第十一章概率\n-2-\n11.1随机事件的概率\n-4-知识梳理双基自测234151.事件的分类可能发生也可能不发生\n-5-知识梳理双基自测234152.频率与概率(1)频率的概念:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的,称事件A出现的比例为事件A出现的.(2)概率与频率的关系:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用______来估计概率P(A).频数频率频率fn(A)\n-6-知识梳理双基自测234153.事件的关系与运算发生一定发生A⊇BA=B当且仅当事件A发生或事件B发生A∪B(或A+B)B⊇A(或A⊆B)\n-7-知识梳理双基自测23415当且仅当事件A发生且事件B发生A∩B(或AB)不可能A∩B=⌀不可能必然事件A∩B=⌀,且A∪B=Ω\n-8-知识梳理双基自测234154.互斥事件与对立事件的关系对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.\n-9-知识梳理双基自测234155.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:.(2)必然事件的概率:P(A)=.(3)不可能事件的概率:P(A)=.(4)概率的加法公式:若事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=.(5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件.P(A∪B)=,P(A)=.0≤P(A)≤110P(A)+P(B)11-P(B)\n2-10-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)事件发生的频率与概率是相同的.()(2)随机事件和随机试验是一回事.()(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.()(4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生.()(5)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1.()××√√×\n-11-知识梳理双基自测234152.将一枚硬币向上抛掷10次,其中“正面向上恰有5次”是()A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定B\n-12-知识梳理双基自测234153.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶答案解析解析关闭事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况,由互斥事件的定义,可知“两次都不中靶”与之互斥.答案解析关闭D\n-13-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭\n-14-知识梳理双基自测234155.从一副不包括大小王的扑克牌(52张)中,随机抽取1张,事件A为“抽得红桃K”,事件B为“抽得黑桃”,则概率P(A∪B)=(结果用最简分数表示).答案解析解析关闭答案解析关闭\n-15-知识梳理双基自测23415自测点评1.频率与概率有本质的区别,不可混为一谈.频率随着试验次数的改变而变化,概率却是一个常数.当试验次数越来越多时,频率向概率靠近.2.随机事件和随机试验是两个不同的概念,没有必然的联系.在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件;如果试验结果试验前无法确定,那么试验就叫做随机试验.3.对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件.\n-16-考点1考点2考点3例1(1)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数,事件B表示向上的一面出现的数字不超过3,事件C表示向上的一面出现的数字不小于4,则()A.A与B是互斥而非对立事件B.A与B是对立事件C.B与C是互斥而非对立事件D.B与C是对立事件答案解析解析关闭(1)根据互斥事件与对立事件的定义作答,A∩B={出现点数1或3},事件A,B不互斥更不对立;B∩C=⌀,B∪C=Ω(Ω为必然事件),故事件B,C是对立事件.答案解析关闭(1)D\n-17-考点1考点2考点3(2)若从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,则互斥而不对立的事件有.(填序号)①至少有一个红球,都是红球;②至少有一个红球,都是白球;③至少有一个红球,至少有一个白球;④恰有一个红球,恰有两个红球.思考如何判断随机事件之间的关系?答案解析解析关闭(2)由互斥与对立的关系及定义知,①不互斥,②对立,③不互斥,④互斥不对立.答案解析关闭(2)④\n-18-考点1考点2考点3解题心得判断随机事件之间的关系有两种方法:(1)紧扣事件的分类,结合互斥事件、对立事件的定义进行分析判断;(2)类比集合进行判断,把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给事件的关系.若两个事件所含的结果组成的集合的交集为空集,则这两事件互斥;事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.\n-19-考点1考点2考点3对点训练1(1)在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是的事件是()A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡(2)某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报纸”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报纸”,事件E为“一种报纸也不订”.则下列两个事件是互斥事件的有;是对立事件的有.(填序号)①A与C;②B与E;③B与C;④C与E.②②A\n-20-考点1考点2考点3解析:(1)至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件,故选A.(2)①由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”,即事件A与事件C有可能同时发生,因此A与C不是互斥事件.②事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B不发生可导致事件E一定发生,且事件E不发生会导致事件B一定发生,因此B与E还是对立事件.\n-21-考点1考点2考点3③事件B“至少订一种报纸”中有这些可能:“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”,事件C“至多订一种报纸”中有这些可能:“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”,由于这两个事件可能同时发生,因此B与C不是互斥事件.④由③的分析,事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能,即事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不是互斥事件.\n-22-考点1考点2考点3例2某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:\n-23-考点1考点2考点3(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.\n-24-考点1考点2考点3\n-25-考点1考点2考点3(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.\n-26-考点1考点2考点3解题心得1.概率是频率的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时,频率越稳定于概率.2.求随机事件的概率的常用方法有两种:(1)可用频率来估计概率;(2)利用随机事件A包含的基本事件数除以基本事件总数.计算的方法有:列表法;列举法;树状图法.\n-27-考点1考点2考点3对点训练2某超市随机选取1000名顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.\n-28-考点1考点2考点3(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)若顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?解:(1)从统计表可以看出,在这1000名顾客中有200名顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为=0.2.(2)从统计表可以看出,在这1000名顾客中,有100名顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200名顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.\n-29-考点1考点2考点3(3)与(1)同理,可得:\n例3经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?思考求互斥事件的概率一般方法有哪些?-30-考点1考点2考点3\n-31-考点1考点2考点3解记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A+B+C,故P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D+E+F,故P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,故P(H)=1-P(G)=0.44.\n-32-考点1考点2考点3解题心得求互斥事件的概率一般有两种方法(1)公式法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件,运用互斥事件的求和公式计算;(2)间接法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P()求出,特别是“至多”“至少”型题目,用间接法求较简便.\n-33-考点1考点2考点3对点训练3黄种人群中各种常见血型的人所占比例大约如下:已知同种血型的人可以互相输血,O型血的人可以给任一种血型的人输血,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若他因病需要输血,问(1)任找一人,其血可以输给小明的概率是多少?(2)任找一人,其血不能输给小明的概率是多少?\n-34-考点1考点2考点3解(1)对任一人,其血型为A,B,AB,O分别记为事件A',B',C',D',它们是互斥的.由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.因为B型,O型血可以输给B型血的人,所以“任找一人,其血可以输给小明”为事件B'∪D',根据概率加法公式,得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64.(2)(方法一)因为A型,AB型血不能输给B型血的人,所以“任找一人,其血不能输给小明”为事件A'∪C',根据概率加法公式,得P(A'∪C')=P(A')+P(C')=0.28+0.08=0.36.(方法二)记“任找一人,其血不能输给小明”为事件E,则与其血可以输给小明是对立事件,则P(E)=1-0.64=0.36.\n-35-考点1考点2考点31.对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).2.若某一事件包含的基本事件较多,而它的对立事件包含的基本事件较少,则可用“正难则反”思想求解.1.正确认识互斥事件与对立事件的关系:对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件.2.注意概率加法公式的使用条件,在概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,易忽视只有当A∩B=⌀,即A,B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B),此时P(A∩B)=0.\n-36-一、易错警示——忽视概率加法公式的应用条件致误典例1抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是,记事件A为“出现奇数点”,事件B为“向上的点数不超过3”,求P(A∪B).解:记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1,A2,A3,A4,由题意知这四个事件彼此互斥.反思提升1.若审题不仔细,未对A∪B事件作出正确判断,误认为P(A∪B)=P(A)+P(B),则易出现P(A∪B)=1的错误.2.解决互斥事件的有关问题时,应重点注意以下两点:(1)应用加法公式时,一定要注意其前提是各事件是互斥事件.(2)对于事件A∪B,有P(A∪B)≤P(A)+P(B),只有当A,B互斥时,等号才成立.\n-37-二、思想方法——“正难则反”思想在概率中的应用“正难则反”的思想是一种常见的数学思想,如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现.在解决问题时,如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决,那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果,大大降低题目的难度.在求对立事件的概率时,经常应用“正难则反”的思想,即若事件A与事件B互为对立事件,在求P(A)或P(B)时,利用公式P(A)=1-P(B)先求容易的一个,再求另一个.\n-38-典例2某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据如下表所示.已知这100名顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)求一名顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)\n-39-解:(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,解得x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100名顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均值估计,其估计值为(2)记A为事件“一名顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”,A2表示事件“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”,将频率视为概率得
