2021年江西省中考数学真题试卷【含答案解释，可编辑】注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．的相反数是（ ）A．B．2C．D．2．如图，几何体的主视图是（ ）A．B．C．D．3．计算的结果为（ ）A．1B．C．D．4．如图是2020年中国新能源汽车购买用户地区分布图，由图可知下列说法错误的是（ ）试卷第10页，共10页
A．一线城市购买新能源汽车的用户最多B．二线城市购买新能源汽车用户达37%C．三四线城市购买新能源汽车用户达到11万D．四线城市以下购买新能源汽车用户最少5．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）A．B．C．D．6．如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（ ）试卷第10页，共10页
A．2B．3C．4D．5第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题7．国务院第七次全国人口普查领导小组办公室5月11日发布，江西人口数约为45100000人，将45100000用科学记数法表示为______．8．因式分解：=_____．9．已知，是一元二次方程的两根，则______．10．下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．11．如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，，则的周长为______．12．如图，在边长为的正六边形中，连接，，其中点，分别为和上的动点，若以，，为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为______．试卷第10页，共10页
三、解答题13．（1）计算：；（2）如图，在中，，，平分交于点，于点，求证：．14．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．15．为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字，（1）“A志愿者被选中”是______事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者被选中的概率．16．已知正方形的边长为4个单位长度，点是的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．试卷第10页，共10页
（1）在图1中，将直线绕着正方形的中心顺时针旋转；（2）在图2中，将直线向上平移1个单位长度．17．如图，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，在中，，，点坐标为．（1）求的值；（2）求所在直线的解析式．18．甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．（1）求这种商品的单价；（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是______元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是______元/件．（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同______加油更合算（填“金额”或“油量”）．19．为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分、某外贸公司要出口一批规格为的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质相近质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：）如下：甲厂：76，74，74，76，73，76，76，77，78，74，76，70，76，76，73，70，77，试卷第10页，共10页
79，78，71；甲厂鸡腿质量频数统计表质量（）频数频率20.130.151050.25合计201乙厂：75，76，77，77，78，77，76，71，74，75，79，71，72，74，73，74，70，79，75，77；乙厂鸡腿质量频数分布直方图分析上述数据，得到下表：统计量厂家平均数中位数众数方差甲厂75766.3乙厂7575776.6请你根据图表中的信息完成下列问题：（1）______，______；试卷第10页，共10页
（2）补全频数分布直方图；（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议；（4）某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿，并将质量（单位：）在的鸡腿加工成优等品，请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？20．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身．图1（1）求的度数；（2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，）21．如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．试卷第10页，共10页
（1）求证：；（2）若是的切线，，连接，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB=2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．22．二次函数的图象交轴于原点及点．感知特例（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：…（___，___）………①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．形成概念我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着试卷第10页，共10页
的增大而减小，则的取值范围为_______；②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．23．课本再现（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与相等的角是______；类比迁移（2）如图2，在四边形中，与互余，小明发现四边形中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作，再过点作于点，连接，发现，，之间的数量关系是_________；方法运用（3）如图3，在四边形中，连接，，点是试卷第10页，共10页
两边垂直平分线的交点，连接，．①求证：；②连接，如图4，已知，，，求的长（用含，的式子表示）．试卷第10页，共10页
参考答案：1．B【分析】根据相反数的定义可得结果.【详解】因为-2+2=0，所以-2的相反数是2，故选：B．【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的概念是解题的关键.2．C【分析】主视图：从正面看到的平面图形，注意能看到的边都要用实线体现在视图中，根据定义可得答案．【详解】解：长方体的主视图是长方形，圆柱的主视图也是长方形，中间的边可以看到，用实线表示，从而这个组合体的主视图是两个长方形，中间是实线，故选：【点睛】本题考查的是简单组合体的三视图，掌握主视图的含义是解题的关键．3．A【分析】直接利用同分母分式的减法法则计算即可．【详解】解：．故选：A．【点睛】本题考查了同分母分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．4．C【分析】答案第22页，共22页
根据扇形统计图分别求出各组人数以及圆心角度数，进而得出答案．【详解】A、一线城市购买新能源汽车的用户达46%，用户最多，符合题意；B、二线城市购买新能源汽车用户达37%，说法正确，符合题意；C、三四线城市购买新能源汽车用户达11%，不能说用户达到11万，不符合题意；D、四线城市以下购买新能源汽车用户只占6%，最少，说法正确，符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了扇形统计图，试题以图表为载体，要求学生能从中提取信息来解题，与实际生活息息相关．5．D【分析】根据二次函数与一次函数的图象可知，，，从而判断出二次函数的图象．【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，∴，∵次函数的图象经过一、三、四象限，∴，，对于二次函数的图象，∵，开口向上，排除A、B选项；∵，，∴对称轴，∴D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出，，是解题的关键．6．B答案第22页，共22页
【分析】该题可以自己动手进行拼接，根据勾股定理得知①的直角边为1和1，斜边为，拼接时要依据重合的边要相等，然后根据轴对称图形的概念进行判断即可．【详解】在左侧构成轴对称图形如图：在下方构成轴对称图形如图：在右侧构成轴对称图形如图:答案第22页，共22页
【点睛】本题考查勾股定理，图形的拼接以及轴对称图形的判断，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．7．4.51×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：45100000=4.51×107．故答案为：4.51×107．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值8．【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b)．9．1【分析】答案第22页，共22页
直接利用根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，∴，，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若是方程()的两根，则，．10．3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：；由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．11．4a+2b【分析】答案第22页，共22页
根据题意并利用折叠的性质可得出∠ACE=∠ACB=2∠ECD，计算可得到∠ECD=20，∠ACE=∠ACB=40，利用三角形的外角性质得到∠CFD=∠D=80，再等角对等边即可求解．【详解】解：由折叠的性质可得：∠ACE=∠ACB，∵∠ACE=2∠ECD，∴∠ACE=∠ACB=2∠ECD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠FAC=∠FCA，∠B+∠BCD=180，即∠B+∠ACE+∠ACB+∠ECD=180，∴∠ECD=20，∠ACE=∠ACB=40=∠FAC，∠CFD=∠FAC+∠FCA=80=∠B=∠D，∴AF=CF=CD=a，即AD=a+b，则▱ABCD的周长为2AD+2CD=4a+2b，故答案为：4a+2b．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12．9或10或18【分析】根据点，分别为和上的动点，以，，为顶点的三角形是等边三角形，先在脑海中生成运动的动态图，通过从满足条件的特殊的情况入手，然后再适当左右摆动图形，寻找其它可能存在的解．【详解】解：如下图：答案第22页，共22页
（1）当M，N分别与B，F重合时，在中，由题意得：，易算得：，根据正多边形的性质得，，为等边三角形，即为等边三角形，边长为18，此时已为最大张角，故在左上区域不存在其它解；（2）当M，N分别与DF，DB的中点重合时，由（1）且根据三角形的中位线得：，，为等边三角形，边长为9，（3）在（2）的条件下，阴影部分等边三角形会适当的左右摆动，使得存在无数个这样的等边三角形且边长会在到之间，其中包含边长为，，，且等边三角形的边长为整数，边长在到之间只能取9或10，综上所述：该等边三角形的边长可以为9或10或18．故答案是：9或10或18．【点睛】本题考查了正多边形中动点产生等边三角形问题，解题的关键是：根据等边三角形的边只能取整数为依据，进行分类讨论，难点在于阴部部分等边三角形向左右适当摆动时如何取边长的整数值．13．（1）；（2）见解析【分析】（1）分别利用绝对值的性质、乘方及零指数幂的运算法则进行化简计算，再合并即可得出结果；（2）先求得∠EBA=40°，从而得到EB=EA，利用等腰三角形的性质即可证明AD=BD．【详解】（1）解：答案第22页，共22页
；（2）证明：∵BE平分∠ABC，∠ABC=80°，∴∠EBA=∠ABC=40°，∵∠A=40°，∴∠EBA=∠A，∴EB=EA，∵ED⊥AB，∴AD=BD．【点睛】本题考查了绝对值、乘方及零指数幂，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．14．，数轴见解析【分析】根据题意，先对不等式组进行求解，然后将其解集在数轴上表示即可．【详解】根据题意，令为①式，为②式解：由①式得，由②式得则原不等式组的解集为：．解集在数轴上表示如下：【点睛】本题主要考查了不等式组的求解，熟练掌握不等式组的解法并将其解集在数轴上进行表示是解决本题的关键．15．（1）随机；（2）【分析】（1答案第22页，共22页
）随机事件是在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，随机事件与确定性事件相比，是不确定的，因为对这种事件我们不能确定它是发生呢，还是不发生，即对事件的结果无法确定．根据定义可得答案；（2）先画树状图得到所有的等可能的结果数，得到都被选中的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．【详解】解：（1）由随机事件的定义可得：“A志愿者被选中”是随机事件，故答案：随机．（2）画树状图如下：一共有种等可能的结果，其中都被选中的结果数有种，A，B两名志愿者被选中的概率【点睛】本题考查的是随机事件的概念，利用画树状图或列表的方法求解简单随机事件的概率，掌握列表法或画树状图的方法是解题的关键．16．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD与AC相交于O，连接AE与BD相交于P，连接CP并延长交AD于F，直线OF即为所求；（2）设AE与OF交于G，连接OE交CF于H，则直线GH即为所求．【详解】（1）如图，直线OF即为所求；答案第22页，共22页
∵AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，∴△ADP△CDP，∴∠DAE=∠DCF，∵AD=CD，∠ADE=∠CDF=90°，∴△ADE△CDF，∴DE=DF，∵点E是CD的中点，∴点F是AD的中点，∵∠AOD=90°，且AO=OD，∴∠AOF=45°；（1）如图，直线GH即为所求；由三角形中位线定理知OG=CF=1，OH=AF=1，且∠GOH=90°，∴OG=OH，∴△GOH是等腰直角三角形，∴∠HOC=∠OHG=45°，∴GH∥AC，且OG=1．【点睛】答案第22页，共22页
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．17．（1）；（2）【分析】（1）利用正比例函数求解的坐标，再代入反比例函数的解析式求解即可得到答案；（2）如图，过作于过作于证明利用全等三角形的性质求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可．【详解】解：（1）在上，则把代入中，则（2）如图，过作于过作于答案第22页，共22页
设为解得：所以为【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，一次函数与反比例函数的基本性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，熟练应用以上知识是解题的关键．18．（1）这种商品的单价为60元/件；（2）48,50；（3）金额【分析】（1）根据题意设这种商品的单价为元/件，通过甲乙之间购买的商品数量间的数量关系列分式方程进行求解即可；（2）利用两次购买总价÷两次购买总数量=平均单价，列式分别求出甲乙两次购买的平均单价即可；（3）对比（2）中的计算数据总结即可得解．【详解】（1）设这种商品的单价为元/件，，解得，经检验是原分式方程的解，则这种商品的单价为60元/件；（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价为元/件，∵甲两次购买总价为元，购买总数量为件，∴甲两次购买这种商品的平均单价是元/件；∵乙两次购买总价为元，购买总数量为件，∴乙两次购买这种商品的平均单价是元/件；故答案为：48,50；（3）∵，答案第22页，共22页
∴按照甲两次购买商品的总价相同的情况下更合算，∴建议按相同金额加油更合算，故答案为：金额．【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，通过题目找准数量关系，利用总价÷数量=单价的基本等量关系式进行求解是解决本题的关键．19．（1）0.5；76；（2）补全频数分布直方图见解析；（3）见解析；（4）估计可加工成优等品的鸡腿有13000只．【分析】（1）由1-0.1-0.15-0.25可求得a，由众数的意义可得b；（2）根据题目所给乙厂数据得出第3组的频数，即可补全图形；（3）分别从平均数，中位数，众数和方差等方面考虑，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议；（4）用总人数乘以样本中第3、4组频数和占总数的比例即可得．【详解】（1）a=1-0.1-0.15-0.25=0.5；甲厂中76g出现了7次，出现次数最多，则b=76，故答案为：0.5；76；（2）乙厂中，的数据有75，76，76，74，75，74，74，75，共8个，补全图形如下：（3）①从平均数的角度看：=75，所以建议外贸公司可任意选购两厂的鸡腿；答案第22页，共22页
②从中位数的角度看：甲厂的中位数是76，乙厂的中位数是75，因为乙厂的鸡腿更接近出口规格，所以建议外贸公司选购乙厂的鸡腿；③从众数的角度看：甲厂的众数是76，乙厂的众数是77，因为甲厂的鸡腿接近出口规格的更多，所以建议外贸公司选购甲厂的鸡腿；④从方差的角度看：=6.3，=6.6，因为甲的鸡腿规格更整齐，所以建议外贸公司选购甲厂的鸡腿；（3）(只)，答：估计可加工成优等品的鸡腿有13000只．【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．20．（1）∠ABC的度数为113.6；（2）枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．理由见解析【分析】（1）过B作BK⊥MP于点K，在Rt△BMK中，利用三角形函数的定义求得∠BMK，即可求解；（2）延长PM交FG于点H，∠NMH，在Rt△NMH中，利用三角形函数的定义即可求得的长，比较即可判断．【详解】解：（1）过B作BK⊥MP于点K，由题意可知四边形ABKP为矩形，∴MK=MP-AB=25.3-8.5=16.8(cm)，在Rt△BMK中，，∴∠BMK，∴∠MBK=90-=23.6，∴∠ABC=23.6+90=113.6，答：∠ABC的度数为113.6；（2）延长PM交FG于点H，由题意得：∠NHM=90，∴∠BMN，∠BMK，答案第22页，共22页
∴∠NMH，在Rt△NMH中，，∴(cm)，∴枪身端点A与小红额头的距离为(cm)，∵，∴枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．21．（1）见解析；（2）四边形ABCO是菱形，理由见解析；（3）阴影部分的面积为．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质证得∠D=∠EBC，再利用圆周角的性质证得∠D+∠CAD=，即可证明∠CAD=∠ECB；（2）①利用切线的性质得到OC⊥EC，从而证明OC∥AE，再证明∠BAO=∠EBC=60°，推出BC∥AO，即可证明四边形ABCO是菱形；②先计算，再利用扇形的面积公式计算，即可求得阴影部分的面积．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，答案第22页，共22页
∴∠D+∠ABC=，∵∠EBC+∠ABC=，∴∠D=∠EBC，∵AD为⊙O直径，∴∠ACD=，∴∠D+∠CAD=，∵CE⊥AB，∴∠ECB+∠EBC=，∴∠CAD=∠ECB；（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下：∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥EC，∵AB⊥EC，∴∠OCE=∠E=，∴∠OCE+∠E=18，∴OC∥AE，∴∠ACO=∠BAC，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，∴∠EBC=90°-30°=60°，∴∠BAO=∠EBC=60°，∴BC∥AO，∴四边形ABCO是平行四边形，∵OA=OC，∴四边形ABCO是菱形；②∵四边形ABCO是菱形，∴AO=AB=2，AD=4，∵∠CAD=30°，答案第22页，共22页
∴CD=AD=2，AC=2，过点C作CF⊥AD于点F，∴CF=，∴，∵OC∥AE，∴∠DOC=∠BAO=60°，∴，∴阴影部分的面积为．【点睛】本题主要考查了切线的性质、菱形的判定和性质以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的性质定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．22．（1）①2，0；②见解析；（2）①；②；③m=1．【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②结合（1）②的图象以及（2）①的图象即可回答；③根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象L′的顶点为(3m，)，再根据题意即可求解．【详解】（1）∵点B(-1，3)与点B′(5，-3)关于点A中心对称，∴点A的坐标为(，)，即A(2，0)，故答案为：2，0；答案第22页，共22页
②描点，连线，得到的图象如图所示：（2）①当m=−1时，抛物线L为，对称轴为，它的“孔像抛物线”L′的解析式为，对称轴为，画出草图如图所示：∴抛物线L与它的“孔像抛物线”L′的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为：；②画出草图，答案第22页，共22页
由图象知，这条抛物线的解析式只能是；故答案为：；③L：，设顶点为，过点P作PM⊥轴于点M，“孔像抛物线”的顶点为，过点作⊥x轴于点，由题意可知△PMA≌△A，得(3m，0)，所以(3m，)，∵抛物线L及“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，∴=m或=m，解得m=1或0，当m=0时，与只有一个交点，不合题意，舍去，∴m=1．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．答案第22页，共22页
23．（1）∠DC；（2）AD2+DE2=AE2；（3）①见解析；②BD=．【分析】（1）根据拼图可求得∠A=∠DC；（2）根据∠ABC与∠ADC互余求得∠ADF=∠ADC+∠ABC=90°，利用勾股定理即可求解；（3）①由点O是△ACD两边垂直平分线的交点，证得OA=OD=OC，推出2∠OAC+2∠ODC+2∠ODA=180，得到∠OAC+∠ADC=90，即可求解；②作∠CDF=∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，求得AC：AB：BC=1：2：，同理可得CE：DE：DC=1：2：，证明△ACE△BCD，利用相似三角形的性质以及勾股定理即可求解．【详解】（1）根据拼图可得：∠A=∠DC；故答案为：∠DC；（2）作∠CDF=∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，如图，∵∠ABC与∠ADC互余，即∠ABC+∠ADC=90°，∴∠ADF=∠ADC+∠CDF=∠ADC+∠ABC=90°，∴AD2+DE2=AE2；故答案为：AD2+DE2=AE2；（3）①证明：连接OD、OC，答案第22页，共22页
∵点O是△ACD两边垂直平分线的交点，∴OA=OD=OC，∴∠OAC=∠OCA，∠ODC=∠OCD，∠OAD=∠ODA，∵2∠OAC+2∠ODC+2∠ODA=180，即2∠OAC+2∠ADC=180，∴∠OAC+∠ADC=90，∵∠OAC=∠ABC，∴∠ABC+∠ADC=90；②作∠CDF=∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，∵∠ABC+∠ADC=90，∴∠ABC+∠CDF=90，∴AD2+DE2=AE2，即m2+DE2=AE2，∵∠BAC=90，∴AC：AB：BC=1：2：，同理可得CE：DE：DC=1：2：，答案第22页，共22页
∴，∵∠CDF=∠ABC，∴∠ACB=∠DCE，∴∠BCD=∠ACE，∴△ACE△BCD，∴，∴AE=，在Rt△CDE中，，∴DE=，∴m2+()2=()2，即m2+2=，∴BD2=，∴BD=．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．答案第22页，共22页
