高考大题增分专项六高考中的概率与统计\n-2-从近五年的高考试题来看,在高考的解答题中,对概率、统计与统计案例的考查主要有三个方面:一是统计与统计案例,其中回归分析、独立性检验,用样本的数字特征估计总体的数字特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查;二是统计与概率分布的综合,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、频率、概率以及概率分布列等知识交汇考查;三是均值与方差的综合应用,常用离散型随机变量、概率、相互独立事件、二项分布等知识交汇考查.\n-3-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-4-题型一题型二题型三题型四题型五题型六例1某地区2013年至2019年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:(1)求y关于t的线性回归方程;(2)利用(1)中的回归方程,分析2013年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入.\n-5-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-6-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-7-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-8-题型一题型二题型三题型四题型五题型六对点训练1下图是某地区2003年至2019年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.\n-9-题型一题型二题型三题型四题型五题型六为了预测该地区2021年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2003年至2019年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根据2013年至2019年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2021年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.\n-10-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解:(1)利用模型①,该地区2021年的环境基础设施投资额的预测值为\n-11-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下:(i)从折线图可以看出,2003年至2019年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2003年至2019年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2013年相对2012年的环境基础设施投资额有明显增加,2013年至2019年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2013年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2013年至2019年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2013年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.\n-12-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(ii)从计算结果看,相对于2019年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.(以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可)\n-13-题型一题型二题型三题型四题型五题型六有关独立性检验的问题的解题步骤:(1)作出2×2列联表;(2)计算随机变量χ2的值;(3)查临界值,检验作答.\n-14-题型一题型二题型三题型四题型五题型六例2海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:旧养殖法新养殖法\n-15-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;\n-16-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).\n-17-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解:(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”.由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66.故P(C)的估计值为0.66.因此,事件A的概率估计值为0.62×0.66=0.4092.\n-18-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表由于15.705>6.635,因此有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.\n-19-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,箱产量低于55kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,故新养殖法箱产量的中位数的估计值为\n-20-题型一题型二题型三题型四题型五题型六对点训练2某市气象部门对该市中心城区近四年春节期间(每年均统计春节假期的前7天)的空气污染指数进行了统计分析,且按是否燃放鞭炮分成两组,得到如图的茎叶图,根据国家最新标准,空气污染指数不超过100的表示没有雾霾,超过100的表示有雾霾.(1)若从茎叶图有雾霾的14天中随机抽取2天,用随机变量ξ表示被抽中且未燃放鞭炮的天数,求ξ的分布列及均值;(2)通过茎叶图填写下面的2×2列联表,并判断在犯错误的概率不超过多少时可以认为燃放鞭炮与产生雾霾有关?\n-21-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-22-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-23-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(2)通过茎叶图填写2×2列联表如下,\n-24-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(1)直接法:正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的事件或独立重复试验问题,然后用相应概率公式求解.(2)间接法:当复杂事件正面情况比较多,反面情况较少时,可利用其对立事件进行求解,即“正难则反”.对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解.\n-25-题型一题型二题型三题型四题型五题型六例3某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);\n-26-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求事件C发生的概率.\n-27-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解:(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如图所示.通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.(2)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,\n-28-题型一题型二题型三题型四题型五题型六则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1∪CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).\n-29-题型一题型二题型三题型四题型五题型六对点训练3某市为准备参加省中学生运动会,对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试,将全体运动员的成绩绘制成频率分布直方图,同时用茎叶图表示甲、乙两队运动员本次测试的成绩(单位:cm,且均为整数).由于某些原因,茎叶图中乙队的部分数据丢失,但已知所有运动员中成绩在190cm以上(包括190cm)的只有两个人,且均在甲队.规定:跳高成绩在185cm以上(包括185cm)定义为“优秀”.(1)求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在[160,170)(单位:cm)内的运动员人数b;(2)从甲、乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人,已知至少有1人成绩为“优秀”,求两人成绩均为“优秀”的概率;\n-30-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(3)从甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛,求所选取的运动员中来自甲队的人数X的分布列.\n-31-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解：(1)由频率分布直方图可知,成绩在190cm以上(包含190cm)的运动员的频率为0.005×10=0.05,∴成绩在[160,170)中运动员的频率为0.03×10=0.3,人数为40×0.3=12.由茎叶图可知,甲队成绩在[160,170)的运动员有3名,∴b=12-3=9(人).\n-32-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(2)由频率分布直方图可得,成绩在180cm以上的运动员总人数为(0.020+0.005)×10×40=10.由茎叶图可得,甲、乙两队成绩在180cm以上的人数恰好为10,所以乙在这部分的数据不缺失,且优秀的总人数为6.设事件A为“至少有1人成绩优秀”,事件B为“两人成绩均为优秀”,\n-33-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(3)X的可能取值为0,1,2,\n-34-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二题型六策略三突破策略一用字母表示事件法处理独立事件、互斥事件的概率分布列、均值问题使用简洁、准确的数学语言描述解答过程是解答这类问题并得分的根本保证.引进字母表示事件可使得事件的描述简单而准确,使得问题描述有条理,不会有遗漏,也不会重复.\n-35-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二题型六策略三例4在某娱乐节目的一期比赛中,有6名歌手(1至6号)登台演出,由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的歌手,各家媒体独立地在投票器上选出3名出彩候选人,其中媒体甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,另在2号至6号中随机选出2名;媒体乙不欣赏2号歌手,他必不选2号;媒体丙对6名歌手的演唱没有偏爱,因此在1至6号歌手中随机地选出3名.(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及均值.\n-36-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二题型六策略三\n-37-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二题型六策略三\n-38-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二题型六策略三对点训练4某电视台推出一档游戏类综艺节目,选手面对1~5号五扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐,选手需正确回答这首歌的名字,回答正确,大门打开,并获得相应的家庭梦想基金,正确回答每一扇门后,选手可自由选择带着目前奖金离开,还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金,但是一旦回答错误,游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零.\n-39-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二题型六策略三(1)求选手最终获得12000元家庭梦想基金的概率;(2)若选手在整个游戏过程中获得的家庭梦想基金数额为X元,求X的分布列和均值.\n-40-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二题型六策略三解(1)记“选手正确回答第i扇门歌曲名字”为事件Ai(i=1,2,…,5),“回答正确后选择继续挑战”为事件B,则对应事件的概率分别为\n-41-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二题型六策略三\n-42-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二题型六策略三\n-43-题型一题型二题型三题型四题型五题型六策略一策略二策略三突破策略二用公式法求古典概型的概率及其分布列求有关古典概型的概率,首先根据古典概型的特点(有限性和等可能性)进行判断,然后利用排列组合的知识分别求基本事件数和所求事件包含的基本事件数,最后代入概率公式求解.\n-44-题型一题型二题型三题型四题型五题型六策略一策略二策略三例5在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).\n-45-题型一题型二题型三题型四题型五题型六策略一策略二策略三解:(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,\n-46-题型一题型二题型三题型四题型五题型六策略一策略二策略三因此X的分布列为X的数学期望是\n-47-题型一题型二题型三题型四题型五题型六策略一策略二策略三对点训练5某校校庆,各届校友纷至沓来,某班共来了n名校友(n>8),其中女校友6名,组委会对这n名校友登记制作了一份校友名单,现随机从中选出2名校友代表,若选出的2名校友是一男一女,则称为“最佳组合”.(1)若随机选出的2名校友代表为“最佳组合”的概率不小于,求n的最大值;(2)当n=12时,设选出的2名校友代表中女校友人数为X,求随机变量X的分布列和均值E(X).\n-48-题型一题型二题型三题型四题型五题型六策略一策略二策略三\n-49-题型一题型二题型三题型四题型五题型六策略一策略二策略三突破策略三在条件概率与其分布列的综合问题中要理清P(A|B)与P(AB)的区别与联系(1)发生时间不同:在P(A|B)中,事件A,B的发生有时间上的差异,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同时发生.(2)样本空间不同:在P(A|B)中,事件B成为样本空间;在P(AB)中,样本空间仍为总的样本空间,因而有P(A|B)≥P(AB).\n-50-题型一题型二题型三题型四题型五题型六策略一策略二策略三例6某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.\n-51-题型一题型二题型三题型四题型五题型六策略一策略二策略三解:(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),\n-52-题型一题型二题型三题型四题型五题型六策略一策略二策略三(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.\n-53-题型一题型二题型三题型四题型五题型六策略一策略二策略三对点训练6某市环保知识竞赛由甲、乙两支代表队进行总决赛,每队各有3名队员,首轮比赛每人一道必答题,答对则为本队得1分,答错或者不答都得0分,已知甲队3人答对的概率分别为,设每人回答正确与否相互之间没有影响,用ξ表示甲队总得分.(1)求随机变量ξ的分布列及其均值E(ξ);(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下,甲队比乙队得分高的概率.\n-54-题型一题型二题型三题型四题型五题型六策略一策略二策略三\n-55-题型一题型二题型三题型四题型五题型六策略一策略二策略三\n-56-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-57-题型一题型二题型三题型四题型五题型六例7某市推行“共享汽车”服务,租用该车按行驶里程加用车时间收费,标准是“1元/千米+0.2元/分”.刚在该市参加工作的小刘拟租用“共享汽车”上下班,同单位的邻居老李告诉他:“上下班往返总路程虽然只有10千米,但偶尔开车上下班总共也需花费大约1小时”,并将自己近50天的往返开车的花费时间情况统计如表:\n-58-题型一题型二题型三题型四题型五题型六将老李统计的各时间段频率视为相应概率,假定往返的路程不变,而且每次路上开车花费时间视为用车时间.(1)试估计小刘每天平均支付的租车费用(每个时间段以中点时间计算);(2)小刘认为只要上下班开车总用时不超过45分钟,租用“共享汽车”为他该日的“最优选择”,小刘拟租用该车上下班2天,设其中有ξ天为“最优选择”,求ξ的分布列和数学期望.\n-59-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解:(1)由题意可得如下用车花费与相应频率的数表:估计小刘平均每天用车费用为14×0.2+16×0.36+18×0.24+20×0.16+22×0.04=16.96(元).\n-60-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(2)ξ可能的取值为0,1,2,开车总用时不超过45分钟的概率为0.8,ξ~B(2,0.8),E(ξ)=2×0.8=1.6.\n-61-题型一题型二题型三题型四题型五题型六对点训练7某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有除颜色外其他完全相同的4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列、均值和方差.\n-62-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解(1)记事件A1为“从甲箱中摸出的1个球是红球”,A2为“从乙箱中摸出的1个球是红球”,B1为“顾客抽奖1次获一等奖”,B2为“顾客抽奖1次获二等奖”,C为“顾客抽奖1次能获奖”.\n-63-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-64-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-65-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解决与正态分布有关的问题,在理解μ,σ2的意义情况下,记清正态分布的密度曲线是一条关于μ对称的钟形曲线,很多问题都是利用图象的对称性解决的.\n-66-题型一题型二题型三题型四题型五题型六例8从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).\n-67-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果,求E(X).附:≈12.2.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.9545.\n解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)①由(1)知,Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.6827.②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6827,依题意知X~B(100,0.6827),所以E(X)=100×0.6827=68.27≈68.-68-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-69-题型一题型二题型三题型四题型五题型六对点训练8为了解大学生每年旅游消费支出(单位:百元)的情况,随机抽取了某大学的2000名学生进行问卷调查,并把所得数据列成如下所示的频数分布表:(1)根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出Z服从正态分布N(51,152),若该所大学共有学生45000人,试估计有多少名同学的旅游费用支出在8100元以上;(2)已知样本数据中旅游费用支出在[80,100)范围内的9名学生中有5名男生、4名女生,现想选其中3名学生回访,记选出的女生人数为Y,求Y的分布列与数学期望.附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<x<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<x<μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<x<μ+3σ)≈0.9973.\n-70-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解：(1)由题意知,旅游费用支出在8100元以上的概率为所以该校旅游费用支出在8100元以上的人数为45000×0.0228=1026(人).(2)由题意可得,Y的可能取值有0,1,2,3,共4种情况,\n-71-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-72-解决高考解答题中的统计与统计案例,以及统计与概率相结合的综合问题,先通过审题将条件与结论分块,并加以转化或具体化,再分块处理加以整合,其中解决题目中有关概率问题的关键是读懂题意,能从题目的统计背景中抽取有关概率的相关信息,然后将信息转化为概率所属类型,按照概率所属类型求出概率.
