数学学科（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍．那么锐角B的正切值（A）扩大4倍；（B）扩大2倍；（C）保持不变；（D）缩小4倍．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，那么的三角比值为的是（A）sinA；（B）cosA；（C）tanA；（D）cotA．3．下列二次函数与抛物线的对称轴相同的函数是（A）；（B）；ABCD（第4题图）（C）；（D）．4．如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，那么下列条件中不能判定△ABC∽△ACD的是（A）；（B）；（C）∠B=∠ACD；（D）∠ADC=∠ACB．5．如果，，且，那么下列结论正确的是（A）；（B）；（C）与方向相同；（D）与方向相反．1Oxy（第6题图）23-16．二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的结论有（A）2个；（B）3个；（C）4个；（D）5个．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．如果x︰y=5︰2，那么的值为▲．8．已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长线段AP的长是▲厘米．9．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，，那么AB的长是▲．10．两个相似三角形的面积之比是9︰25，其中较大的三角形一边上的高是5厘米，那么另一个三角形对应边上的高为▲厘米．11．为单位向量，与的方向相同，且长度为2，那么=▲．12．如果抛物线的顶点是坐标轴的原点，那么m的值是▲．13．已知抛物线的图像的对称轴为直线，那么▲．（填“>”或“<”或“=”）（第14题图）（第15题图）CBA（第16题图）DE14．如图所示，用手电来测量古城墙高度，将水平的平面镜放置在点P处，光线从点A出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙CD的顶端C处．如果AB⊥BD，CD⊥BD，AB=1.5米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是▲米．15．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度是▲．16．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D是AB边上一点，Oyx（第17题图）CBAP将△ACD沿CD翻折，点A恰好落在边BC上的点E处，那么AD=▲．17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（a，3）（a>4），射线OA与反比例函数的图像交于点P，过点A作x轴的垂线交双曲线于点B，过点A作y轴的垂线交双曲线于点C，联结BP、CP，那么的值是▲．CAB（第18题图）18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AC边上一点，将△ACB沿着过点P的一条直线翻折，使得点A落在边AB上的点Q处，联结PQ，如果∠CQB=∠APQ，那么AQ的长为▲．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：．20．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图，AD、BE是△ABC的中线，交于点G，且=，=．ADECB（第20题图）G（1）直接写出向量关于、的分解式，=▲．（2）在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）21．（本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分，满分10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠CAB=2，点A的坐标为（-1，0），点B在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．（1）求经过B、C两点的直线的表达式．（2）求图像经过A、B、C三点的二次函数的解析式．yCxO（第21题图）AB22．（本题满分10分）为了维护南海的主权，我国对相关区域进行海空常态化立体巡航．如图，在一次巡航中，预警机沿AE方向飞行，驱护舰沿BP方向航行，且航向相同（AE∥BP）．当预警机飞行到A处时，测得航行到B处的驱护舰的俯角是45º，此时B距离相关岛屿P恰为60千米；当预警机飞行到C处时，驱护舰恰好航行到预警机正下方D处，此时CD=10千米；当预警机继续飞行到E处时，驱护舰到达相关岛屿P，且测得E处的预警机的仰角为22º．求预警机的飞行距离AE．（结果保留整数）（参考数据：，，．）BAEDCP（第22题图）323．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D是边BC上的中点，过点C作CE⊥BC，交BA的延长线于点E，过点B作BH⊥AC，交AD于点F，交AC于点H，交CE于点G．ABDC（第23题图）EFGH求证：（1）；（2）．24．（本题共3题，每小题4分，满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．点C为抛物线的顶点．（1）用含a的代数式表示顶点C的坐标；（2）当顶点C在△AOB内部，且时，求抛物线的表达式；yBxOA（第24题图）（3）如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移个单位后，平移后的抛物线的顶点P仍在△AOB内，求a的取值范围．25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分，满分14分）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，点E在射线CB上，点F在射线CD上，且∠EAF=∠BAD．（1）如图①，如果∠BAD=90°，求证：AE=AF；（2）如图②，当点E在CB的延长线上时，如果∠ABC=60°，设DF=x，，试建立y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结AC，BE=2，当△AEC是等腰三角形时，请直接写出DF的长．FADEBC（第25题图）（第25题图②）FADEBC（第25题图①）ADFEBC2021学年九年级第一学期期末考试数学学科答案要点及评分标准一、选择题：1．C；2．B；3．D；4．A；5．D；6．C．二、填空题：7．；8．；9．6；10．3；11．2；12．-1；13．>；14．10；15．（1︰1.5）；16．；17．1；18．．三、解答题：19．解：原式=1+1-2+-2，…………………………………………（2分+2分+2分+2分）=-2．………………………………………………………………（2分）ADECB（第20题图）GMN20．解：（1）．…………………………………（4分）（2）画图正确．…………………………………（2分+2分）∴是向量在向量方向上的分向量，…（1分）是向量在向量方向上的分向量．…（1分）21．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠CAB=2，∴，又∵点A的坐标为（-1，0），∴OA=1，∴OC=2．………………………（1分）∵CO是Rt△ABC的斜边AB上的高，∴Rt△AOC∽Rt△COB．∴，∴OB=4．………………………（1分）∵点B在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2）．……………………（2分）设所求的直线的表达式为，由题意，得，解得……………………………………（1分）∴所求的直线的表达式为．……………………………………（1分）（2）设所求的二次函数解析式为，由题意，得………………………………………………………（1分）解得…………………………………………………………………………（2分）∴所求的二次函数解析式为．……………………………（1分）22．解：过点B作BH⊥AE，过点P作PG⊥AE，垂足分别为H，G．………………（1分）由题意得，BP=60千米，∠A=45°，∠3EPQ=22°．…………………………（3分）∵CD=10，CD⊥AE，BH⊥AE，PG⊥AE，AE//BP，∴BH=PG=CD=10，BP=HG=60．∵在Rt△BHA中，∠BHA=90°，∠A=45°，∴BH=HA=10．……………………………………………………………………（2分）∵∠EPQ=22°，AP//BD，∴∠EPQ=∠E=22°．∵在Rt△PGE中，∠PGE=90°，∠E=22°，∴，．…………………………（2分）∴AE=10+60+25=95（千米）．……………………………………………………（1分）答：预警机的飞行距离为95千米．…………………………………………………（1分）BAEDCP（第22题图）HGQ23．证明：（1）∵，∴∠ABC=∠ACB．……………………………………（1分）∵BH⊥CA，BC⊥CE，∴∠BHC=∠BCE=90°，………………………………………………（1分）在△BCH和△BEC中∴△BCH∽△BCE．………………………………………………………（2分）∴,即．…………………………………（2分）（2）∵△BCH∽△BCE，∴∠HBC=∠E．…………………………………………………………（1分）∵AD∥CE∴∠E=∠BAD…………………………………………………………（1分）∴∠HBC=∠BAD………………………………………………………（1分）∵，点D是BC的中点∴BD=BC……………………………………………………………（1分）在△BFD和△ABD中∴△BFD∽△ABD∴，即…………………………………………（1分）∴………………………………………………………（1分）∴．24．解：（1）∵．……………………………（2分）∴C（a，）．……………………………………………………………（2分）（2）令y=0，那么，，∴∴．…………………………………（2分）∴．∴．……………………………………………………………（2分）（3）法1：由题意得平移后的抛物线的顶点坐标为（a+1，）…………（2分）设，，∴平移后抛物线的顶点坐标在直线：上．法2：抛物线的顶点坐标为C（a，），点C在直线上．∴平移后抛物线的顶点坐标在直线：上．…………（2分）∵抛物线的顶点在△AOB内∴和解得和；∴．…………………………………………………………………（2分）25．（1）证明：∵∠EAF=∠BAD，∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAD．∴∠EAB=∠AFD．…………………………………………………（2分）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=90°∴AB=AD，即∠ABC=∠D=90°．∵在△ABE和△AED中，∠EAB=∠AFD，AB=AD，∠ABE=∠ADF，∴△ABE≌△AED．∴AE=AF．……………………………………………………………（2分）（2）解：以F为圆心，FD为半径作圆，交射线AD与点G，联结FG．……（1分）∵FD=FG∴∠D=∠DGF，∵四边形ABCD是菱形，∴∠D=∠ABC=60°．∴ADF是等边三角形．∴DF=DG=x．∴∠ABE=∠AGF=120°．在△ABE和△ADF中，∠ABE=∠AGF，∠EAB=∠FAD．∴△ABE∽△AGF．…………………………………………………（3分）∴．∴．………………………………………………（2分）（3）解：，，，．（4分，有一种情况得一分）3
