九年级数学试卷考生注意：1．本试卷共25题．2．试卷满分150分．考试时间100分钟．3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．4．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.如果，且b是a和c的比例中项，那么等于（▲）（A）；（B）；（C）；（D）.2.在比例尺为1:5000的地图上，如果A、B两地间的距离是10厘米，那么这两地的实际距离是（▲）（A）50000米；（B）5000米；（C）500米；（D）50米.3.已知为非零向量，，，那么下列结论中，不正确的是（▲）（A）；（B）；（第4题）（C）；（D）.4.如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是（▲）（A）；（B）；（C）；（D）.5.把抛物线向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为（▲）（A）；（B）；（C）；（D）.6.下列格点三角形中，与右侧已知格点△ABC相似的是（▲）.（A）（B）（C）（D）9二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7.已知点B在线段AC上，AB=2BC，那么AC∶AB的比值是▲.8.如果的值是黄金分割数，那么的值为▲.9.计算：=▲.10.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果，那么的值是▲.11.已知二次函数，当时，函数y的值是▲.12.据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为y万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为x（x>0），那么y关于x的函数解析式为▲.13.如果抛物线的顶点在x轴上，那么m的值是▲.14.已知△ABC的两条中线AD、BE相交于点F.如果AF=10，那么AD的长为▲.15.如图，一段铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的上底宽AD为3米，路基高为1米，斜坡AB的坡度i=1:1.5，那么路基的下底宽BC是▲米.（第16题）（第17题）（第15题）16.如图，已知一张三角形纸片ABC，AB=5，BC=2，AC=4，点M在AC边上.如果过点M剪下一个与△ABC相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设AM=x，那么x的取值范围是▲.17.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P在CD边上，联结AP.如果将△ADP沿直线AP翻折，点D恰好落在线段BC上，那么的值为▲.18.如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”.已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为▲.9ED三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6.（1）求tanB的值；（2）延长BC至点D，联结AD，如果∠ADB=30°，求CD的长.20.（本题满分10分）如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF=2DF，BF交AC于点E，又．（1）设，，用向量、表示向量▲，▲；（2）如果∠ABC=90°，AD=3，AB=4，求BE的长.21.（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数图像的顶点为A，且经过B.（1）求二次函数的解析式；（2）将该二次函数图像向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过坐标原点？并直接写出平移后所得图像与x轴的另一个交点的坐标.922.（本题满分10分）AMNP如图，小杰在湖边高出水面MN约10米的平台处发现一架无人机停留在湖面上空的点处，该无人机在湖中的倒影为点.小杰测得点的仰角为45°，点的俯角为60°，试求该无人机离开湖面的高度.（结果保留根号）23.（本题满分12分）如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、C、E在同一直线上，联结BD交AC边于点F.（1）如果∠ABD=∠CAD，求证：；（2）如果，，求的值.24.（本题满分12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A（，0）、B（3，0）、C（0，3），顶点为点D.（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）联结BD、CD，试判断△BCD与△AOC是否相似，并证明你的结论；（3）抛物线上是否存在点P，使得∠PAC=45°.如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.925.（本题满分14分）如图，已知正方形ABCD，将边AD绕点A逆时针方向旋转（）到AP的位置，分别过点C、D作CE⊥BP，DF⊥BP，垂足分别为点E、F.DABECPF（1）求证：CE=EF；（2）联结CF，如果，求∠ABP的正切值；（3）联结AF，如果，求的值.2021学年第一学期期末考试九年级数学试卷评分参考一、选择题：（大题共6题，每题4分，满分24分）1．D；2．C；3．B；4．D；5．C；6.A．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.；8.；9.；10.；11.﹣1；12.；13.2；14.15；15.6；16.；17.；18.2.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）解：（1）过点A作AH⊥BC，垂足为H……………………………………1分∵AB=AC，∴BH=BC=3……………………………………1分Rt△ABH中，由勾股定理得AH=4……………………………1分∴tanB=…………………………………………………2分（2）Rt△AHD中，∵∠D=30°，∴tanD=.…………………1分∴HD=…………………………………………………………2分∴CD=HD－HC=……………………………………………2分20.（本题满分10分）解：（1）；.…………………………………………………4分（2）∵AD=3，AF=2DF，∴AF=2.…………………………………………1分∵，∴AD//BC，……………………………………2分9∴,∠DAB=∠ABC=90°………………………………………1分Rt△ABF中，由勾股定理得………………………………………1分∴………………………………………………1分21.（本题满分10分，每小题满分各5分）解：（1）由顶点A（﹣1,2）设二次函数的解析式为…………2分∵二次函数图形经过点B（﹣3,0），∴，∴…………2分∴二次函数解析式为.………………………………………1分（2）∵B（﹣3,0）向右平移3个单位到达坐标原点，∴二次函数的图像向右平移3个单位后所得到的函数图像经过原点.………………………………………………3分平移后所得图像与x的轴另一个交点坐标是（4,0）.……………………………………2分22.（本题满分10分）解：联结，与MN交于点H，过点A作AG//MN，交于点G…………1分由题意得，⊥MN，∠AGP=90°，∠AMN=90°，PH=.AG=MH，AM=GH=10m，∠PAG=45°，∠=60°…………2分设PG=x，Rt△APG中，∠PAG=45°，∴AG=PG=x.…………………2分Rt△中，∠=60°，∴=.……………2分∵，∴，∴.……………………………………………………2分∴PH=.………………………………1分23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）（1）证：∵△ABC和△CDE为等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BAC=60°.∵∠ABD=∠CAD，∴△ABF≌△CAD，∴DA=BF.……………………………2分∵∠ADF=∠BDA，∴△DAF∽△DBA，………………………………………2分9∴，∴，…………………………………………1分∴.………………………………………………………………1分（2）∵∠BAC=∠ACD=60°，∴DC//AB，∴，∴…………………………………………………………………………2分∵，∴.……………………………………………1分易证△ABC∽△DCE，∴…………………………………………2分.………………………………………………………………………1分24.（本题满分12分,每小题满分各4分）解：（1）∵经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0,3）由题意得a=-1，b=2，c=3∴抛物线的表达式是………………………………………………………3分∴顶点D（1,4）………………………………………………………………………………1分（2）过点D作DH⊥y轴，垂足为H.由D（1，4），得DH=1，HO=4.由A（﹣1，0）、C（0，3）得，AO=1，CO=3.∴HC=HO-CO=4-3=1，∴HC=HD=1，∴CD=，∠HCD=45°.由B（3,0），得CO=BO=2，BC=，∠OCB=45°.……………………………………1分∴∠DCB=180°-∠HCD-∠BCO=90°，∴∠AOC=∠DCB.………………………………1分tan∠CAO==3，tan∠BDC==3，∴∠CAO=∠BDC.……………………………1分∴△BCD∽△COA.……………………………………………………………………………1分（3）过C和B分别作y轴和x轴的垂线，交于点M，在BM上取点Q，使得MQ=AO，∴Q（3，2），BQ=2.…………………………………1分9易证△CQM≌△CAO，∴∠ACO=∠QCM，CA=CQ，∴∠ACQ=90°.…………………1分∴∠CAQ=45°，∴AQ与抛物线在第一象限内的交点即为点P.设点P的坐标是（，），且m＞0.过点P作PG⊥x轴，垂足为G，∴G（，0），∴AG=，，tan∠QAB=，∴tan∠PAG=，…………………1分∴，解得（不合题意，舍去），，∴点P的坐标是…………………1分25.（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)(3)小题满分各5分）解：（1）如图1，过点D作DH⊥EC，垂足为H.…………………………………………1分∵DF⊥BP，CE⊥BP，∴∠DFE=∠FEC=∠DHE=90°，∴DH=EF.…………………1分易证△BEC≌△CHD，∴DH=CE，…………………………………………………………1分∴CE=EF.…………………………………………………………………………………1分（2）如图2，易证∠ABP=∠CDH.∵AB=AP，∴∠ABP=∠APB=，同理，∠APD=∠ADP=，∴∠FPD=45°，∴FD=FP.…………………………………………………………………1分∵EF=EC，∴，∴.……………………………………………1分∵∠PFD=∠FEC=90°，∴△PFD∽△FEC，∴.……………………1分设PF=x，则EF=3x，∴HC=2x，tan∠CDH=.…………………………1分9（3）如图3，过点A作AG⊥BP，垂足为G.………………………………………………1分易证△PAF≌△DAF，∴∠PAF=.∵∠BAP=（90＋n）°，∴∠GAP=45°＋，∴∠FAG=45°.……………………1分设AG=，则AF=.∵，∴AB=2.…………………………………………………………1分Rt△ABG中，AB=2AG，∴∠ABP=30°.…………………………………………………1分图3图2图19
