第二篇专题篇•核心知识 专题提升\n专题六 函数与导数第四讲 导数的综合应用\n导航立前沿•考点启方向自主先热身•真题定乾坤核心拔头筹•考点巧突破明晰易错点•高考零失误\n导航立前沿•考点启方向\n导数日益成为解决数学问题强有力的工具，利用导数研究函数的单调性与极(最)值是常见题型，而导数与函数、不等式的交汇命题，则是高考的热点和难点．在高考压轴题中，常以二次函数、指数函数、对数函数为载体考查函数的零点、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立等热点问题．高考导航\n(理科)高频考点年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷21利用导数研究函数的单调性12全国卷乙卷20导数的综合应用122020Ⅰ卷21利用导数研究单调性以及不等式的综合应用12Ⅱ卷21讨论函数的单调性以及不等式的证明12Ⅲ卷21导数的几何意义以及函数零点问题122019Ⅰ卷20函数的极值、问题12Ⅱ卷20函数的单调性、零点以及曲线的公切线问题12Ⅲ卷20函数的单调性、最值问题12\n(文科)年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷20导数的综合应用12全国卷乙卷21导数的综合应用122020Ⅰ卷20函数的单调性以及函数的零点问题12Ⅱ卷21函数单调性以及不等式恒成立问题12Ⅲ卷20函数的单调性与零点问题122019Ⅰ卷20函数的零点存在问题、不等式与参数范围12Ⅱ卷21函数极值点以及方程的根问题12Ⅲ卷/\n自主先热身•真题定乾坤\n真题热身\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n(文科)1．(2021·全国卷甲卷)设函数f(x)＝a2x2＋ax-3lnx＋1，其中a>0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围．\n\n\n\n2．(2021·全国卷乙卷)已知函数f(x)＝x3-x2＋ax＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标．\n\n\n\n3．(2020·全国卷Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex-a(x＋2)．(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝ex-(x＋2)，f′(x)＝ex-1，令f′(x)<0，解得x<0，令f′(x)>0，解得x>0，所以f(x)的减区间为(-∞，0)，增区间为(0，＋∞)；\n\n\n\n\n\n当0<x<a时，lnx<lna，所以m′(x)>0，m(x)单调递增，因此有m(x)<m(a)＝0，即g′(x)<0，所以g(x)单调递减，所以函数g(x)在区间(0，a)和(a，＋∞)上单调递减，没有递增区间．\n5．(2020·全国卷Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x3-kx＋k2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若有f(x)三个零点，求k的取值范围．\n\n\n\n\n对于导数的综合问题每年都必须考查，主要是针对以下方面出题，而且题目难度较大，一般放在试卷的21～22位置：(1)函数单调性和极值、最值的分类讨论．(2)研究方程的根，可以通过构造函数g(x)的方法，把问题转化为研究构造的函数g(x)的零点问题．以及函数g(x)的单调性、结合零点存在定理判断其零点的个数．(3)利用导数证明不等式．(4)利用导数解决恒成立问题．感悟高考\n核心拔头筹•考点巧突破\n1．常见重要不等式(1)lnx≤x-1(x＞0)；(2)ex≥x＋1.(当且仅当x＝0时等号成立)考点一 利用导数研究不等式问题\n2．构造辅助函数的四种方法(1)移项法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的问题转化为证明f(x)-g(x)＞0(f(x)-g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)-g(x)．(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．(3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)[或f(x1，x)]．(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数．\n3．含有双变量的不等式问题的常见转化策略(1)∀x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)＞g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的最小值＞g(x)在[c，d]上的最大值．(2)∃x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)＞g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的最大值＞g(x)在[c，d]上的最小值．(3)∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，f(x1)＞g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的最小值＞g(x)在[c，d]上的最小值．(4)∃x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，f(x1)＞g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的最大值＞g(x)在[c，d]上的最大值．\n典例1\n\n\n\n利用导数证明不等式的两个妙招(1)构造函数法证明不等式①移项，使等式右边为零，左边构造为新函数．②求导判断单调性，通常要对参数分类讨论．③根据单调性，求出最值与“0”比较即可得证．\n(2)转化函数最值法证明不等式①条件：函数很复杂，直接求导不可行．②拆分：把复杂函数拆分成两个易求最值函数．③方法：分别求导，结合单调性和图象以及极值、最值，比较得出结论．\n角度2利用导数解决不等式恒(能)成立问题(2021·重庆八中高三月考)已知函数f(x)＝ex-kx，g(x)＝x2＋k2-3.(1)讨论函数y＝f(x)的单调区间；(2)若2f(x)≥g(x)对任意x≥0恒成立，求实数k的取值范围．典例2\n【解析】(1)f′(x)＝ex-k，①当k≤0时，f′(x)>0恒成立，则y＝f(x)在R上单调递增；②当k>0时，x>lnk时，f′(x)>0，y＝f(x)的单调递增区为(lnk，＋∞)；x<lnk时，f′(x)<0，y＝f(x)的单调递减区间为(-∞，lnk)．\n\n\n\n利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数后转化为函数最值问题：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可．(2)转化为含参函数的最值问题：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，伴有对参数的分类讨论，然后构建不等式求解．\n\n\n\n方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解．考点二 利用导数研究函数的零点问题\n典例3\n【解析】(1)当a＝-2时，f(x)＝xex-x2-2x，f′(x)＝ex＋xex-2x-2＝ex(x＋1)-2(x＋1)＝(x＋1)(ex-2)，令f′(x)>0，即(x＋1)(ex-2)>0，解得x>ln2或x<-1，令f′(x)<0，即(x＋1)(ex-2)<0，解得-1<x<ln2，所以函数的单调递增区间为(-∞，-1)，(ln2，＋∞)；单调递减区间为(-1，ln2)．\n\n\n\n\n\n\n利用导数研究函数零点问题的思路(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解．(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．\n典例4\n\n当-1<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以当x＝1时，函数取得极大值2，符合题意，所以a＝-1，b＝3.\n\n\n根据函数零点个数确定参数取值范围的基本思路也是数形结合，即根据函数的单调性、极值、函数值的变化趋势大致得出函数y＝f(x)的图象，再根据零点个数确定函数y＝f(x)的图象交点的个数，得出参数满足的不等式，求得参数的取值范围，一个基本的技巧是把f(x)＝0化为g(x)＝h(x)，据f(x)零点个数确定函数y＝g(x)，y＝h(x)图象的交点个数，得出参数满足的不等式，求得参数的取值范围．\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n明晰易错点•高考零失误\n已知函数f(x)＝x2＋ax＋3-a若x∈[-2，2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．典例易错点：用错恒成立的条件\n\n\n\n
