2021年湖北省鄂州市中考数学试卷试题【含答案解释，可编辑】注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题1．实数6的相反数等于（ ）A．B．6C．D．2．下列运算正确的是（ ）A．B．C．D．3．“国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．4．下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）A．B．C．D．5．已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（ ）A．B．C．D．6．已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（ ）试卷第8页，共8页
A．B．C．D．7．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是（ ）A．B．C．D．8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）A．1米B．米C．2米D．米9．二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）试卷第8页，共8页
A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ）A．3B．C．D．第II卷（非选择题）二、填空题11．化简：______．12．“最美鄂州，从我做起”．“五四”青年节当天，马桥村青年志愿小组到胡林社区参加美化社区活动．6名志愿者参加劳动的时间（单位：小时）分别为：3，2，2，3，1，2，这组数据的中位数是______．13．已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则_____________．14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标为_____________．15．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点试卷第8页，共8页
，交反比例函数的图象于点，点是轴正半轴上一点．若的面积为2，则的值为_____________．16．如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为_____________．三、解答题17．先化简，再求值：，其中．18．为了引导青少年学党史、颂党恩、跟党走，某中学举行了“南献礼建党百年”党史知识竞赛活动．胡老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统计分析（卷面满分100分，且得分均为不小于60的整数）﹐并将竞赛成绩划分为四个等级：基本合格（）．合格（）、良好（）、优秀（），制作了如下统计图（部分信息未给出）：所抽取成绩的条形统计图 所抽取成绩的扇形统计图试卷第8页，共8页
根据图中提供的信息解决下列问题：（1）胡老师共抽取了____________名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为____________﹐请补全条形统计图．（2）现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加全市党史知识竞赛活动，请用画树形图的方法求甲学生被选到的概率．19．如图，在中，点、分别在边、上，且．（1）探究四边形的形状，并说明理由；（2）连接，分别交、于点、，连接交于点．若，，求的长．20．在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由地出发，途经地去往地，如图．当他由地出发时，发现他的北偏东方向有一信号发射塔．他由地沿正东方向骑行km到达地，此时发现信号塔在他的北偏东方向，然后他由地沿北偏东方向骑行12km到达地．试卷第8页，共8页
（1）求地与信号发射塔之问的距离；（2）求地与信号发射塔之问的距离．（计算结果保留根号）21．为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本（元）与种植面积（亩）之间满足一次函数关系，且当时，；当时，．（1）求与之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？（每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴）22．如图，在中，，为边上一点，以为圆心，长为半径的与边相切于点，交于点．（1）求证：；（2）连接，若，，求线段的长．试卷第8页，共8页
23．数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．猜想发现：由；；；；；猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．猜想证明：∵∴①当且仅当，即时，，∴；②当，即时，，∴．综合上述可得：若，，则成立（当日仅当时等号成立）．猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？24．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，点是线段上一动点（不与点、重合）．试卷第8页，共8页
（1）请直接写出点、点、点的坐标；（2）连接，在第一象限内将沿翻折得到，点的对应点为点．若，求线段的长；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为点．①若点在内部（不包括边），求的取值范围；②在平面直角坐标系内是否存在点，使最大？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．试卷第8页，共8页
参考答案：1．A【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】由相反数的定义可得6的相反数是-6．故选A．【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．2．A【分析】直接利用同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方直接求解即可．【详解】A、，选项正确，符合题意；B、，选项错误，不符合题意；C、，选项错误，不符合题意；D、，选项错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方，解题的关键是：掌握相关的运算法则．3．B【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可．【详解】解：A选项中的汉字不是轴对称图形，不符合题意；B选项中的汉字是轴对称图形，符合题意；C选项中的汉字不是轴对称图形，不符合题意；D选项中的汉字不是轴对称图形，不符合题意，故选：B．答案第22页，共22页
【点睛】本题考查轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解答的关键．4．C【分析】直接根据三视图中主视图的定义即可判断．【详解】根据几何体三视图中主视图的定义；正方体的主视图是矩形，不符合题意；圆柱体的主视图是矩形，不符合题意；圆锥的主视图是三角形，符合题意；B、球的主视图是圆，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了几何体的三视图的主视图，解题的关键是：掌握三视图中主视图的定义，是由正面往后看．5．B【分析】根据画图过程，得到OD=OC，由等边对等角与三角形内角和定理得到∠ODC=∠OCD=，同理得到∠DOE=∠DEO=40︒，由∠OCD为△DCE的外角，得到结果．【详解】解：∵以为圆心，长为半径画，交于点，∴OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠AOB=40︒，∴∠ODC=∠OCD=，∵以为圆心，长为半径画，交于点，∴DO=DE，∴∠DOE=∠DEO=40︒，答案第22页，共22页
∵∠OCD为△DCE的外角，∴∠OCD=∠DEC+∠CDE，∴70︒=40︒+∠CDE，∴∠CDE=30︒，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、以及三角形外角的性质，关键在于等边对等角与三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和两个知识点的熟练运用．6．D【分析】当时，计算出，会发现呈周期性出现，即可得到的值．【详解】解：当时，计算出，会发现是以：，循环出现的规律，，，故选：D．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．7．C【分析】根据一次函数图像的交点直接判断即可．【详解】解：由题意可知，当时，直线的图像位于直线图像的上方，答案第22页，共22页
即关于的不等式的解集为：．故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系，明确函数图像上各交点坐标代表的意义是解决本题的关键．8．B【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解．【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，∴OD===，∴CD=OC﹣OD=4﹣，即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米，故选：B．【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．9．C【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解．答案第22页，共22页
【详解】解：①由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵对称轴为直线x==1，且图象与x轴交于点（﹣1，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a，∴根据图象，当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②错误；③根据图象，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正确；④∵抛物线经过点，∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点，∴抛物线与直线y=n的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n），∴一元二次方程的两根分别为，5，故④正确，综上，上述结论中正确结论有①③④，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．10．D【分析】由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到是等边三角形，利用特殊三边关系即可求解．【详解】解：取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短答案第22页，共22页
点P是BO的中点在中，是等边三角形在中，．【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．11．3【详解】分析：根据算术平方根的概念求解即可.详解：因为32=9所以=3.故答案为3.点睛：此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方.12．2【分析】根据中位数的求解方法求解即可．【详解】答案第22页，共22页
解：将所给6个数据从小到大排列：1，2，2，2，3，3，则中位数为=2，故答案为：2．【点睛】本题考查中位数，熟练掌握中位数的求解方法是解答的关键．13．【分析】根据非负性求得a、b的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得+、，代入求解即可．【详解】解：∵实数、满足，∴a﹣2=0，b+3=0，解得：a=2，b=﹣3，∴，∵一元二次方程的两个实数根分别为、，∴+=2，=﹣3，∴=，故答案为：．【点睛】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方程根与系数，熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键．14．【分析】根据题意画出图形，易证明，求出OE、BE的长即可求出B的坐标．【详解】解：如图所示，点绕点顺时针旋转得到点，答案第22页，共22页
过点A作x轴垂线，垂足为D，过点B作x轴垂线，垂足为E，∵点的坐标为，点的坐标为，∴CD=2，AD=3，根据旋转的性质，AC=BC，∵，∴，∵，∴，∴，∴AD=CE=3，CD=BE=2，∴OE=2，BE=2，故答案为：．【点睛】本题主要考查旋转变换和三角形全等的判定与性质，证明是解题关键．15．8【分析】根据反比例函数系数k与几何面积的关系，列方程可以直接求出k的值．【详解】解：过点A、B分别作y轴垂线，垂足为D、E，答案第22页，共22页
则三角形APB的面积等于四边形ABED面积的一半，根据反比例函数系数k与几何面积的关系可列方程：，解得：，故答案为：8．【点睛】本题主要考查反比例函数系数k与几何面积的关系，熟悉反比例函数系数k代表的几何意义是解题关键．16．【分析】设交于点F，过C作，用求出，即求出BC的长，又因为，从而求得AB．【详解】如图，设交于点F，过C作，在以为直径的圆上，答案第22页，共22页
，在和中=，【点睛】本题考查了圆的直径所对的圆周角为，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质，勾股定理，本题能找到是解题的关键．17．，【分析】先通过约分、通分进行化简，再把给定的值代入计算即可．【详解】答案第22页，共22页
解：原式，当时，原式．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握因式分解，正确进行约分、通分．18．（1）40，，见解析；（2）【分析】（1）根据“良好”等级的频数和所占的百分比，可以求得本次抽取的人数，根据频数分布直方图中的数据，可以计算出扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数，然后再根据频数分布直方图中的数据，即可计算出成绩为合格的学生的频数，然后即可将频数分布直方图补充完整；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．【详解】解：（1）本次抽取的学生有：20÷50%=40（人），扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为360°×=36°，测试成绩为“合格”的学生有：40-4-20-4=12（人），补全的频数分布直方图如图所示：故答案为：40，36°；（2）画树状图如下：答案第22页，共22页
共有12种等可能的结果数，其中甲学生被选到的结果数有6种，∴．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．熟练掌握统计图的相关知识及计算方法并能利用树状图或列表法表示出所有等可能的结果是解题的关键．19．（1）平行四边形，见解析；（2）16【分析】（1）利用平行四边形的判定定理，两组对边分别平行是平行四边形即可证明；（2）根据，找到边与边的等量关系，再利用三角形相似，建立等式进行求解即可．【详解】（1）四边形为平行四边形．理由如下：∵四边形为平行四边形∴∵∴∵四边形为平行四边形∴答案第22页，共22页
∴∴∵∴四边形为平行四边形（2）设，∵∴，∵四边形为平行四边形∴，，∵，∴∴∵∴．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理、相似三角形的判定定理，解题的关键是：熟练掌握相关定理，能进行相关的证明．20．（1）；（2）【分析】（1）过点作于点,分别求出即可求出；（2）过点作于点，解即可求出．【详解】（1）依题意知：，，过点作于点，答案第22页，共22页
∵，∴∵，∴∵∴∴（2）∵，∴过点作于∵，∴∵∴，∵∴∴【点睛】本题考查解直角三角形应用，勾股定理的应用，掌握锐角三角函数的定义与勾股定理性质是解题关键．21．（1）；（2）种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．答案第22页，共22页
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）根据明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，预计明年每亩种粮成本y（元）与种粮面积x（亩）之间的函数关系为，进而得出W与x的函数关系式，再利用二次函数的最值公式求出即可．【详解】解：（1）设与之间的函数关系式，依题意得：，解得：，∴与之间的函数关系式为．（2）设老张明年种植该作物的总利润为元，依题意得：．∵，∴当时，随的增大而增大．由题意知：，∴当时，最大，最大值为268800元．即种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式并根据已知得出W与x的函数关系式是求最值问题的关键．22．（1）见解析；（2）【分析】（1）运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，题中已知，所以，切于点B，同时切于点，即可求证；答案第22页，共22页
（2）连接，可得，由（1）得，根据各个角之间的关系可得，所以，依据正切定义可得，再根据三角形相似判别及性质，对应边成比例，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵，∴，又∵经过半径的外端点，∴切于点，与边相切于点，∴．（2）解：连接，∵为的直径，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，答案第22页，共22页
即，∵，∴，，又∵，，∴，∴，设，则，∴，∴（舍去），．即线段的长为．【点睛】题目主要考察切线长定理、圆内三角形基本性质、三角函数、相似三角形的判别及性质等知识点，难点在于对定理得熟练掌握理解和对这些知识点的融会贯通．23．（1），函数的最小值为2；（2），函数的最小值为5；（3）每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；变式探究：将原式转换为，再根据材料中方法计算即可；拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可．【详解】猜想运用：∵，∴，∴，答案第22页，共22页
∴当时，，此时，只取，即时，函数的最小值为2．变式探究：∵，∴，，∴，∴当时，，此时，∴，（舍去），即时，函数的最小值为5.拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意得：，即，∵，，∴，即，整理得：，即，∴当时，此时，，即每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为．【点睛】答案第22页，共22页
本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．24．（1），，；（2）1；（3）①；②存在，【分析】（1）令x=0，令y=0分别代入，即可得到A，B的坐标，结合中点坐标公式，求出P的坐标，即可；（2）过点作于，易得，，又点，可得，，进而即可求解；（3）①把二次函数解析式化为顶点式，可得顶点的坐标为，从而得点是直线上一点，进而即可求解；②作点Q关于直线的对称点，连接E交直线于点C，则CQ=C，此时最大．求出(4，1)，E(5，5)，从而得E的解析式，进而即可求解．【详解】解：（1）令x=0代入，y=6，令y=0代入，x=4，∴，，∵点为线段的中点，∴；（2）过点作于，答案第22页，共22页
∵，∴，∴，∵点，∴，，∴，∵点，∴∴，即的长为1；（3）①，答案第22页，共22页
∴其顶点的坐标为，∴点是直线上一点，∵，，∴当时，又∵点在直线上∴当点在内部（不含边）时，的取值范围是；②作点Q关于直线的对称点，连接E交直线于点C，则CQ=C，此时==E，最大．∵，，P是Q的中点，∴(4，1)，∵QE⊥OQ，QE=OQ=5，∴E(5，5)，设E的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴E的解析式为：y=4x-15，联立，解得：，∴点C坐标为．答案第22页，共22页
答：存在点使最大，此时C的坐标为．【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数与平面几何的综合，掌握等腰直角三角形的性质，函数图像上点的坐标特征，利用轴对称性，作出线段差的最大值，是解题的关键．答案第22页，共22页
