1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明．（重点）2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线.(难点) 一、情境导入下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况．二、合作探究探究点：切线的判定【类型一】已知直线过圆上的某一个点，证明圆的切线如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线．解析：要证明CD是⊙O的切线，即证明OC⊥CD．连接OC，由AC=CD，∠D=30°，则∠A=∠D=30°，得到∠COD=60°，∴∠OCD=90°．证明：如图，连接OC.∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【类型二】到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线如图，在△OAB中，OA=，OB=,OA⊥OB，以O为圆心，4为半径作⊙O，求证：AB是⊙O的切线．,解析：作OC⊥AB于点C，先利用勾股定理计算出AB=10，再利用面积法求出OC=4，而⊙O的半径为4，则根据切线的判定方法可判断AB是⊙O的切线．证明：作OC⊥AB于点C.∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°.在Rt△OAB中，AB==10.∵OC•AB=OB•OA，∴OC==4.∵⊙O的半径为4，∴OC为⊙O的半径.而OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线．方法总结：在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．【类型三】直线与圆的公共点没有确定时，证明圆的切线如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为圆心的圆与AB相切于点E．求证：AC与⊙D相切.解析：过点D作DF⊥AC，根据△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点，以及AB是⊙D的切线，得到DF=DE，说明DF是⊙D的一条半径，根据切线的判定定理证明AC是⊙D的切线．证明：作DF⊥AC于点F，连接AD、DE．∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE，∴AC是⊙D的切线．方法总结：如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．【类型四】切线的判定和有关计算如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，,DE⊥EB.(1)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；(2)若AD＝2，AE＝6，求EC的长．解析：(1)取BD的中点O，连接OE，如图，由∠BED＝90°，可得BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心，再证明OE∥BC，得到∠AEO＝∠C＝90°，可得结论；(2)设⊙O的半径为r，根据勾股定理和平行线分线段成比例定理，可求答案．(1)证明：取BD的中点O，连接OE，如图所示，∵DE⊥EB，∴∠BED＝90°，∴BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴OE⊥AE，∴AC是△BDE的外接圆的切线；(2)解：设⊙O的半径为r，则OA＝OD＋DA＝r＋2，OE＝r.在Rt△AEO中，有AE2＋OE2＝AO2，即62＋r2＝(r＋2)2，解得r＝2.∵OE∥BC，∴＝，即＝，∴CE＝3.方法总结：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某直线是圆的切线，已知此直线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．三、板书设计教学过程中，强调只要出现切线就要想到半径，就要想到有垂直的关系，要形成一个定势思维.
