6.1平面向量的概念及线性运算第六章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.4.通过实例分析,掌握平面向量的数乘运算及运算规则,理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.\n备考指导本节内容是平面向量的基础,复习时要注意辨析并理解相关概念,会进行向量的线性运算,能利用共线向量基本定理解决相关问题.涉及题目难度不大,对数学抽象学科素养体现较多.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.向量的有关概念\n\n2.向量的加法(1)向量加法的线性运算\n\n(2)向量加法的运算律①交换律:a+b=b+a.②结合律:(a+b)+c=a+(b+c).\n知识拓展向量求和的多边形法则(1)已知n个向量,依次首尾相接,则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和,这称为向量求和的多边形法则,即(2)首尾顺次相接的若干向量求和,若构成一个封闭图形,则它们的和为0.\n3.向量的减法(1)相反向量①定义:与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量.②性质:-(-a)=a,a+(-a)=(-a)+a=0;如果a与b互为相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(2)向量的减法①定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.③几何意义:a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.\n温馨提示1.记忆口诀:共起点,连终点,指向被减.在用三角形法则作向量减法时,只要记住“连接向量终点,箭头指向被减向量”即可.\n4.向量的数乘(1)定义:一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa.长度:|λa|=|λ||a|.方向:当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0,方向任意.(2)几何意义:λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长(|λ|>1)或缩短(|λ|<1)为原来的|λ|倍.(3)运算律:设λ,μ为实数,a,b为向量,则有①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.\n5.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.6.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.\n问题思考||a|-|b||与|a±b|及|a|+|b|有什么关系?已知向量a,b,那么||a|-|b||与|a±b|及|a|+|b|三者之间的关系为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.(1)当a,b有一个为零向量时,不等式显然成立.(2)当a,b不共线时,,如图①所示.根据三角形的性质,有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.同理可证||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.(3)当a,b为非零向量且共线时,若向量a与b同向,则|a+b|=|a|+|b|(如图②所示),|a-b|=||a|-|b||;若向量a,b反向,不妨设|a|>|b|,则|a+b|=|a|-|b|(如图③所示),|a-b|=|a|+|b|.图①图②图③综上所述,得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.\n\n【知识巩固】×√×××\nDD\n4.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1辨析平面向量的有关概念例1(1)对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A若a+b=0,则a=-b,所以a∥b.若a∥b,则a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件.\n(2)给出下列命题:①若|a|=|b|,则a=b或a=-b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;③若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;④a=b的充要条件是|a|=|b|,且a∥b.其中真命题的序号是.②\n解题心得对于向量的概念应注意以下几条:(1)向量的两个特征为大小和方向.向量既可以用有向线段和字母表示,也可以用坐标表示.(2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,故相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量.(3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,故向量只有相等与不相等,不可以比较大小.\n对点训练1(1)给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;③若λa=0(λ为实数),则λ必为零;④已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中假命题的个数为()A.1B.2C.3D.4C\n①假命题.方向相同或相反的非零向量是共线向量,另规定:零向量与任意向量共线.故①中命题为假命题.②真命题.因为向量有方向,所以它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.③假命题.当a=0时,不论λ为何值,λa=0.④假命题.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意向量.\n(2)设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行,且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数为.3向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相等,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时,a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.\n能力形成点2平面向量的线性运算B\nA\n解题心得1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.\nA\nB\n能力形成点3向量共线定理及其应用\n\n拓展延伸2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?解因为ka+b与a+kb反向共线,所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),又λ<0,k=λ,所以k=-1.故当k=-1时,两向量反向共线.\n解题心得1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.2.向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立;若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则向量a,b不共线.\nD\nD\n第三环节 学科素养提升\n易错警示——都是零向量“惹的祸”典例1下列说法正确的是.(填序号)①向量a,b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使b=λa;②在△ABC中,③不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中两个等号不可能同时成立;④只有方向相同或相反的向量是平行向量;⑤若向量a,b不共线,则向量a+b与向量a-b必不共线.答案:⑤解析:因为向量a与b不共线,所以向量a,b,a+b与a-b均不为零向量.若a+b与a-b平行,则存在实数λ使a+b=λ(a-b),即(λ-1)a=(1+λ)b,此时λ无解,故假设不成立,即a+b与a-b不共线.故⑤正确;①②③④显然错误.\n典例2下列叙述错误的是.①若非零向量a与b方向相同或相反,则a+b与a,b之一的方向相同;②|a|+|b|=|a+b|⇔a与b方向相同;③④若λa=λb,则a=b.答案:①②③④解析:对于①,当a+b=0时,其方向任意,它与a,b的方向都不相同;对于②,当a,b中有一个为零向量时,结论不成立;对于③,因为两个向量之和仍是一个向量,所以;对于④,当λ=0时,不管a,b的大小与方向如何,都有λa=λb,此时不一定有a=b.\n反思提升在向量的有关概念中,定义长度为0的向量叫做零向量,其方向是任意的,并且规定:0与任一向量平行.由于零向量的特殊性,在两个向量共线或平行问题上,如果不考虑零向量,那么往往会得出错误的结论.在向量的运算中,很多学生也往往忽视0与0的区别,导致结论错误.
