2021年湖北省荆门市中考数学试卷试题【含答案解释，可编辑】注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题1．2021的相反数的倒数是（ ）．A．B．C．D．2．“绿水青山就是金山银山”．某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资元资金．数据可表示为（ ）A．10.12亿B．1.012亿C．101.2亿D．1012亿3．下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ）A．B．C．D．4．如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的字是（ ）A．传B．国C．承D．基5．下列运算正确的是（ ）A．B．C．D．6．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（ ）试卷第7页，共7页
A．B．C．D．7．如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设，那么（ ）A．B．C．D．8．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若，则（ ）A．B．C．D．9．在同一直角坐标系中，函数与的大致图象是（ ）试卷第7页，共7页
A．①②B．②③C．②④D．③④10．抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，（），下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．计算：_____．12．把多项式因式分解，结果为________．13．如图，在平面直角坐标系中，斜边上的高为1，，将绕原点顺时针旋转得到，点A的对应点C恰好在函数的图象上，若在的图象上另有一点M使得，则点M的坐标为_________．14．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以A、D为圆心，2为半径画弧BD、AC，则图中阴影部分的面积为_____．15．如果关于x的不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是________．16．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第____行第________列．试卷第7页，共7页
三、解答题17．先化简，再求值：，其中．18．为庆祝中国共产党建党100周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识竞赛活动．某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如下的统计图．（1）这次预赛中二班成绩在B等及以上的人数是多少？（2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；（3）已知一班成绩A等的4人中有两个男生和2个女生，二班成绩A等的都是女生，年级要求从这两个班A等的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1个男生的概率．19．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，，且，试卷第7页，共7页
．（1）求证：；（2）若，，用x表示DF的长．20．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？21．已知关于x的一元二次方程有，两实数根．（1）若，求及的值；（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．试卷第7页，共7页
22．如图，在中，，点E在BC边上，过A，C，E三点的交AB边于另一点F，且F是弧AE的中点，AD是的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；（2）当时，求的值．23．某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．x407090y1809030W360045002100（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．试卷第7页，共7页
24．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点，点Q为线段BC上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求的最小值；（3）过点Q作交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记与的面积分别为，，设，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．试卷第7页，共7页
参考答案：1．C【分析】根据相反数和倒数的性质计算，即可得到答案．【详解】2021的相反数是：2021的相反数的倒数是：故选：C．【点睛】本题考查了相反数、倒数的知识；解题的关键是熟练掌握相反数、倒数的性质，从而完成求解．2．B【分析】利用科学记数法表示数的定义解题．【详解】解：亿，故选：B．【点睛】本题考查科学记数法，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3．C【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【详解】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；答案第19页，共19页
D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．4．D【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是必须相隔一个正方形，据此作答．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，则：“传”与“因”是相对面，“承”与“色”是相对面，“红”与“基”是相对面．故选：D．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．5．D【分析】根据相应运算的基本法则逐一计算判断即可【详解】∵,∴A计算错误;∵,∴B计算错误;∵+x无法运算,∴C计算错误;∵,答案第19页，共19页
∴D计算错误;故选D．【点睛】本题考查了幂的乘方，二次根式的化简，完全平方公式，熟练掌握各类公式的计算法则是解题的关键．6．A【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条，据此列出二元一次方程组即可．【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：，故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．7．C【分析】延长EG交AB于H，根据平行四边形与三角板的性质，，DC//AB，得到∠DEH=∠BHE=60°，再由平角的定义，计算出结果．【详解】解：如图，延长EG交AB于H，∵∠BMF=∠BGE=90°，答案第19页，共19页
∴MF//EH，∴∠BFM=∠BHE，∵，∴∠BFM=∠BHE=60°，∵在平行四边形ABCD中，DC//AB，∴∠DEH=∠BHE=60°，∵∠GEN=45°，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与一副特殊三角形板的性质，关键在于作出辅助线，利用平行四边形的性质进行求解．8．B【分析】先运用圆的切线长定理可以得到：PA=PB，再利用等腰三角形的性质即可求出∠PAB的度数，最后利用切线的性质解题即可.【详解】解：PA，PB是⊙O的切线，故选：B.【点睛】本题考查圆的切线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.9．B【分析】答案第19页，共19页
根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．【详解】解：当k＞0时，一次函数y=kx-k经过一、三、四象限，函数的（k≠0）的图象在一、二象限，故选项②的图象符合要求．当k＜0时，一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，函数的（k≠0）的图象经过三、四象限，故选项③的图象符合要求．故选：B．【点睛】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．10．A【分析】根据已知条件可判断，，据此逐项分析解题即可．【详解】解：抛物线开口向下把，代入得答案第19页，共19页
①，故①正确；②，故②正确；③，故③正确；；④若方程有两个不相等的实数根，即，故④正确，即正确结论的个数是4，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与系数a、b、c关系，涉及一元二次方程根的判别式，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．11．【分析】根据绝对值的意义，负整数指数幂，锐角三角函数，零指数幂的概念分别化简，然后进行计算．答案第19页，共19页
【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．12．【分析】直接提取公因式x，进而利用十字相乘法分解因式得出答案．【详解】解：＝＝．故答案为：．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确应用公式是解题关键．13．【分析】利用的正切可以求出C点坐标，再利用C、M在上，设M的坐标，最后通过可以求出M点的坐标．【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，由题意可知，则，C在上，答案第19页，共19页
设即解得（不符合题意，舍去）所以故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数，反比例函数性质，正确理解题意，求出C点的坐标是解决问题的关键．14．2﹣【分析】过点F作FE⊥AD于点E，则AE=AD=AF，故∠AFE=∠BAF=30°，再根据勾股定理求出EF的长，由S弓形AF=S扇形ADF－S△ADF可得出其面积，再根据S阴影=2(S扇形BAF－S弓形AF)即可得出结论【详解】如图所示,过点F作FE⊥AD于点E，∵正方形ABCD的边长为2，∴AE=AD=AF=1，∴∠AFE=∠BAF=30°，∴EF=．∴S弓形AF=S扇形ADF－S△ADF=，∴S阴影=2(S扇形BAF－S弓形AF)=2×[]=2×()=．答案第19页，共19页
【点睛】本题考查了扇形的面积公式和长方形性质的应用，关键是根据图形的对称性分析，主要考查学生的计算能力．15．【分析】求出不等式组的解集，得到其取值范围，再根据不等式组有整数解解答．【详解】解：，由①得，x>a-3；由②得，x≤4；∵关于x的不等式组恰有2个整数解，∴整数解为3，4，∴2≤a-3＜3；∴．故答案为：【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，根据x的取值范围，得出x的整数解，然后解不等式即可解出a的值．16． 64 5【分析】找到第n行第n列的数字，找到规律，代入2021即可求解【详解】通过观察发现：1=13=1+2答案第19页，共19页
6=1+2+310=1+2+3+4……故第n行第n列数字为：，则第n行第1列数字为：，即+1设2021是第n行第m列的数字，则：即,可以看作两个连续的整数的乘积，为正整数，当时，故答案为：64，5【点睛】本题考查了规律探索，通过观察发现特殊位置的数字之间的关系，找到规律，通过计算确定行数，再根据方程求得列数，能正确发现规律是解题的关键．17．；【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】将代入上式得：原式＝．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．答案第19页，共19页
18．（1）9；（2）一班平均数为87.5；二班中位数为80；（3）0.6【分析】（1）用总人数×二班成绩在B级以上（包括B级）的人数所占百分比即可；（2）从统计图中的数据求出各个等级的人数，按求平均数和找中位数的方法得出一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；（3）先列举出所有等可能的情况数，找出抽取的六名学生中至少有1个男生的情况，即可求出所求概率．【详解】（1）∵两个班参加比赛的人数相同，∴由条形图可知二班参赛人数为20人，∴由扇形围可知B等及以上的人数为；（2）一班成绩的平均数为：，二班100分的有20人，90分的有20人，80分的有20人，70分的有20人，按从小到大顺序排列，中位数为80；∴二班成绩的中位数为80；（3）二班成绩A等的都是女生，∴二班成绩A等人数为人：将两个班成绩A等的6人分别记为A，B，C，D，E，F：其中A，B为一班两个男生．∵每个学生被抽取的可能性相等，∴从这两个班成绩A等的学生中随机选2人的所有情形如下：AB AC ADAE AF BCBD BE BFCD CE CFDE DF EF共15种；其中至少有1个男生的有AB ACAD AE AFBC BD BEBF共9种；∴概率为．【点睛】本题是条形统计图和扇形统计图的综合运用．用到的知识点是平均数、中位数、概率公式，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．19．（1）见解析；（2）答案第19页，共19页
【分析】（1）证明△ABE≌△EHF，即可证明BE=CH；（2）作FP⊥CD于P，求得PD=3−x，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=90°，AB=BC，∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°．而∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠FEH．又∵EF=AE，∴△ABE≌△EHF．∴BE=FH，AB=EH，∴AB=BC=EH，则BC-EC=EH-EC，∴BE=CH；（2）作FP⊥CD于P，由（1）可知EH=AB，∴CE=3−x．∴CH=FH=FP=x，∴PD=3−x．．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．答案第19页，共19页
20．（1）；（2）海监船由B处开始沿南偏东小于的方向航行能安全通过这一海域【分析】(1)如图1,作，交AB的延长线于C，利用等腰直角三角形PBC,含30°角的直角三角形APC计算即可;(2)作差比较x与r的大小，判断有危险；以P为圆心，半径r为作圆，作圆的切线计算∠PBD的大小，从而得到∠CBD的大小，从而判断即可.【详解】解：（1）如图1，作，交AB的延长线于C，由题意知：，．设：则，，解得，经检验：是原方程的根，且符合题意，；（2），．因此海监船继续向东航行有触礁危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，以为圆心，为半径作圆，过作圆P的切线交于点D，∴∠PDB=90°，答案第19页，共19页
由（1）得：∴，∴∠PBD=60°，∴∠CBD=15°，∴海监船由B处开始沿南偏东小于的方向航行能安全通过这一海域．【点睛】本题考查了方位角，特殊角的三角函数值，解直角三角形，圆的切线的判定，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活解直角三角形是解题的关键．21．（1），；（2）存在，【分析】（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可；（2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．【详解】解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0，∴m<5，将x1=1代入原方程得：m=3，又∵x1•x2=2m−1=5，∴x2=5，m=3；（2）设存在实数m，满足，那么有，答案第19页，共19页
即，整理得：，解得或．由（1）可知，∴舍去，从而，综上所述：存在符合题意．【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．22．（1）见解析；（2）【分析】（1）连接，，证明，，即可得到结论；（2）证明得，设，那么，，根据勾股定理求出，，再根据正弦的定义求解即可【详解】解：（1）证明：连接，，则，，，∵F是的中点，，∴，∵答案第19页，共19页
∴∵∴，，；∵，．即，四边形CDMF是平行四边形．（2）由（1）可知：四边形ACDF是矩形，，由∴，∵BM//CD，设，那么，，在中，，在中，在中，．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．23．（1）；（2）售价60元时，周销售利润最大为4800元；（3）【分析】（1）①依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；答案第19页，共19页
（2）根据题意得，再由表格数据求出，得到，根据二次函数的顶点式，求出最值即可；（3）根据题意得，由于对称轴是直线，根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：（1）设，由题意有，解得，所以y关于x的函数解析式为；（2）由（1），又由表可得：，，．所以售价时，周销售利润W最大，最大利润为4800；（3）由题意，其对称轴，时上述函数单调递增，所以只有时周销售利润最大，．．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．24．（1）；（2）5；（3）时，S有最大值【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）作点O关于直线BC的对称点D，连接AD，交BC于点Q，此时|QO|+|QA|有最小值为AD，利用勾股定理即可求解；（3）先求得直线BC的表达式为y=x−3，直线AC的表达式为y=−3x−3．可设P(m，m2−2m−3)得到直线PQ的表达式可设为y=−3x+m2+m−3，由答案第19页，共19页
得到二次函数，再利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）由已知：y=a(x−3)(x+1)，将(0，−3)代入上式得：−3=a(0−3)(0+1)，∴a=1，∴抛物线的解析式为y=−2x−3；（2）作点O关于直线BC的对称点D，连接DC、DB，∵B(3，0)，C(0，−3)，∠BOC=90°，∴OB=OC=3，∵O、D关于直线BC对称，∴四边形OBDC为正方形，∴D(3，−3)，连接AD，交BC于点Q，由对称性|QD|=|QO|，此时|QO|+|QA|有最小值为AD，AD=，∴|QO|+|QA|有最小值为5；（3）由已知点A(−1，0)，B(3，0)，C(0，−3)，设直线BC的表达式为y=kx−3，把B(3，0)代入得：0=3k−3，解得：，∴直线BC的表达式为y=x−3，同理：直线AC的表达式为y=−3x−3．∵PQ∥AC，∴直线PQ的表达式可设为y=−3x+b，答案第19页，共19页
由（1）可设P(m，m2−2m−3)代入直线PQ的表达式可得b=m2+m−3，∴直线PQ的表达式可设为y=−3x+m2+m−3，由，解得，即，由题意：，∵P，Q都在四象限，∴P，Q的纵坐标均为负数，∴，即，根据已知条件P的位置可知．∴时，S最大，即时，S有最大值．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数，二次函数的解析式，二次函数的最值等知识，数形结合，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．答案第19页，共19页
