第二章函数\n-2-\n2.1函数及其表示\n-4-知识梳理双基自测234151.函数与映射的概念数集集合任意数x都有唯一确定数f(x)任意元素x都有唯一确定元素y\n-5-知识梳理双基自测23415f:A→Bf:A→B\n-6-知识梳理双基自测234152.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,叫做函数的值域,显然,值域是集合B的子集.(2)函数的三要素:、和.(3)相等函数:如果两个函数的相同,并且完全一致,那么我们就称这两个函数相等.x的取值范围A函数值的集合{f(x)|x∈A}定义域值域对应关系定义域对应关系\n-7-知识梳理双基自测234153.函数的表示方法表示函数的常用方法有、和.解析法图象法列表法\n-8-知识梳理双基自测234154.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的,其值域等于各段函数的值域的,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.对应法则并集并集\n-9-知识梳理双基自测234155.函数定义域的求法\n2-10-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)函数是其定义域到值域的映射.()(2)函数y=f(x)的图象与直线x=1有两个交点.()(3)定义域相同,值域也相同的函数一定是相等函数.()(4)二次函数y=x2-1的值域可以表示为{y|y=x2-1,x∈R},即为{y|y≥-1}.()(5)分段函数是由两个或两个以上的函数组成的.()√××√×\n-11-知识梳理双基自测23415A.[-1,1]B.(0,1]C.[-1,0)D.[-1,0)∪(0,1]答案解析解析关闭答案解析关闭\n-12-知识梳理双基自测234153.设f,g都是从A到A的映射(其中A={1,2,3}),其对应关系如下表:则f(g(3))等于()A.1B.2C.3D.不存在答案解析解析关闭由题中表格知g(3)=1,故f(g(3))=f(1)=3.答案解析关闭C\n-13-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭\n-14-知识梳理双基自测234155.已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-15-知识梳理双基自测23415自测点评1.由于映射中的两个集合是非空集合,函数中的两个集合是非空数集,故函数是特殊的映射.2.判断两个函数是否为相等函数,关键是看定义域和对应关系是否相同.3.求分段函数的函数值,要依据自变量所属的区间,选择对应关系求解.当自变量不确定时,需分类讨论.\n-16-考点1考点2考点3考点4例1以下给出的同组函数中,表示同一函数的有.(只填序号)f2:\n-17-考点1考点2考点3考点4③f1:y=2x;f2:如图所示.思考怎样判断两个函数是同一函数?答案解析解析关闭①不是同一函数.f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0},f2(x)的定义域为R.②是同一函数,x与y的对应关系完全相同且定义域相同,它们是同一函数的不同表示方式.③是同一函数.答案解析关闭②③\n-18-考点1考点2考点3考点4解题心得两个函数是否是同一个函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才表示同一函数.另外,函数的自变量习惯上用x表示,但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均表示同一函数.\n-19-考点1考点2考点3考点4对点训练1下列函数中,与函数y=x相等的是()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-20-考点1考点2考点3考点4A.(0,2)B.(0,1)∪(1,2)C.(0,2]D.(0,1)∪(1,2](2)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是()A.y=xB.y=lgx思考已知函数解析式,如何求函数的定义域?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-21-考点1考点2考点3考点4解题心得1.函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合,求解时,把自变量的限制条件列成一个不等式(组),不等式(组)的解集就是函数的定义域,解集要用集合或者区间表示.2.常见的求定义域的方法:(1)若f(x)为整式,则函数的定义域为R;(2)若f(x)为分式,则要求分母不为0;(3)若f(x)为对数式,则要求真数大于0;(4)若f(x)为根指数是偶数的根式,则要求被开方式非负;(5)若f(x)描述实际问题,则要求使实际问题有意义.如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么求定义域常常等价于解不等式(组).\n-22-考点1考点2考点3考点4对点训练2函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是()A.[-3,1]B.(-3,1)C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)答案解析解析关闭答案解析关闭\n-23-考点1考点2考点3考点4(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求f(x);(4)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)+2f(-x)=x2-x,求f(x).思考求函数解析式有哪些基本的方法?\n-24-考点1考点2考点3考点4\n-25-考点1考点2考点3考点4\n-26-考点1考点2考点3考点4解题心得函数解析式的求法:(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),根据函数类型设出函数解析式,根据题设条件,列出方程组,解出待定系数即可.(2)换元法:已知f(h(x))=g(x),求f(x)时,往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元,求出f(t)的解析式,再将t替换为x即可.(3)函数方程法:已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他未知量,如f(-x),,则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).提醒:因为函数的解析式相同,定义域不同,则为不相同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R,那么一定要注明函数的定义域.\n-27-考点1考点2考点3考点4(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=.\n-28-考点1考点2考点3考点4\n-29-考点1考点2考点3考点4考向一求分段函数的函数值思考求分段函数的函数值时,如何选取函数的解析式?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-30-考点1考点2考点3考点4考向二解分段函数对应的方程A.2B.4C.6D.8思考由分段函数的等式求分段函数中的参数应该如何选取函数的解析式?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-31-考点1考点2考点3考点4考向三解分段函数对应的不等式思考如何选取分段函数不等式中的解析式?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-32-考点1考点2考点3考点4解题心得分段函数问题的求解策略:(1)分段函数的求值问题,首先确定自变量的值属于哪个区间,然后选定相应的解析式代入求解.(2)对求含有参数的自变量的函数值,如果不能确定自变量的范围,那么应采取分类讨论.(3)解由分段函数构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论.\n-33-考点1考点2考点3考点4C[-4,2]\n-34-考点1考点2考点3考点4\n-35-考点1考点2考点3考点41.函数的定义域是研究函数的基础,它与函数的对应法则决定了函数的值域,同时,定义域和对应法则相同的两个函数是同一个函数,因此,要树立函数定义域优先的意识.2.函数有三种表示方法,即列表法、图象法、解析法;求函数解析式常用的方法有换元法(凑配法)、待定系数法和方程法.3.分段函数“两种”题型的求解策略:(1)根据分段函数解析式求函数值,首先确定自变量的值属于哪个区间,然后选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数值的范围求自变量的值或范围,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.\n-36-考点1考点2考点3考点4在求分段函数的值f(x0)时,首先要判断x0属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.\n-37-抽象函数的定义域问题抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说具有一定难度,特别是求其定义域时,许多同学解答起来总感觉棘手,在高考中一般不会单独考查,但从提升能力方面考虑,还应有所涉及.\n-38-典例若函数y=f(x)的定义域是[1,2021],则函数g(x)=的定义域是()A.[0,2020]B.[0,1)∪(1,2020]C.(1,2021]D.[-1,1)∪(1,2020]点拨:利用换元法求出函数f(x+1)的定义域,而函数g(x)的定义域为f(x+1)的定义域与不等式x-1≠0的解集的交集.答案:B\n-39-解析要使函数f(x+1)有意义,则有1≤x+1≤2021,解得0≤x≤2020,故函数f(x+1)的定义域为[0,2020].解得0≤x<1或1<x≤2020.故函数g(x)的定义域为[0,1)∪(1,2020],故选B.反思提升函数的定义域是函数解析式中自变量的取值范围,即f(x)与f(g(x))的定义域都是自变量x的取值范围,常见有如下两种类型:(1)已知函数f(x)的定义域为D,则函数f(g(x))的定义域就是不等式g(x)∈D的解集;(2)已知函数f(g(x))的定义域为D,则函数f(x)的定义域就是函数y=g(x)(x∈D)的值域.
