曲线运动万有引力与航天(时间60分钟，总分值100分)一、选择题(此题共9小题，每题5分，共45分)1．(2022·浙江高考)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的选项是( )A．太阳引力远大于月球引力B．太阳引力与月球引力相差不大C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异解析：设太阳质量为M，月球质量为m，海水质量为m′，太阳与地球之间距离为r1，月球与地球之间距离为r2，由题意＝2.7×107，＝400，由万有引力公式，太阳对海水的引力F1＝，月球对海水的引力F2＝，那么＝＝＝，故A正确，B错误；月球到地球上不同区域的海水距离不同，所以引力大小有差异，C错误，D正确．答案：AD2．质量m＝4kg的质点静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点O处，先用沿x轴正方向的力F1＝8N作用了2s，然后撤去F1；再用沿y轴正方向的力F2＝24N作用了1s．那么质点在这3s内的轨迹为图1中的( )图1解析：质点在前2s内做匀加速直线运动，2s末的速度为v＝4m/s；2s～3s做类平抛运动，加速度大小为6m/s2，这1s内沿x轴方向的位移是4m，沿y轴方向的位移是3m，故D正确．答案：D8/8\n3．(2022·河南省实验中学模拟)如图2所示，小球P在A点从静止开始沿光滑的斜面AB运动到B点所用的时间为t1，在A点以一定的初速度水平向右抛出，恰好落在B点所用时间为t2，在A点以较大图2的初速度水平向右抛出，落在水平面BC上所用时间为t3，那么t1、t2和t3的大小关系正确的是( )A．t1＞t2＝t3 B．t1＜t2＝t3C．t1＞t2＞t3D．t1＜t2＜t3解析：设斜面倾角为θ，A点到BC面的高度为h，那么＝gsinθ·t12；以一定的初速度平抛落到B点时，h＝gt22；以较大的初速度平抛落到BC面上时，h＝gt32，可得出：t1＝＞＝t2＝t3，故A正确．答案：A4．(2022·郑州模拟)如图3所示，倾斜轨道AC与有缺口的圆轨道BCD相切于C，圆轨道半径为R，两轨道在同一竖直平面内，D是圆轨道的最高点，缺口DB所对的圆心角为90°，把一个小球从斜轨道上某处由静止释放，它下滑到C点后便进入圆轨道，要想使它上升到D点后再落到B点，不计摩擦，那么以下说法正确的选项是( )图3A．释放点须与D点等高B．释放点须比D点高R/4C．释放点须比D点高R/2D．使小球经D点后再落到B点是不可能的解析：设小球刚好过D点的速度为vD，由mg＝m得vD＝，当落到与B点等高的水平面上时，平抛的水平位移x＝v0t，又t＝，所以x＝vD＝R＞R，故经过D点后小球不可能落到B点，只有D正确．答案：D5．如图4所示，物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力有( )A．圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心B．圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心图48/8\nC．圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力D．圆盘对B的摩擦力和向心力解析：A随B做匀速圆周运动，它所需的向心力由B对A的静摩擦力来提供，因此B对A的摩擦力指向圆心；A对B的摩擦力背离圆心，只有圆盘对B的摩擦力指向圆心，才能使B受到指向圆心的合力，所以正确选项为B.答案：B6．一位同学为了测算卫星在月球外表附近做匀速圆周运动的环绕速度，提出了如下实验方案：在月球外表以初速度v0竖直上抛一个物体，测出物体上升的最大高度h，已知月球的半径为R，便可测算出绕月卫星的环绕速度．按这位同学的方案，绕月卫星的环绕速度为( )A．v0B．v0C．v0D．v0解析：由h＝和mg月＝G、＝m可得：v＝v0，故D正确．答案：D7．(2022·南京模拟)2022年9月27日“神舟”七号宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务，他的第一次太空行走标志着中国航天事业全新时代的到来．“神舟”七号绕地球做近似匀速圆周运动，其轨道半径为r，假设另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的半径为2r，那么可以确定( )图5A．卫星与“神舟”七号的向心加速度大小之比为1∶4B．卫星与“神舟”七号的线速度大小之比为1∶C．翟志刚出舱后不再受地球引力D．翟志刚出舱任务之一是取回外挂的实验样品，假设不小心实验样品脱手，那么实验样品做自由落体运动解析：向心加速度计算公式为a＝＝，所以卫星和“神舟”七号的向心加速度之比为1∶4，A选项正确；线速度计算公式为v＝，所以卫星和“神舟”七号的线速度之比为1∶，B选项正确；翟志刚出舱后依然受到地球的引力，引力提供其做匀速圆周运动所需的向心力，C选项错误；实验样品脱手后依然做匀速圆周运动，相对飞船静止，D选项错误．8/8\n答案：AB8．(2022·玉溪模拟)据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2022年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链一号01星”，以下说法正确的选项是( )A．运行速度大于7.9km/sB．离地面高度一定，相对地面静止C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等解析：由万有引力提供向心力得：＝，v＝，即线速度v随轨道半径r的增大而减小，v＝7.9km/s为第一宇宙速度，即围绕地球外表运行的速度；因同步卫星轨道半径比地球半径大很多，因此其线速度应小于7.9km/s，故A错；因同步卫星与地球自转同步，即T、ω相同，因此其相对地面静止，由公式＝m(R＋h)ω2得：h＝－R，因G、M、ω、R均为定值，因此h一定为定值，故B对；因同步卫星周期T同＝24小时，月球绕地球转动周期T月＝27天，即T同＜T月，由公式ω＝得ω同＞ω月，故C对；同步卫星与静止在赤道上的物体具有共同的角速度，由公式a向＝rω2，可得：＝，因轨道半径不同，故其向心加速度不同，D错误．答案：BC9．(2022·湖南省长沙市调研)一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球外表，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图6甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点的竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律如图乙所示．F1＝7F2，设R、m、引力常量G以及F1为已知量，忽略各种阻力．以下说法正确的选项是( )8/8\n图6A．该星球外表的重力加速度为B．卫星绕该星球的第一宇宙速度为C．星球的质量为D．小球在最高点的最小速度为零解析：小球在最低点有F1－mg＝m；小球在最高点有F2＋mg＝m；小球从最低点到最高点的过程中遵循机械能守恒定律mv12＝mg2R＋mv22，又F1＝7F2，联立解得该星球外表的重力加速度为g＝，选项A正确；由G＝m得卫星绕该星球的第一宇宙速度为，选项B错误；由G＝mg和g＝解得星球的质量为，选项C正确．答案：AC二、实验题(此题共2小题，共12分)10．(4分)(2022·潍坊质检)某同学利用如图7所示的两种装置探究平抛运动，方案如下：图7装置1：用小锤打击金属片，A球水平抛出，同时B球自由下落．仔细观察A、B两球是否同时落到水平地面上．假设同时落地，那么说明水平分运动是匀速运动，竖直分运动是自由落体运动．装置2：竖直管A上端要高于水面，这样可在较长时间内得到稳定的细水柱．水平管B喷出水流，在紧靠水流、平行于水流的玻璃板上用彩笔描出水流的轨迹，这就是平抛运动的轨迹．找出以上表达中不当之处并写到下面：(1)______________________________________________________________________；(2)______________________________________________________________________．解析：(1)假设同时落地，不能说明水平分运动是匀速运动，只能说明竖直方向为自由落体运动．(2)竖直管A上端要高于水面(应低于)．8/8\n答案：见解析11.(8分)(2022·陕西省西安铁一中月考)某同学在做平抛运动实得出如图8所示的小球运动轨迹，a、b、c三点的位置在运动轨迹上已标出．那么：(g取10m/s2)(1)小球平抛的初速度为________m/s.(2)小球开场做平抛运动的位置坐标为________cm.图8y＝________cm.(3)小球运动到b点的速度为________m/s.解析：(1)小球由a到b，b到c，水平方向做匀速运动，时间间隔相同，竖直方向上做匀加速运动，那么由Δy＝gΔt2得出Δt＝0.1s．再根据水平方向的位移x＝v0Δt，解得v0＝m/s＝2m/s.(2)小球在b点的竖直速度为v＝＝1.5m/s.由v＝gt1得t1＝0.15s，那么从抛物点到a点的时间为t2＝0.15s－0.1s＝0.05s，水平初速度为2m/s，从抛物点到a点的水平距离x＝v0t2＝2m/s×0.05s＝0.1m＝10cm，竖直距离y＝gt22＝0.0125m＝1.25cm，所以抛物点坐标为(－10，－1.25)．(3)小球运动到b点的速度为水平方向做匀速运动的速度2m/s和竖直方向运动的速度1.5m/s的矢量和，应为2.5m/s.答案：(1)2 (2)－10 －1.25 (3)2.5三、计算题(此题共3小题，共43分)12．(13分)如图9所示，有一倾角为30°的光滑斜面，斜面长L为10m，一小球从斜面顶端以10m/s的速度在斜面上沿水平方向抛出．求：(g取10m/s2)(1)小球沿斜面滑到底端时的水平位移x；图9(2)小球到达斜面底端时的速度大小．解析：(1)沿初速度方向：x＝v0t①沿斜面向下：a＝gsinα②L＝at2③联立①②③代入数据得：x＝20m.8/8\n(2)沿斜面向下：v⊥＝at④那么：v＝⑤联立②③④⑤解得：v＝10m/s＝14.1m/s.答案：(1)20m (2)14.1m/s13．(15分)如图10所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力图10为零)．物块和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍．求：(1)当转盘的角速度ω1＝时，细绳的拉力F1；(2)当转盘的角速度ω2＝时，细绳的拉力F2.解析：设角速度为ω0时，物块所受静摩擦力为最大静摩擦力，有μmg＝mω02r得ω0＝(1)由于ω1＝＜ω0，故绳未拉紧，此时静摩擦力未到达最大值，F1＝0.(2)由于ω2＝＞ω0，故绳被拉紧，由F2＋μmg＝mω22r得F2＝μmg.答案：(1)0 (2)μmg14．(15分)(2022·天津高考)2022年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系．研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50×102天文单位(地球公转轨道的半径为一个天文单位)，人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上．观测得到S2星的运行周期为15.2年．假设将S2星的运行轨道视为半径r＝9.50×102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA是太阳质量MS的多少倍(结果保存一位有效数字)．解析：S2星绕人马座A*做圆周运动的向心力由人马座A*8/8\n对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为mS2，角速度为ω，周期为T，那么G＝mS2ω2r①ω＝②设地球质量为mE，公转轨道半径为rE，周期为TE，那么G＝mE()2rE③综合上述三式得＝()3()2式中TE＝1年，rE＝1天文单位代入数据可得＝4×106.答案：4×106倍()8/8
