以当时，即，函数；当时，，函数无最小值；当时，，函数无最小值．……………13分综上所述，当时，函数有最小值为；当时，函数无最小值……………14分．14
