2021年河南省中考数学真题试题试卷【含答案解释，可编辑】注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．﹣2的绝对值是（ ）A．2B．C．D．2．河南人民济困最“给力！”，据报道，2020年河南人民在济困方面捐款达到亿元数据“亿”用科学记数法表示为（ ）A．B．C．D．3．如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ）A．B．C．D．4．下列运算正确的是（ ）A．B．C．D．5．如图，，，则的度数为（ ）试卷第8页，共8页
A．B．C．D．6．关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ）A．四条边相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形7．若方程没有实数根，则的值可以是（ ）A．B．C．D．8．现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（）A．B．C．D．9．如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，延长交轴于点．将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点落在上时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为（ ）试卷第8页，共8页
A．B．C．D．10．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）A．B．C．D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是____．12．请写出一个图象经过原点的函数的解析式__________．13．某外贸公司要出口一批规格为克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂的产品中各随机抽取盒进行检测，测得它们的平均质量均为克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是__________．（填“甲”或“乙”）试卷第8页，共8页
14．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为__________．15．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为__________．三、解答题16．（1）计算：；（2）化简：．17．2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取名进行卷调查，并将调查结果用统计图描述如下．试卷第8页，共8页
调查问卷1．近两周你平均每天睡眠时间大约是小时．如果你平均每天睡眠时间不足小时，请回答第个问题2．影响你睡眠时间的主要原因是．（单选）A．校内课业负担重 B．校外学习任务重 C．学习效率低 D．其他平均每天睡眠时间（时）分为组：①；②；③；④；⑤．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第（填序号）组，达到小时的学生人数占被调查人数的百分比为；（2）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．18．如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．19．开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点与佛像的底部在同一水平线上．已知佛像头部为，在处测得试卷第8页，共8页
佛像头顶部的仰角为，头底部的仰角为，求佛像的高度（结果精确到．参考数据：，，）20．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2．请仅就图2的情形解答下列问题．（1）求证：；（2）若的半径为，，求的长．21．猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：类别价格款玩偶款玩偶进货价（元/个）销售价（元/个）试卷第8页，共8页
（1）第一次小李用元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个；（2）第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？（3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？（注：利润率）22．如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点．（1）求和的值；（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．23．下面是某数学兴趣小探究用不同方法作一角的平分线的讨论片段．请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，（1）分别在射线，上截取，（点，不重合）；（2）分别作线段，的垂直平分线，，交点为，垂足分别为点，；（3）作射线，射线即为的平分线．简述理由如下：由作图，，，，所以，则，即射线是的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图试卷第8页，共8页
2．（1）分别在射线，上截取，（点，不重合）；（2）连接，，交点为；（3）作射线，射线即为的平分线．……任务：（1）小明得出的依据是．（填序号）①；②；③；④；⑤．（2）小军作图得到的射线是的平分线吗？请判断并说明理由；（3）如图3，已知，点，分别在射线，上，且．点，分别为射线，上的动点，且，连接，，交点为，当时，直接写出线段的长．试卷第8页，共8页
参考答案：1．A【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．【详解】在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以﹣2的绝对值是2，故选A．2．B【分析】先将1亿写成，再乘以2.94即可．【详解】解：因为1亿=，所以2.94亿=2.94×；故选：B．【点睛】本题考查了科学记数法的应用，解决本题的关键是牢记科学记数法的表示方法，同时理解1亿的概念及表示等．3．A【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层最左边两个小正方形，第三层最左边一个小正方形，故选：A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．4．C【分析】直接利用幂的运算性质和完全平方公式分别判断得出答案．【详解】答案第18页，共18页
解：A、，原计算错误，不符合题意；B、，原计算错误，不符合题意；C、，正确，符合题意；D、，原计算错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了幂的运算性质和完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．D【分析】先利用“两直线平行，同位角相等”求出∠3，再利用邻补角互补求出∠2．【详解】解：如图，∵a∥b，∴∠1=∠3=60°，∴∠2=180°-∠3=120°，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质和邻补角互补的性质，解决本题的关键是牢记相关概念，本题较基础，考查了学生的基本功．6．B【分析】根据菱形的性质判断即可．【详解】解：A、菱形的四条边都相等，A选项正确，不符合题意；B、菱形的对角线不一定相等，B选项错误，符合题意；C、菱形的对角线互相垂直，C选项正确，不符合题意；答案第18页，共18页
D、菱形是轴对称图形，D选项正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了对菱形的性质的理解，关键是根据菱形的性质解答．7．D【分析】直接利用根的判别式进行判断，求出m的取值范围即可．【详解】解：由题可知：“△＜0”，∴,∴,故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握当“△＜0”时，该方程无实数根，本题较基础，考查了学生对基础知识的理解与掌握．8．A【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】解：把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D，画树状图如图：共有12种等可能的结果，所抽中的恰好是B和D的结果有2种，∴所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的概率为．故选：A．【点睛】答案第18页，共18页
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．9．B【分析】连接,由题意可证明，利用相似三角形线段成比例即可求得OC的长，即得点的坐标．【详解】如图，连接，因为轴，绕点顺时针旋转得到，所以，,故答案为B．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，找到是解题的关键．10．C答案第18页，共18页
【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值．【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即，当P点位于E点时，，即，则，∵,∴,即,∵∴,∵点为的中点，∴,故选：C．【点睛】本题考查了学生对函数图像的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图像中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法．11．【分析】根据分式分母有意义的条件，解答即可．【详解】根据分式有意义的条件，要使在实数范围内有意义，必须x-1≠0∴x≠1．故答案为:x≠1．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．答案第18页，共18页
12．y=x（答案不唯一）【分析】直接写出一个已经学过的经过原点的函数解析式即可．【详解】解：因为直线y=x经过原点（0,0），故答案为：y=x（本题答案不唯一，只要函数图像经过原点即可）．【点睛】本题考查了学生对函数解析式的理解，解决本题的关键是理解并掌握函数解析式与函数图像的关系等．13．甲【分析】先由题干条件得出两厂红枣价格相同，品质也相近，平均质量相同，再根据方差判定它们的稳定性，越稳定的则越符合．【详解】解：由题可知，它们的价格相同，品质也相近，测得它们的平均质量均为200克，而由图形可知，甲厂的红枣每盒质量相对乙厂更加稳定，因此甲厂产品更符合规格要求，故答案为：甲．【点睛】本题考查了方差的应用，解决本题的关键是读懂题意和图形，能根据图形判定产品的波动性大小并进行比较等，本题较基础，考查了学生读题、审题以及观察图形的能力等．14．【分析】先找到的圆心O，得到∠BOC=45°，利用弧长公式即可求解．【详解】解：连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为的圆心O，从图中可得：的半径为OB=5，连接OC，∵∠BAC=22.5°，答案第18页，共18页
∴∠BOC=222.5°=45°，的长为．．故答案为：【点睛】本题考查了弧长公式，找到的圆心是解题的关键．15．或【分析】因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析，勾股定理求解即可．【详解】解：当落在边上时，如图（1）：设交于点，由折叠知：,,,，，设，则在中，在中，即．答案第18页，共18页
当落在边上时，如图（2）因为折叠，．故答案为：或【点睛】本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中的性质，正确的作出图形是解题的关键．16．（1）1；（2）．答案第18页，共18页
【分析】（1）实数的计算，根据实数的运算法则求解即可；（2）分式的化简，根据分式的运算法则计算求解．【详解】（1）．（2）．【点睛】本题考查了实数的混合运算，负指数幂，二次根式的化简，零次幂的计算，分式的化简等知识，牢记公式与定义，熟练分解因式是解题的关键．17．（1）③；17％；（2）见解析【分析】（1）根据中位数的定义即可得到其所在小组；利用达到9小时的学生数除以500即可得出其所占百分比；（2）根据平均每天睡眠时间统计图依次分析即可；根据影响学生睡眠时间的主要原因统计图制定对应的措施即可．【详解】解：（1）由于共有500人，因此中位数应为该组数据按从小到大或从大到小排列的第250和251个数据的平均数，由平均每天睡眠时间统计图可知，应位于第③组；∵达到9小时睡眠的人数为85人，∴其所占百分比为：；故答案为：③；17％．（2）该校学生睡眠情况为：该校学生极少数达到《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中的初中生每天睡眠时间应达到9小时的要求，大部分学生睡眠时间都偏少，其中超过一半的学生睡眠时间达不到8小时，约4％的学生睡眠时间不到6小时．答案第18页，共18页
建议：①减少校外学习任务时间，将其多出来的时间补充到学生睡眠中去；②减轻校内课业负担，提高学生的学习效率，规定每晚各科作业总时间不超过90分钟等（本题答案不唯一，回答合理即可）．【点睛】本题考查了统计的应用，涉及到了中位数的定义、从统计图中获取相关信息、根据图表信息制定合理建议能内容，解决本题的关键是读懂题意，能从统计图中获取对应信息，同时牢记相关定义等，本题属于开放型试题，最后一题答案不统一，但回答应与题干信息相吻合等，本题考查了学生分析问题与解决问题的能力．18．（1）反比例函数的解析式为；（2）阴影部分的面积为8．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据点B是小正方形在第一象限的一个点，知其横纵坐标相等，求得点B的坐标，继而求得小正方形的面积，再求得大正方形的面积，从而求得阴影部分的面积．【详解】解：（1）由题意，点A(1，2)在反比例函数y=的图象上，∴，∴反比例函数的解析式为；（2）点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等，设B(a，a)，则有，∴，即B(，)，∴小正方形的边长为，∴小正方形的面积为，大正方形经过点A(1，2)，则大正方形的边长为，∴大正方形的面积为，∴图中阴影部分的面积为16-8=8．【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式．答案第18页，共18页
19．17.4m【分析】先设出佛像的高度为x，再求出AD=BD，最后利用三角函数关系式得到关于x的分式方程，解分式方程并检验即可．【详解】解：设佛像的高度为xm，∵∠BAD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=x，∵佛像头部为，∴CD=x-4，∵∠DAC=37.5°，∴tan∠DAC==≈0.77，解得：x≈17.4，经检验，该方程有意义，且符合题意，因此x≈17.4是该方程的解，∴求佛像的高度约为17.4m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及到了锐角三角函数、等角对等边、解分式方程等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能根据题意得到相等关系等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．20．（1）见解析；（2）【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形的外角，找到角与角之间的等量关系，再通过等量代换即可证明；（2）添加辅助线后，证明三角形相似，得到对应角相等，所以角的正切值也相等，求出直角三角形的直角边长，再把放到直角三角形中，利用勾股定理求解．【详解】解：（1）证明：连接，取轴正半轴与交点于点，如下图：答案第18页，共18页
，为的外角，，，，．（2）过点作的垂线，交与点，如下图：由题意：在中，，由（1）知：，，，，，，由圆的性质，直径所对的角为直角；答案第18页，共18页
在中，由勾股定理得：，即．【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、特殊角度的正切值，解得的关键是：掌握相关的知识点，会添加适当的辅助线，找到角与角、边与边的等量关系，通过等量代换，利用勾股定理建立等式求解．21．（1）款20个，款10个；（2）款10个，款20个，最大利润是460元；（3）第二次更合算．理由见解析【分析】（1）根据题意列二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据条件求得利润的解析式，再判断最大利润即可；（3）分别求出第一次和第二次的利润率，比较之后即可知道哪一次更合算．【详解】（1）设，两款玩偶分别为个，根据题意得：解得：答：两款玩偶，款购进20个，款购进10个．（2）设购进款玩偶a个，则购进款个,设利润为y元则（元）款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，又且为整数，答案第18页，共18页
当时，y有最大值（元）款个，款个，最大利润是元．（3）第一次利润（元）第一次利润率为：第二次利润率为：第二次的利润率大，即第二次更划算．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，最大利润方案问题，利润率求解等问题，一次函数最值问题，理解题意，根据题意列出方程组是解题的关键．22．（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或．【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值；（2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．【详解】解：（1）∵点A(2，0)同时在与上，∴，，解得：，；（2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为，解方程，得：．∴点B的横坐标为，纵坐标为，∴点B的坐标为(-1，3)，观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方，∴不等式>的解集为或；（3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1，∵点A(2，0)，点B(-1，3)，答案第18页，共18页
∴点A1(-1，0)，点B1(-4，3)，∴AA1BB13，且AA1∥BB1，即MN为AA1、BB1相互平行的线段，对于抛物线，∴顶点为(1，-1)，如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，此时，当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点，此时点M1的纵坐标为-1，则，解得，综上，点M的横坐标的取值范围是：或．．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．23．（1）⑤；（2）小军作图得到的射线是的平分线，理由见解析；（3）OC=2或【分析】（1）根据证明三角形全等的HL定理解答即可；（2）根据作图过程可证明△EOD≌△FOC，则有∠OED=∠OFC，进而证明△CEP≌△DFP，可得PE=PF，易证的△EOP≌△FOP，则有∠EOP=∠FOP，即可得出小军作图得到的射线是的平分线；（3）分两种情况进行讨论，①,②；当，作射线OP，易知OP是∠AOB的平分线即∠POE=30°，根据△EOP≌△FOP和可求得∠OEP=45°，过P作PH⊥OA于H，易求得PH=HE=1，OP=2，PE=，证明△OEP∽△PEC，根据相似三角形的性质求得CE的长，进而由OC=OE﹣CE求解即可；当，连接OP，作答案第18页，共18页
PM⊥OA，同理可得，，即，OE=OP，，再利用特殊角的三角函数即可求出MP和MO，即可求得答案．【详解】解：（1）根据小明作图所阐述的理由，他用到是HL定理证明，故选：⑤；（2）小军作图得到的射线是的平分线，理由为：在△EOD和△FOC中，∴△EOD≌△FOC（SAS），∴∠OED=∠OFC，∵OC=OD，OE=OF，∴CE=DF，在△CEP和△DFP中，，∴△CEP≌△DFP（AAS），∴PE=PF，在△EOP和△FOP，，∴△EOP≌△FOP（SSS），∴∠EOP=∠FOP，即射线是的平分线；（3）①当时，作射线OP，由（2）可知OP是∠AOB的平分线，∴∠POE=∠AOB=30°，答案第18页，共18页
∵，∴∵△EOP≌△FOP，∴∠OPE=∠OPF=（360°﹣∠FPE）=105°，∴∠OEP=180°﹣∠POE﹣∠OPE=45°，过P作PH⊥OA于H，则HP=HE，OP=2HP=2HE，∴PE=HE，OH==HP=HE，∵OE=OH+HE=(+1)HE=+1，∴HE=1，∴PE=，∵∠POE=∠CPE=30°，∠OEP=∠PEC，∴△OEP∽△PEC，∴即，解得：CE=，∴OC=OE﹣CE=2．②当时，连接OP，作PM⊥OA，则,答案第18页，共18页
同理得，∴∵∴∴，综上所述，OC的长为2或．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．答案第18页，共18页
