第八章解析几何\n第四讲 直线与圆、圆与圆的位置关系\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.\n<>＝＝><\nd>r1＋r2无解\nd＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2一组实数解无解\n1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点．2．过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.\n\n题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()(2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()××\n(3)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()(4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．()√√\n题组二 走进教材2．(选择性必修1P98T3)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝______.\n题组三 走向高考3．(2019·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝_______，r＝______.－2\n\n4．(多选题)(2021·全国高考Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切ABD\n\n\n5．(2020·全国高考Ⅰ)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A．1B．2C．3D．4B\n考点突破·互动探究\n(1)(2022·重庆巴蜀中学月考)直线l：mx＋(m＋1)y－5m－3＝0(m∈R)与圆O1：x2－6x＋y2－8y＋16＝0的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．与m有关(2)(2021·广东广州综合测试)若直线kx－y＋1＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有公共点，则实数k的取值范围是()A．[－3，＋∞)B．(－∞，－3]C．(0，＋∞)D．(－∞，＋∞)例1A考点一直线与圆的位置关系——自主练透D\nC\n\n\n判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．(4)判断圆上到定直线的距离为定值的点的个数问题的关键是比较定值、圆心到直线的距离、半径的大小．\n相离D\n\n\n角度1圆的切线问题(1)(2022·广西南宁适应性测试)过点P(2，2)的直线l与圆(x－1)2＋y2＝1相切，则直线l的方程为()A．3x－4y＋2＝0B．4x－3y－2＝0C．3x－4y＋2＝0或x＝2D．4x－3y－2＝0或x＝2例2C考点二直线与圆的综合问题——多维探究\nA\n\n\n\nx＋2y－2＝00\n例3C\n\n\n直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)求解过圆上一点的切线问题用“切线垂直过切点的半径”；求解过圆外一点的切线问题用待定系数法，利用“圆心到直线的距离等于半径”求解．易错点是忽略切线斜率不存在的情况，造成丢解．处理直线与圆的问题要时刻关注圆心到直线的距离这个关键．\n注：①过圆C内一点P的最短弦所在直线与PC垂直，最长弦所在直线是PC．②过圆C外P作圆的切线，切点为A、B，则AB是圆C与以PC为直径的圆的公共弦．\nx＝0或4x－3y－3＝0C\n\n\n例4考点三圆与圆的位置关系——师生共研B\nACD\n\n\n\n[引申]本例(1)中两圆公共弦所在直线的方程为________________，公共弦长为______.2x－2y－1＝0\n如何处理两圆的位置关系判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心距与两圆半径和、差之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2、y2项得到．求公共弦长时在一个圆中求解即可．\nD\n名师讲坛·素养提升\n例5ACD\n\n例6B\nB\n\n(3,7)\n根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题，以形助数，使问题变得简单．——数形结合将生疏、复杂、难解的问题通过变换化为熟悉、简单、易解的问题．——转化与化归\nD\nD\n\n
