2021年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题(本大题共有10个小题，每小题3分，共30分)1．（3分）（2021•荆州）在实数﹣1，0，12，2中，无理数是（ ）A．﹣1B．0C．12D．22．（3分）（2021•荆州）如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）A．B．C．D．3．（3分）（2021•荆州）若等式2a2•a+□＝3a3成立，则□填写单项式可以是（ ）A．aB．a2C．a3D．a44．（3分）（2021•荆州）阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（ ）如图：已知直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c．证明：①∵a⊥b（已知）∴∠1＝90°（垂直的定义）②又∵b∥c（已知）第38页（共38页）\n∴∠1＝∠2（同位角相等，两直线平行）③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换）④∴a⊥c（垂直的定义）A．①B．②C．③D．④5．（3分）（2021•荆州）若点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ）A．B．C．D．6．（3分）（2021•荆州）已知：如图，直线y1＝kx+1与双曲线y2=2x在第一象限交于点P（1，t），与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是（ ）第38页（共38页）\nA．t＝2B．△AOB是等腰直角三角形C．k＝1D．当x＞1时，y2＞y17．（3分）（2021•荆州）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是（ ）A．15°B．22.5°C．30°D．45°8．（3分）（2021•荆州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ）A．AD＝CDB．∠ABP＝∠CBPC．∠BPC＝115°D．∠PBC＝∠A9．（3分）（2021•荆州）如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC第38页（共38页）\n长为半径画AC，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）A．23π-3+12B．23π-3-12C．2πD．2π-3-1210．（3分）（2021•荆州）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）A．k＜54且k≠0B．k≤54C．k≤54且k≠0D．k≥54二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)11．（3分）（2021•荆州）已知：a＝（12）﹣1+（-3）0，b＝（3+2）（3-2），则a+b= ．12．（3分）（2021•荆州）有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是 ．13．（3分）（2021•荆州）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E．若AD＝4，DF=52，则BE＝ ．14．（3分）（2021•荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC第38页（共38页）\n可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为 cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，3≈1.73）15．（3分）（2021•荆州）若关于x的方程2x+mx-2+x-12-x=3的解是正数，则m的取值范围为 ．16．（3分）（2021•荆州）如图，过反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为 ．三、解答题(本大题共有8个小题，共72分)17．（8分）（2021•荆州）先化简，再求值：a2+2a+1a2-a÷（1+2a-1），其中a＝23．18．（8分）（2021•荆州）已知：a是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1＝0．第38页（共38页）\n19．（8分）（2021•荆州）如图，在5×5的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段ED与AD的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．请在网格图形中画图：（1）以线段AD为边画正方形ABCD，再以线段DE为斜边画等腰直角三角形DEF，其中顶点F在正方形ABCD外；（2）在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABCD和△DEF面积之和，其它顶点也在格点上．20．（8分）（2021•荆州）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野，…为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样的样本容量为 ；（2）补全条形统计图；第38页（共38页）\n（3）扇形统计图中a的值为 ，圆心角β的度数为 ；（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？对这些学生用一句话提一条阅读方面的建议．21．（8分）（2021•荆州）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质： ；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为： ；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是 ．（2）延伸思考：将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．22．（10分）（2021•荆州）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w第38页（共38页）\n元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．23．（10分）（2021•荆州）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC＝90°，延长GF交AB于H，连接CH．①求证：△CDG∽△GAH；②求tan∠GHC．（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．24．（12分）（2021•荆州）已知：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，∠AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BE＝t．（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由；（2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；（3）若tan∠AOC＝k，经过点A的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点为P，且有6a+3b+2c＝0，△POA的面积为12k，当t=22时，求抛物线的解析式．第38页（共38页）\n第38页（共38页）\n2021年湖北省荆州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共有10个小题，每小题3分，共30分)1．（3分）（2021•荆州）在实数﹣1，0，12，2中，无理数是（ ）A．﹣1B．0C．12D．2【分析】根据有理数（包括整数和分数）和无理数（无限不循环的小数）的定义判断即可．【解答】解：选项A、B：∵﹣1、0是整数，∴﹣1、0是有理数，∴选项A、B不符合题意；选项C：∵12是分数，∴12是有理数，∴选项C不符合题意；选项D：∵2是无限不循环的小数，∴2是无理数，∴选项D符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001……，等有这样规律的数．2．（3分）（2021•荆州）如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）A．B．第38页（共38页）\nC．D．【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．【解答】解：从上边看，是一个矩形，矩形的内部有一个与矩形两边相切的圆．故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题时要注意俯视图是从上边看得到的图形．3．（3分）（2021•荆州）若等式2a2•a+□＝3a3成立，则□填写单项式可以是（ ）A．aB．a2C．a3D．a4【分析】直接利用单项式乘单项式以及合并同类项法则计算得出答案．【解答】解：∵等式2a2•a+□＝3a3成立，∴2a3+□＝3a3，∴□填写单项式可以是：3a3﹣2a3＝a3．故选：C．【点评】此题主要考查了单项式乘单项式以及合并同类项，正确掌握单项式乘单项式运算法则是解题关键．4．（3分）（2021•荆州）阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（ ）如图：已知直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c．证明：①∵a⊥b（已知）∴∠1＝90°（垂直的定义）②又∵b∥c（已知）第38页（共38页）\n∴∠1＝∠2（同位角相等，两直线平行）③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换）④∴a⊥c（垂直的定义）A．①B．②C．③D．④【分析】根据垂直的定义得到∠1＝90°，再根据两直线平行，同位角相等得到∠2＝90°，即可判定a⊥c．【解答】证明：①∵a⊥b（已知），∴∠1＝90°（垂直的定义），②又∵b∥c（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等），③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换），∴a⊥c（垂直的定义），①～④步中数学依据错误的是②，故选：B．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．5．（3分）（2021•荆州）若点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ）第38页（共38页）\nA．B．C．D．【分析】由P点关于x轴的对称点在第四象限，得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．【解答】解：∵点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，∴点P在第一象限，∴a+1＞02-2a＞0，解得：﹣1＜a＜1，在数轴上表示为：，故选：C．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，能根据题意得出不等式组是解此题的关键．6．（3分）（2021•荆州）已知：如图，直线y1＝kx+1与双曲线y2=2x在第一象限交于点P（1，t），与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是（ ）第38页（共38页）\nA．t＝2B．△AOB是等腰直角三角形C．k＝1D．当x＞1时，y2＞y1【分析】利用待定系数法求得t，k，利用直线的解析式求得A，B的坐标，可得线段OA，OB的长度，利用图象可以判断函数值的大小．【解答】解：∵点P（1，t）在双曲线y2=2x上，∴t=21=2，正确；∴A选项不符合题意；∴P（1，2）．∵P（1，2）在直线y1＝kx+1上，∴2＝k+1．∴k＝1，正确；∴C选项不符合题意；∴直线AB的解析式为y＝x+1令x＝0，则y＝1，∴B（0，1）．∴OB＝1．令y＝0，则x＝﹣1，∴A（﹣1，0）．第38页（共38页）\n∴OA＝1．∴OA＝OB．∴△OAB为等腰直角三角形，正确；∴B选项不符合题意；由图像可知，当x＞1时，y1＞y2．∴D选项不正确，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了一次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，待定系数法，数形结合．利用待定系数法求得函数的解析式是解题的关键．7．（3分）（2021•荆州）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是（ ）A．15°B．22.5°C．30°D．45°【分析】连接OB，根据直角三角形的边角关系可求出∠BOC＝30°，进而求出∠BOD＝60°最后再由圆周角定理得出答案．【解答】解：如图，连接OB，∵A（2，0），D（4，0），矩形OABC，∴OA＝2，OD＝4＝OB，第38页（共38页）\n∴∠OBA＝30°，∴∠BOD＝90°﹣30°＝60°，∴∠BED=12∠BOD=12×60°＝30°，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理及其推论，直角三角形的边角关系，掌握圆周角定理及其推论是解决问题的前提．8．（3分）（2021•荆州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ）A．AD＝CDB．∠ABP＝∠CBPC．∠BPC＝115°D．∠PBC＝∠A【分析】利用线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理一一判断即可．【解答】解：由作图可知，点D在AC的垂直平分线上，∴DA＝DC，故选项A正确，∴∠A＝∠ACD＝40°，第38页（共38页）\n由作图可知，BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，故选项B正确，∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣40°）＝70°，∵∠PBC=12∠ABC＝35°，∠PCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，∴∠BPC＝180°﹣35°﹣30°＝115°，故选项C正确，若∠PBC＝∠A，则∠A＝36°，显然不符合题意．故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．9．（3分）（2021•荆州）如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画AC，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）A．23π-3+12B．23π-3-12C．2πD．2π-3-12【分析】连接AC，延长AP，交BC于E，根据菱形的性质得出△ABC是等边三角形，进而通过三角形全等证得AE⊥BC，从而求得AE、PE，利用S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC即可求得．【解答】解：连接AC，延长AP，交BC于E，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，第38页（共38页）\n∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，在△APB和△APC中，AB=ACAP=APPB=PC，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠PAB＝∠PAC，∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，∵△BPC为等腰直角三角形，∴PE=12BC＝1，在Rt△ABE中，AE=32AB=3，∴AP=3-1，∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC=60π×22360-12（3-1）×1-12×2×1=23π-3+12，故选：A．【点评】本题考查了扇形的面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求得PA、PE是解题的关键．10．（3分）（2021•荆州）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝第38页（共38页）\nmn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）A．k＜54且k≠0B．k≤54C．k≤54且k≠0D．k≥54【分析】先根据新定义得到k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，整理得kx2+（5﹣2k）x+k＝0，因为方程有两个实数解，所以k≠0且△＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，解得k≤54且k≠0．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．把有新定义运算的方程化为一元二次方程的一般式是解决问题的关键．二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)11．（3分）（2021•荆州）已知：a＝（12）﹣1+（-3）0，b＝（3+2）（3-2），则a+b= 2 ．【分析】先计算出a，b的值，然后代入所求式子即可求得相应的值．【解答】解：∵a＝（12）﹣1+（-3）0＝2+1＝3，b＝（3+2）（3-2）＝3﹣2＝1，∴a+b=3+1第38页（共38页）\n=4＝2，故答案为：2．【点评】本题考查二次根式的化简求值、平方差公式、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．12．（3分）（2021•荆州）有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是 14 ．【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【解答】解：由题意得，共有2×4＝8种等可能情况，其中能打开锁的情况有2种，故一次打开锁的概率为28=14，故答案为：14．【点评】本题考查了概率，熟练运用概率公式计算是解题的关键．13．（3分）（2021•荆州）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E．若AD＝4，DF=52，则BE＝ 152 ．【分析】根据垂径定理得到AD＝DC，根据三角形中位线定理求出OC，根据勾股定理求出OD，证明△AOD∽△AEB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．第38页（共38页）\n【解答】解：∵OD⊥AC，AD＝4，∴AD＝DC＝4，∵DF∥OC，DF=52，∴OC＝2DF＝5，在Rt△COD中，OD=OC2-CD2=3，∵BE是⊙O的切线，∴AB⊥BE，∵OD⊥AD，∴∠ADO＝∠ABE，∵∠OAD＝∠EAB，∴△AOD∽△AEB，∴ODBE=ADAB，即3BE=410，解得：BE=152，故答案为：152．【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用、垂径定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．14．（3分）（2021•荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为 6.3 cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，3≈1.73）第38页（共38页）\n【分析】通过作垂线构造直角三角形，在Rt△ABM中，求出BM，在Rt△BCD中，求出BD，即可求出CN，从而解决问题．【解答】解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，在Rt△ABM中，∵∠BAE＝60°，AB＝16，∴BM＝sin60°•AB=32×16＝83（cm），∠ABM＝90°﹣60°＝30°，在Rt△BCD中，∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，又∵BC＝8，∴BD＝sin70°×8≈0.94×8＝7.52（cm），∴CN＝DM＝BM﹣BD＝83-7.52≈6.3（cm），即点C到AE的距离约为6.3cm，故答案为：6.3．第38页（共38页）\n【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系是解决问题的关键．15．（3分）（2021•荆州）若关于x的方程2x+mx-2+x-12-x=3的解是正数，则m的取值范围为 m＞﹣7且m≠﹣3 ．【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程有意义的情况，即可得出m的取值范围．【解答】解：原方程左右两边同时乘以（x﹣2），得：2x+m﹣（x﹣1）＝3（x﹣2），解得：x=m+72，∵原方程的解为正数且x≠2，∴m+72＞0m+72≠2，解得：m＞﹣7且m≠﹣3，故答案为：m＞﹣7且m≠﹣3．【点评】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式组，熟知解分式方程的方法是解题的关键．16．（3分）（2021•荆州）如图，过反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为 S1＝4第38页（共38页）\nS4 ．【分析】过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，S＝k，由OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，得出S1＝k，S2=12k，S3=13k，S4=14k，即可得出S1＝4S4．【解答】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴S1＝k，S2=12k，S3=13k，S4=14k，∴S1＝4S4．故答案为：S1＝4S4．【点评】此题考查反比例函数y=kx（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．三、解答题(本大题共有8个小题，共72分)17．（8分）（2021•荆州）先化简，再求值：a2+2a+1a2-a÷（1+2a-1），其中a＝23．【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：a2+2a+1a2-a÷（1+2a-1）第38页（共38页）\n=(a+1)2a(a-1)÷a-1+2a-1=(a+1)2a(a-1)⋅a-1a+1=a+1a，当a＝23时，原式=23+123=6+36．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．18．（8分）（2021•荆州）已知：a是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1＝0．【分析】解不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3，所以最小整数解为﹣2，于是将a＝﹣2代入方程x2﹣4x﹣1＝0．利用配方法解方程即可．【解答】解：解不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3，∴最小整数解为﹣2，将a＝﹣2代入方程x2+2ax+a+1＝0，得x2﹣4x﹣1＝0，配方，得（x﹣2）2＝5．直接开平方，得x﹣2＝±5．解得x1＝2+5，x2＝2-5．【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程和一元一次不等式的整数解．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．第38页（共38页）\n选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．19．（8分）（2021•荆州）如图，在5×5的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段ED与AD的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．请在网格图形中画图：（1）以线段AD为边画正方形ABCD，再以线段DE为斜边画等腰直角三角形DEF，其中顶点F在正方形ABCD外；（2）在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABCD和△DEF面积之和，其它顶点也在格点上．【分析】（1）根据正方形，等腰直角三角形的定义画出图形即可．（2）画出边长为10的正方形即可．【解答】解：（1）如图，正方形ABCD，△DEF即为所求．（2）如图，正方形BKFG即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．第38页（共38页）\n20．（8分）（2021•荆州）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野，…为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样的样本容量为 60 ；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中a的值为 20 ，圆心角β的度数为 144° ；（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？对这些学生用一句话提一条阅读方面的建议．【分析】（1）根据D组的人数和百分比即可求出样本容量；（2）根据C组所占的百分比即可求出C组的人数；（3）根据A组的人数即可求出A组所占的百分比，根据C组所占的百分比即可求出对应的圆心角；（4）先算出低于24小时的学生的百分比，再估算出全校低于24小时的学生的人数．【解答】解：（1）本次抽样的人数为610%=60（人），∴样本容量为60，故答案为60；第38页（共38页）\n（2）C组的人数为40%×60＝24（人），统计图如下：（3）A组所占的百分比为1260×100%=20%，∴a的值为20，β＝40%×360°＝144°，故答案为20，144°；（4）总时间少于24小时的学生的百分比为12+1860×100%=50%，∴全校寒假阅读的总时间少于24小时的学生估计有2000×50%＝1000（名），建议：读书是人类文明进步的阶梯，建议每天读书至少1小时．【点评】本题主要考查统计图形的应用，能看懂统计图是关键，一般求总量所用的公式是一个已知分量除以它所占的百分比，第一问基本都是求总量，所以要记住，估算的公式是总人数乘以满足要求的人数所占的百分比，这两种问题中考比较爱考，记住公式，平时要多加练习．21．（8分）（2021•荆州）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质： 函数图象关于y轴对称 ；第38页（共38页）\n②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为： x＝﹣2或x＝0或x＝2 ；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是 ﹣1＜a＜0 ．（2）延伸思考：将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）观察探究：①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．故答案为函数图象关于y轴对称；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜a＜0．（2）将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象，当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围是0＜x＜4且x≠2．第38页（共38页）\n【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．22．（10分）（2021•荆州）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．【分析】（1）设买一支康乃馨需x元，买一支百合需y元，根据题意列方程组求解即可；（2）根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式，然后根据函数的性质和百合不少于2支求函数的最小值即可．【解答】解：（1）设买一支康乃馨需x元，买一支百合需y元，则根据题意得：x+2y=143x-2y=2，解得：x=4y=5，答：买一支康乃馨需4元，买一支百合需5元；第38页（共38页）\n（2）根据题意得：w＝4x+5（11﹣x）＝﹣x+55，∵百合不少于2支，∴11﹣x≥2，解得：x≤9，∵﹣1＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x＝9时，w最小，即买9支康乃馨，买11﹣9＝2支百合费用最少，wmin＝﹣9+55＝46（元），答：w与x之间的函数关系式：w＝﹣x+55，买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为46元．【点评】本题主要考查一次函数的性质和二元一次方程组的应用，关键是利用题意写出函数关系式．23．（10分）（2021•荆州）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC＝90°，延长GF交AB于H，连接CH．①求证：△CDG∽△GAH；②求tan∠GHC．（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．第38页（共38页）\n【分析】（1）①由矩形的性质和同角的余角相等证明△CDG与△GAH的两组对应角相等，从而证明△CDG∽△GAH；②由翻折得∠AGB＝∠DAC＝∠DCG，而tan∠DAC=12，可求出DG的长，进而求出GA的长，由tan∠GHC即∠GHC的对边与邻边的比恰好等于相似三角形△CDG与△GAH的一组对应边的比，由此可求出tan∠GHC的值；（2）△GCF与△AEF都是直角三角形，由tan∠DAC=12可分别求出CG、AG、AE、EF、AF、CF的长，再由直角边的比不相等判断△GCF与△AEF不全等．【解答】（1）如图1，①证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠GAH＝90°，∴∠DCG+∠DGC＝90°，∵∠FGC＝90°，∴∠AGH+∠DGC＝90°，∴∠DCG＝∠AGH，∴△CDG∽△GAH．②由翻折得∠EGF＝∠EAF，∴∠AGH＝∠DAC＝∠DCG，∵CD＝AB＝2，AD＝4，∴DGCD=AHAG=CDAD=tan∠DAC=24=12，第38页（共38页）\n∴DG=12CD=12×2＝1，∴GA＝4﹣1＝3，∵△CDG∽△GAH，∴CGGH=CDGA，∴tan∠GHC=CGGH=CDGA=23．（2）不全等，理由如下：∵AD＝4，CD＝2，∴AC=42+22=25，∵∠GCF＝90°，∴CGAC=tan∠DAC=12，∴CG=12AC=12×25=5，∴AG=(25)2+(5)2=5，∴EA=12AG=52，∴EF＝EA•tan∠DAC=52×12=54，∴AF=(52)2+(54)2=554，∴CF＝25-554=354，∵∠GCF＝∠AEF＝90°，而CG≠EA，CF≠EF，∴△GCF与△AEF不全等．第38页（共38页）\n【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定、勾股定理、二次根式的化简等知识与方法，特别是第（2）题，使用计算说理的方法判定三角形不全等，内容和方法新颖独到，是很好的考题．24．（12分）（2021•荆州）已知：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，∠AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BE＝t．（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由；（2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；（3）若tan∠AOC＝k，经过点A的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点为P，且有6a+3b+2c＝0，△POA的面积为12k，当t=22时，求抛物线的解析式．【分析】（1）证明△OAC≌△OBE（SAS），则∠OBE＝∠OAC＝45°，进而求解；第38页（共38页）\n（2）∠EBH＝45°，则BH＝EH=22BE=22t，即可求解；（3）由△POA的面积=12×AO×yP=12×1×yP=12k=12，求出yP＝1＝c-b24a，而抛物线过点A（1，0），故a+b+c＝0，进而求解．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，则点A、B的坐标分别为（1，0）、（0，1），则∠OBA＝∠OAB＝45°，∵∠AOC+∠BOC＝90°，∠BOC+∠BOE＝90°，∴∠AOC＝∠BOE，∵AO＝BO，OC＝OE，∴△OAC≌△OBE（SAS），∴∠OBE＝∠OAC＝45°，AC＝BE＝t，∴∠EBA＝∠EBO+∠OBA＝∠OAC+∠OBA＝45°+45°＝90°，∴BE⊥AB；（2）①当点C在线段AB上时，如图1﹣1，过点E作EH⊥OB于点H，∵∠EBH＝45°，第38页（共38页）\n∴BH＝EH=22BE=22t，故点E的坐标为（-22t，1-22t）；②当点C在线段BA的延长线上时，如图1﹣2，同理可得，点E的坐标为（22t，1+22t）；综上，点E的坐标为（-22t，1-22t）或（22t，1+22t）；（3）①当点C线段AB上时，如题图1﹣1，过点C作CN⊥OA于点N，当t=22时，即AC＝t=22，则CN＝AN=22t=12，则ON＝OA﹣NA＝1-12=CN，故tan∠AOC=CNON=1＝k，∵△POA的面积=12×AO×yP=12×1×yP=12k=12，解得yP＝1＝c-b24a①，第38页（共38页）\n∵抛物线过点A（1，0），故a+b+c＝0②，而6a+3b+2c＝0③，联立①②③并解得a=-1b=4c=-3，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3；②抛物线过点A，则a+b+c＝0，而6a+3b+2c＝0，联立上述两式并解得：b=-4ac=3a，故抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2﹣a（a＜0），则点P的坐标为（2，﹣a），则AC＝BE＝t=22，则tan∠AOC＝k=22t1+22t=13，故a＝﹣3，故y＝﹣3x2+12x﹣9．综上，y＝﹣3x2+12x﹣9或y＝﹣x2+4x﹣3．【点评】第38页（共38页）\n本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的性质、三角形全等、解直角三角形、面积的计算等，其中（1），确定△OAC≌△OBE是解题的关键．第38页（共38页）
