高三物理一轮复习学案机械能doc高中物理

2022届高三物理一轮复习学案：机械能教学目标1．加强学生对功、功率、能量等概念的物理意义的理解。使他们能够在具体问题中合理地运用上述概念分析解决问题。2．通过动能定理、重力做功与重力势能关系的复习，使学生对功和能关系的认识进一步加深。并能够应用动能定理解决较复杂的问题。3．加强学生对机械能守恒定律及其适用条件的认识，使他们能够运用守恒条件判断具体问题是否满足机械能守恒定律，并应用机械能守恒定律求解问题。4．培养学生综合分析的能力，使他们逐步掌握在较复杂问题中分析题意，找出适用规律，并运用规律解决问题的方法。教学重点、难点分析功、功率、动能、重力势能的概念，动能定理、机械能守恒定律等规律及应用是本章重点。本章难点较多，动能定理及其应用、机械能守恒定律及其适用条件是比较突出的难点。教学过程今天我们开场复习功和能，这一章内容较多，能力要求也比较高，所以同学既要注意知识内容，又要注意研究方法。一、根本概念1．功功是作用在物体上的力与物体在力的方向上发生的位移的乘积。用公式表示为W=Fscosθ，θ角是力与物体位移的夹角。国际单位制中功的单位是焦耳，功的单位还有电子伏、千瓦时、卡等。它们之间的换算关系：1eV=1.6×10-19J，1kWh=3.6×106J，1cal=4.2J。（1）首先明确做功的力以及这个力是否是合力。我们在研究功的时候必须首先明确是在研究哪个力做的功，另外考虑到动能定理的应用条件，我们还应该清楚这个力是否是物体所受的合力。做功的两个必要因素是：作用在物体上的力和物体在力的方向上发生的位移。（2）功的本质是力在空间的积累，它和位移相对应（也和时间相对应）。所谓积累，既可以是力在位移方向的分量Fcosθ与位移s的乘积，也可以是位移在力的方向上的分量scosθ与力F的乘积。理解功的概念时，要从本质上进展理解，而不能套公式。（3）计算功的方法有两种：①按照定义求功。即：W=Fscosθ。在高中阶段，这种方法只适用于恒力做功。当时F做正功，表示力在位移方向的分量与位移同向；当时F不做功，当时F做负功，表示力在位移方向的分量与位移反向。②用动能定理W=ΔEk或功能关系求功。当F为变力时，高中阶段往往考虑用这种方法求功。这里求得的功是该过程中外力对物体做的总功（或者说是合外力做的功）。这种方法的依据是：做功的过程就是能量转化的过程，功是能的转化的量度。如果知道某一过程中能量转化的数值，那么也就知道了该过程中对应的功的数值。（3）功是能量改变的量度。力对物体做正功，导致物体能量增加；力对物体做负功，导致物体能量减少。需要对负功再加以说明的是：一个力对物体做了负功，也可以说成物体抑制这个力做了功，例如，物体竖直上抛时，重力对物体做了-6焦耳的功，也可以说物体抑制重力做了6焦耳的功．合力做的功等于各分力功的代数和。由于功是标量，所以当物体受到几个力的作用时，各力所做的功相加，就等于合力所做的功。（4）功与参照物有关，一般必须以地面为参照物。另外，因为功的决定因素之一位移与参照物有关，所以功的大小还与参照物的选取有关。比方，我用力推桌子，但没有推动。以地面为参照物我没有做功，而以运动的物体为参照物，我却做了功。所以一般情况下研究功，必须以地面为参考物。（5）一对作用力和反作用力做功的特点9/9\n（1）一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为正、可能为负、也可能为零。（2）一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零（静摩擦力）、可能为负（滑动摩擦力），但不可能为正。【例1】如以下图，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置。在以下三种情况下，分别用水平拉力F将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。在此过程中，拉力F做的功各是多少？（1）用F缓慢地拉；（2）F为恒力；（3）假设F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零。可供选择的答案有A．B．C．D．解：（1）假设用F缓慢地拉，那么显然F为变力，只能用动能定理求解。F做的功等于该过程抑制重力做的功。选D（2）假设F为恒力，那么可以直接按定义求功。选B（3）假设F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的。选B、D在第三种情况下，由，可以得到，可见在摆角为时小球的速度最大。实际上，因为F与mg的合力也是恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当于一个摆，我们可以把这样的装置叫做“歪摆”。2．功率（1）功率的定义功跟完成这些功所用时间的比值，叫做功率。①功率的定义式为：P=W/t。国际单位制中，功率的单位是瓦特，1瓦特=1焦耳/秒。功率的常用单位还有千瓦，1千瓦=1000瓦特。功率是表示做功快慢的物理量，即能量转化快慢的物理量。②功率的计算式：P=Fvcosθ，其中θ是力与速度间的夹角。该公式有两种用法：①求某一时刻的瞬时功率。这时F是该时刻的作用力大小，v取瞬时值，对应的P为F在该时刻的瞬时功率；②当v为某段位移（时间）内的平均速度时，那么要求这段位移（时间）内F必须为恒力，对应的P为F在该段时间内的平均功率。（2）平均功率与即时功率平均功率表示一段时间内某力做功的平均快慢，即时功率表示某一时刻某力做功的快慢。通常用公式P=W/t来计算平均功率，用公式P=Fvcosθ来计算即时功率，其中v为此时物体的即时速度。vafF（3）额定功率与实际功率，输出功率与输入功率额定功率是某机械正常工作时的功率。机械不一定总在额定功率下工作，这时机械的即时功率叫做机械的实际功率。机械对外做功的实际功率，称做此时机械的输出功率；外界对机械做功的实际功率，称做此时机械的输入功率。（4）汽车的两种加速问题当汽车从静止开场沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的根本公式都是P=Fv和F-f=ma。①恒定功率的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，随着v的增大，F必将减小，a也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到F=f，a=0，这时v到达最大值。可见恒定功率的加速一定不是匀加速。这种加速过程发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=Fs计算（因为F为变力）。这种运动的v-t图像如以下图。②恒定牵引力的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以A恒定，汽车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不断增大，直到P到达额定功率Pm，功率不能再增大了。这时匀加速运动完毕，其最大速度为，此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只能用W=Fs计算，不能用W=Pt计算（因为P为变功率）。要注意两种加速运动过程的最大速度的区别。【例2】质量为2t的农用汽车，发动机额定功率为30kW，汽车在水平路面行驶时能到达的最大时速为54km/h。假设汽车以额定功率从静止开场加速，当其速度到达v=36km/h时的瞬时加速度是多大？9/9\n解：汽车在水平路面行驶到达最大速度时牵引力F等于阻力f，即Pm=fvm，而速度为v时的牵引力F=Pm/v，再利用F-f=ma，可以求得这时的a=0.50m/s2。3．机械能（1）动能物体由于运动而具有的能量叫做动能。物体的动能用公式表示为：Ek=mv2/2。国际单位制中，动能的单位与功一样，也是焦耳。动能是标量，没有方向。所以动能只与物体运动的速度大小（速率）有关，而与物体的运动方向无关。物体的动能，一般情况下都是以地面为参照物的。物体的动能最小为零，无负值。动能与动量的联系：都是描述物体运动状态的量，它们之间大小的关系为：Ek=P2/2m。对同一个物体，它的动量增大，动能也必然增大。反之，动能增大，动量也必然增大。动量是矢量，有方向；动能是标量，没有方向。动量与速度的一次方成正比，动能与速度的二次方成正比。动能与动量的本质区别还在于守恒定律中所表现出的特点不同：动量是机械运动相互传递时表现出的一个守恒量；而动能那么是当机械运动向热运动等其他形式运动转化时所表现出的一个量。（2）重力势能物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能。用公式表示：Ep=mgh。重力势能是标量，没有方向。重力势能有正负，重力势能为正表示物体的势能大于它的零势能面的势能，正的重力势能数值越大表示物体的重力势能越大；重力势能为负表示物体的势能小于它在零势能面的势能，负的重力势能数值越大表示物体的重力势能越小。重力势能的大小与零势能面的选取有关。由于零势能面的选取是任意的，所以物体的重力势能也是相对的，故物体重力势能的绝对量是没有意义的，只有物体势能的变化量才是有意义的。（3）弹性势能物体由于发生弹性形变而具有的能量叫做弹性势能。物体的弹性势能的大小与物体的材料、发生弹性形变的大小等有关。弹性势能与弹力做功的关系，与重力势能与重力做功的关系相类似：弹力做正功，物体的弹性势能就减少；弹力做负功，或者叫外力抑制弹力做功，物体的弹性势能就增加。对于弹性势能，我们只要定性了解就可以了，中学范围内对它的大小不做定量的讨论。二、动能定理1．动能定理的表述合外力做的功等于物体动能的变化。（这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力）。表达式为：W=ΔEk=Ek2-Ek1=mv22/2-mv12/2其中，W为外力所做的总功，是各个外力所做功的代数和。Ek2表示物体末状态的动能，Ek1表示物体初状态的动能。Ek2与Ek1的差△Ek为物体动能的变化量。动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。实际应用时，后一种表述比较好操作。不必求合力，特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功。（1）研究对象是一个物体动能定理是描述一个物体前后状态量之差与过程量之间关系的一个规律，它的研究对象是一个物体。（2）合外力引起物体运动状态的变化，外力所做总功引起物体的动能变化。动能定理反映的是外力的总功与物体动能变化之间的关系，跟合外力与物体运动状态的关系有所不同：如果一个物体受到的合外力不为零，物体的运动速度将发生变化；如果一个物体外力对它做的总功不为零，物体的动能将发生变化。外表看来两者似乎相同，但仔细分析会发现如果一个物体受到的合外力为零，物体运动状态将保持不变；如果外力对一个物体所做总功为零，物体动能保持不变，但物体的运动状态仍可能变化（运动方向可能变化）。（3）动能定理是一个标量式，应用时不用考虑方向。动能是正标量，无负值。但动能的变化量△Ek可以为负，当外力功的总和W为正功时，末动能大于初动能，△Ek为正；当外力功的总和为负功时，末动能小于初动能，△Ek为负。动能定理中功W，既为物体所受合外力的功，也为物体所受各个外力功的代数和。而且其外力既可以是有几个外力同时作用在物体上，也可以是先后作用在物体上的几个力。如：一个物体先受到力F1的作用，F1对物体做功W1，后改用力F2作用于物体，F2对物体做功W2，那么整个过程中外力对物体所做总功W=W1+W2。（49/9\n）和动量定理一样，动能定理也建立起过程量（功）和状态量（动能）间的联系。这样，无论求合外力做的功还是求物体动能的变化，就都有了两个可供选择的途径。和动量定理不同的是：功和动能都是标量，动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理。（5）应用动能定理时，还应注意参照物的选取。由于动能定理中的功和动能的大小均与参照物的选取有关，所以使用动能定理时，参照物不能变化。一般情况下，均取地面为参照物，即动能中物体的速度，各力做功中的物体位移，都是对地面而言的。2．木块在木板上相对滑动一质量为M的木板置于光滑水平面上，另一质量为m的木块以初速度v0在木板上滑动，木块与木板间存在大小为f的相互摩擦力，且木块在木板上滑动了一段距离s后两物体相对静止。讨论：此问题中由于木块对木板有摩擦力，所以当木块在木板上滑动的过程中，木板相对地面也滑动了一段距离，设木块和木板最后共同的速度为v′，这个速度我们是可以根据动量守恒定律求出来的。再设木板相对地面滑动距离为s1，木块相对于地面滑行的距离为s2。s2-s1=s即木块和木板对地面的位移之差就是相对位移。木块动能减少，根据动能定理有：mv2/2-mv′2/2=fs2木板动能增加，根据动能定理有：Mv′2/2=fs1上面两式相减，得：mv2/2-mv′2/2-Mv′2/2=fs2-fs1=fs等式左边就是系统前后动能的差，由于fs大于零，所以系统的动能减少了。由这个问题我们可以得到这样的结论：由于系统内的摩擦力做功，使系统机械能向内能转化，产生的内能等于系统动能的减少量且等于摩擦力乘以两物体间的相对位移。这一结论在实际应用中常可以使问题得到简化，是一个比较有用的结论。值得注意的是，摩擦力乘以相对位移并不是一个功，而是一对摩擦力做功的代数和。3．应用动能定理解题的步骤（1）确定研究对象和研究过程。和动量定理不同，动能定理的研究对象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动。（原因是：系统内所有内力的总冲量一定是零，而系统内所有内力做的总功不一定是零）。（2）对研究对象进展受力分析。（研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力）。（3）写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功（注意功的正负）。如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。（4）写出物体的初、末动能。（5）按照动能定理列式求解。【例3】如以下图，斜面倾角为α，长为L，AB段光滑，BC段粗糙，且BC=2AB。质量为m的木块从斜面顶端无初速下滑，到达C端时速度刚好减小到零。求物体和斜面BC段间的动摩擦因数μ。αCBA解：以木块为对象，在下滑全过程中用动能定理：重力做的功为mgLsinα，摩擦力做的功为，支持力不做功。初、末动能均为零。mgLsinα=0，从本例可知，由于用动能定理列方程时不牵扯过程中不同阶段的加速度，所以比用牛顿定律和运动学方程解题简洁得多。【例4】将小球以初速度v0竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%。设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小v。解：有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升过程对小球用动能定理：和，可得，再以小球为对象，在有空气阻力的情况下对上升和下落的全过程用动能定理。全过程重力做的功为零，所以有：，解得9/9\n从此题可以看出：根据题意灵活地选取研究过程可以使问题变得简单。有时取全过程简单；有时那么取某一阶段简单。原那么是尽量使做功的力减少，各个力的功计算方便；或使初、末动能等于零。【例5】质量为M的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h=0.20m，木块离台的右端L=1.7m。质量为m=0.10M的子弹以v0=180m/s的速度水平射向木块，并以v=90m/s的速度水平射出，木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为s=1.6m，求木块与台面间的动摩擦因数为μ。解：此题的物理过程可以分为三个阶段，在其中两个阶段中有机械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段。所以此题必须分三个阶段列方程：子弹射穿木块阶段，对系统用动量守恒，设木块末速度为v1，mv0=mv+Mv1①木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理，设木块离开台面时的速度为v2，有：②木块离开台面后的平抛阶段，③由①、②、③可得μ=0.50从此题应引起注意的是：但凡有机械能损失的过程，都应该分段处理。从此题还应引起注意的是：不要对系统用动能定理。在子弹穿过木块阶段，子弹和木块间的一对摩擦力做的总功为负功。如果对系统在全过程用动能定理，就会把这个负功漏掉。【例6】如以下图，小球以大小为v0的初速度由A端向右运动，到B端时的速度减小为vB；假设以同样大小的初速度由B端向左运动，到A端时的速度减小为vA。已知小球运动过程中始终未离开该粗糙轨道。比较vA、vB的大小，结论是ABCDGGNNA．vA>vBB．vA=vBC．vA<vBD．无法确定C解：小球向右通过凹槽C时的速率比向左通过凹槽C时的速率大，由向心力方程可知，对应的弹力N一定大，滑动摩擦力也大，抑制阻力做的功多；又小球向右通过凸起D时的速率比向左通过凸起D时的速率小，由向心力方程可知，对应的弹力N一定大，滑动摩擦力也大，抑制阻力做的功多。所以小球向右运动全过程抑制阻力做功多，动能损失多，末动能小，选A。三、机械能守恒定律1．机械能守恒定律的两种表述（1）在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。用公式表示：E1=E2。其中E1表示开场时系统的机械能，包括初状态时系统内各个物体的动能与势能，E2表示最终时系统的机械能，包括末状态时系统内各个物体的动能与势能。（2）如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和重力势能的相互转化时，机械能的总量保持不变。对机械能守恒定律的理解：①机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。②当研究对象（除地球以外）只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象（除地球以外）由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒。③“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”。2．机械能守恒定律的各种表达形式①，即；②；；用①时，需要规定重力势能的参考平面。用②时那么不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用ΔE增=ΔE减，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。3．应用机械能守恒定律解决问题时的步骤：9/9\n（1）确定研究对象即系统和研究过程即明确所研究的是哪些物体，它们之间有哪些相互作用，它们与外界的联系点是什么。（2）判断系统的机械能是否守恒如判断出系统的机械能守恒，判断系统机械能是否守恒时应根据机械能守恒条件，判断系统内物体间的相互作用是否只有重力和弹力，如果有别的力，这个力是否做功及外界是否对系统不做功。（3）再把系统内各个物体的动能与势能代入机械能守恒定律公式进展计算。代入物体机械能时要注意应把各个物体的动能和势能都考虑到，不能丢掉某一项，如果是一个物体与地球组成的系统，比方各种抛体问题，等式左右两边应各有一项动能和势能，如果是一个物体与地球组成的系统，如各种连接体问题，等式左右两边应各有两项动能和势能，如系统中还有弹性体，如含有弹簧，那么还要考虑弹性势能。其中如果合理选取零势能面，能使假设干项重力势能为零，使计算更为简化。【例7】如图物块和斜面都是光滑的，物块从静止沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？解：以物块和斜面系统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统不受摩擦和介质阻力，故系统机械能守恒。又由水平方向系统动量守恒可以得知：斜面将向左运动，即斜面的机械能将增大，故物块的机械能一定减少。有些同学一看此题说的是光滑斜面，容易错认为物块本身机械能就守恒。这里要提醒两条：（1）由于斜面本身要向左滑动，所以斜面对物块的弹力N和物块的实际位移s的方向已经不再垂直，弹力要对物块做负功，对物块来说已经不再满足“只有重力做功”的条件。（2）由于水平方向系统动量守恒，斜面一定会向左运动，其动能也只能是由物块的机械能转移而来，所以物块的机械能必然减少。ABO【例8】如以下图，质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开场时直角尺的AO局部处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开场自由转动，求：（1）当A到达最低点时，A小球的速度大小v；（2）B球能上升的最大高度h；（3）开场转动后B球可能到达的最大速度vm。解：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。（1）过程中A的重力势能减少，A、B的动能和B的重力势能增加，A的即时速度总是B的2倍。，解得（2）B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向左偏了α角。2mg2Lcosα=3mgL（1+sinα），此式可化简为4cosα-3sinα=3，利用三角公式可解得sin（53°-α）=sin37°，α=16°（3）B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功WG。设OA从开场转过θ角时B球速度最大，=2mg2Lsinθ-3mgL（1-cosθ）=mgL（4sinθ+3cosθ-3）≤2mgL，解得此题如果用EP+EK=EP′+EK′这种表达形式，就需要规定重力势能的参考平面，显然比较烦琐。用ΔE增=ΔE减就要简洁得多。【例9】如以下图，粗细均匀的U形管内装有总长为4L的水。开场时阀门K闭合，左右支管内水面高度差为L。翻开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计）解：由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L/29/9\n的水柱由左管移到右管。系统的重力势能减少，动能增加。该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力势能的减少。不妨设水柱总质量为8m，那么，得。K此题在应用机械能守恒定律时仍然是用ΔE增=ΔE减建立方程，在计算系统重力势能变化时用了等效方法。需要注意的是：研究对象仍然是整个水柱，到两个支管水面相平时，整个水柱中的每一小局部的速率都是相同的。四、功能关系做功的过程是能量转化的过程，功是能的转化的量度。能量守恒和转化定律是自然界最根本的定律之一。而在不同形式的能量发生相互转化的过程中，功扮演着重要的角色。本章的主要定理、定律都是由这个根本原理出发而得到的。需要强调的是：功是一种过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；而能是一种状态量，它个一个时刻相对应。两者的单位是相同的（都是J），但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。复习本章的一个重要课题是要研究功和能的关系，尤其是功和机械能的关系。突出：“功是能量转化的量度”这一根本概念。（1）物体动能的增量由外力做的总功来量度：W外=ΔEk，这就是动能定理。（2）物体重力势能的增量由重力做的功来量度：WG=-ΔEP，这就是势能定理。（3）物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W其=ΔE机，（W其表示除重力以外的其它力做的功），这就是机械能定理。（4）当W其=0时，说明只有重力做功，所以系统的机械能守恒。（5）一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能。fd=Q（d为这两个物体间相对移动的路程）。【例10】质量为m的物体在竖直向上的恒力F作用下减速上升了H，在这个过程中，以下说法中正确的有FGvAA．物体的重力势能增加了mgHB．物体的动能减少了FHC．物体的机械能增加了FHD．物体重力势能的增加小于动能的减少解：由以上三个定理不难得出正确答案是A、CABCD【例11】如以下图，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开场下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段以下说法中正确的选项是A．在B位置小球动能最大B．在C位置小球动能最大C．从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加D．从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加解：小球动能的增加用合外力做功来量度，A→C小球受的合力一直向下，对小球做正功，使动能增加；C→D小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，所以B正确。从A→C小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，所以C正确。A、D两位置动能均为零，重力做的正功等于弹力做的负功，所以D正确。选B、C、D。五、综合练习我们已经复习了牛顿定律、动量定理和动量守恒、动能定理和机械能守恒。它们分别反映了力的瞬时作用效应、力的时间积累效应和力的空间积累效应。解决力学问题离不开这三种解题思路。在比较复杂的题目中，这三种手段往往是交替使用的。下面举几个例说明这一点。【例12】如以下图，a、b、c三个相同的小球，a从光滑斜面顶端由静止开场自由下滑，同时b、c从同一高度分别开场自由下落和平抛。以下说法正确的有abcA．它们同时到达同一水平面B．重力对它们的冲量相同C．它们的末动能相同D．它们动量变化的大小相同9/9\n解：b、c飞行时间相同（都是）；a与b比较，两者平均速度大小相同（末动能相同）；但显然a的位移大，所以用的时间长，因此A、B都不对。由于机械能守恒，c的机械能最大（有初动能），到地面时末动能也大，因此C也不对。a、b的初动量都是零，末动量大小又相同，所以动量变化大小相同；b、c所受冲量相同，所以动量变化大小也相同，故D正确。这道题看似简单，实际上考察了平均速度、功、冲量等很多知识。另外，在比较中以b为中介：a、b的初、末动能相同，平均速度大小相同，但重力作用时间不同；b、c飞行时间相同（都等于自由落体时间），但初动能不同。此题如果去掉b球可能更难做一些。【例13】质量为m的汽车在平直公路上以速度v匀速行驶，发动机实际功率为P。假设司机突然减小油门使实际功率减为P/2并保持下去，汽车所受阻力不变，那么减小油门瞬间汽车加速度大小是多少？以后汽车将怎样运动？解：由公式F-f=ma和P=Fv，原来牵引力F等于阻力f，减小油门瞬间v未变，由P=Fv，F将减半，合力变为，方向和速度方向相反，加速度大小为；以后汽车做恒定功率的减速运动，F又逐渐增大，当增大到F=f时，a=0，速度减到最小为v/2，再以后一直做匀速运动。AB这道题是恒定功率减速的问题，和恒定功率加速的思路是完全相同的。【例14】质量为M的小车A左端固定一根轻弹簧，车静止在光滑水平面上，一质量为m的小物块B从右端以速度v0冲上小车并压缩弹簧，然后又被弹回，回到车右端时刚好与车保持相对静止。求这过程弹簧的最大弹性势能EP和全过程系统摩擦生热Q各多少？简述B相对于车向右返回过程中小车的速度变化情况。ABFf解：全过程系统动量守恒，小物块在车左端和回到车右端两个时刻，系统的速度是相同的，都满足：mv0=（m+M）v；第二阶段初、末系统动能相同，说明小物块从车左端返回车右端过程中弹性势能的减小恰好等于系统内能的增加，即弹簧的最大弹性势能EP恰好等于返回过程的摩擦生热，而往、返两个过程中摩擦生热是相同的，所以EP是全过程摩擦生热Q的一半。又因为全过程系统的动能损失应该等于系统因摩擦而增加的内能，所以ΔEK=Q=2EP而，∴，。至于B相对于车向右返回过程中小车的速度变化，那么应该用牛顿运动定律来分析：刚开场向右返回时刻，弹簧对B的弹力一定大于滑动摩擦力，根据牛顿第三定律，小车受的弹力F也一定大于摩擦力f，小车向左加速运动；弹力逐渐减小而摩擦力大小不变，所以到某一时刻弹力和摩擦力大小相等，这时小车速度最大；以后弹力将小于摩擦力，小车受的合外力向右，开场做减速运动；B脱离弹簧后，小车在水平方向只受摩擦力，继续减速，直到和B具有向左的共同速度，并保持匀速运动。【例15】海岸炮将炮弹水平射出。炮身质量（不含炮弹）为M，每颗炮弹质量为m。当炮身固定时，炮弹水平射程为s，那么当炮身不固定时，发射同样的炮弹，水平射程将是多少？解：两次发射转化为动能的化学能E是相同的。第一次化学能全部转化为炮弹的动能；第二次化学能转化为炮弹和炮身的动能，而炮弹和炮身水平动量守恒，由动能和动量的关系式知，在动量大小相同的情况下，物体的动能和质量成反比，炮弹的动能，，由于平抛的射高相等，两次射程的比等于抛出时初速度之比，有，故。这是典型的把动量和能量结合起来应用的应用题。要熟练掌握一个物体的动能和它的动量大小的关系；要善于从能量守恒的观点（此题是系统机械能增量相同）来分析问题。ABCv2v【例16】质量为m的长木板A静止在光滑水平面上，另两个质量也是m的铁块B、C同时从A的左右两端滑上A的上外表，初速度大小分别为v和2v，B、C与A间的动摩擦因数均为μ。（1）分析B、C滑上长木板A后，A的运动状态如何变化？（2）为使B、C不相撞，A木板至少多长？9/9\n解：B、C都相对于A滑动时，A所受合力为零，保持静止。这段时间为。B刚好相对于A静止时，C的速度为v，A开向左做匀加速运动，由动量守恒可求出A、B、C最终的共同速度，这段加速经历的时间为，最终A将以做匀速运动。全过程系统动能的损失都将转化为系统的内能，而摩擦生热，由能量守恒定律列式：，。这就是A木板应该具有的最小长度。Mmv此题还可以求系统机械能损失（摩擦生热）和B、C与A摩擦生热之比：第一阶段B对A的位移就是对地的位移：sB=v2/2μg，C的平均速度是其3倍因此C对A的位移是其3倍：sC=3v2/2μg；第二阶段A、B共同向左运动的加速度是μg/2，对地位移是s=v2/9μg，C平均速度是其4倍，对地位移是s/=4v2/9μg，相对于A位移是v2/3μg，故B、C与A间的相对位移大小依次是dB=v2/2μg和dC=11v2/6μg，于是系统摩擦生热为μmg（dB+dC）=7mv2/3，dB∶dC=3∶11【例17】质量M的小车左端放有质量m的铁块，以共同速度v沿光滑水平面向竖直墙运动，车与墙碰撞的时间极短，不计动能损失。动摩擦因数μ，车长L，铁块不会到达车的右端。到最终相对静止为止，摩擦生热多少？解：车与墙碰后瞬间，小车的速度向左，大小是v，而铁块的速度未变，仍是v，方向向左。根据动量守恒定律，车与铁块相对静止时的速度方向决定于M与m的大小关系：当M>m时，相对静止是的共同速度必向左，不会再次与墙相碰，可求得摩擦生热是；当M=m时，显然最终共同速度为零，当M<m时，相对静止时的共同速度必向右，再次与墙相碰，直到小车停在墙边，后两种情况的摩擦生热都等于系统的初动能【例18】一传送带装置如图示，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，末画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段的微小滑动）。已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机平均输出功率P。解：电动机做功的过程，电能除了转化为小货箱的机械能，还有一局部由于小货箱和传送带间的滑动摩擦而转化成内能。摩擦生热可以由Q=fd求得，其中f是相对滑动的两个物体间的摩擦力大小，d是这两个物体间相对滑动的路程。此题中设传送带速度一直是v，那么相对滑动过程中传送带的平均速度就是小货箱的2倍，相对滑动路程d和小货箱的实际位移s大小相同，故摩擦生热和小货箱的末动能大小相同Q=mv2/2。因此有W=mv2+mgh。又由已知，在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N，所以有，vT=NL，带入后得到。9/9