2021年辽宁省锦州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣2的相反数是（ ）A．﹣B．C．﹣2D．22．据相关研究，经过40min完全黑暗后，人眼对光的敏感性达到最高点，比黑暗前增加25000倍，将数据25000用科学记数法表示为（ ）A．25×103B．2.5×104C．0.25×105D．0.25×1063．如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ）A．B．C．D．4．某班50名学生一周阅读课外书籍时间如下表所示：时间/h6789人数7181510那么该班50名学生一周阅读课外书籍时间的众数、中位数分别是（ ）A．18，16.5B．18，7.5C．7，8D．7，7.55．如图，AM∥BN，∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，则∠CBN的度数是（ ）A．35°B．45°C．55°D．65°6．二元一次方程组的解是（ ）A．B．C．D．,7．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（ ）A．2B．4C．3D．48．如图，在四边形DEFG中，∠E＝∠F＝90°，∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，Rt△ABC的直角顶点C与点G重合，另一个顶点B（在点C左侧）在射线FG上，且BC＝1，AC＝2．将△ABC沿GF方向平移，点C与点F重合时停止．设CG的长为x，△ABC在平移过程中与四边形DEFG重叠部分的面积为y，则下列图象能正确反映y与x函数关系的是（ ）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）9．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．10．甲、乙两名射击运动员参加预选赛，他们每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是s2甲＝1.2，s2乙＝2.4．如果从这两名运动员中选取成绩稳定的一人参赛，那么应选 （填“甲”或“乙”）．,11．一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了300次球，发现有120次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为 ．12．关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是 ．13．如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为 ．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为 ．15．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y＝（x＞0）的图象交BC于点D．若CD＝2BD，▱OABC的面积为15，则k的值为 ．16．如图，∠MON＝30°，点A1在射线OM上，过点A1作A1B1⊥OM交射线ON于点B1，将△A1OB1沿A1B1折叠得到△A1A2B1，点A2落在射线OM上；过点A2作,A2B2⊥OM交射线ON于点B2，将△A2OB2沿A2B2折叠得到△A2A3B2，点A2落在射线OM上；…按此作法进行下去，在∠MON内部作射线OH，分别与A1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn交于点P1，P2，P3，…Pn，又分别与A2B1，A3B2，A4B3，…，An+1Bn，交于点Q1，Q2，Q3，…，Qn．若点P1为线段A1B1的中点，OA1＝，则四边形AnPnQnAn+1的面积为 （用含有n的式子表示）．三、解答题（本大题共2道题，第17题6分，第18题8分，共14分）17．先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝﹣2．18教育部下发的《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》要求，初中生每天睡眠时间应达到9h．某初中为了解学生每天的睡眠时间，随机调查了部分学生，将学生睡眠时间分为A，B，C，D四组（每名学生必须选择且只能选择一种情况）：A组：睡眠时间＜8hB组：8h≤睡眠时间＜9hC组：9h≤睡眠时间＜10hD组：睡眠时间≥10h如图1和图2是根据调查结果绘制的不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）被调查的学生有 人；（2）通过计算补全条形统计图；（3）请估计全校1200名学生中睡眠时间不足9h的人数．,四、解答题（本大题共2道题，每题8分，共16分）19为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱．（1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为 ；（2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．20小江与小杰两名同学为学校图书馆清点一批图书，小江清点完600本图书比小杰清点完540本图书少用了5min．已知小江平均每分钟清点图书的数量是小杰的1.25倍，求两名同学平均每分钟清点图书各多少本．五、解答题（本大题共2道题，每题8分，共16分）21如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC∥MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1：3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）,22如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．六、解答题（本题共10分）23某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50+0.2x，销售价y（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．,七、解答题（本大题共2道题，每题12分，共24分）24在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝α，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转α得到DE，连接CE，BE．（1）如图1，当α＝60°时，求证：△CAD≌△CBE；（2）如图2，当tanα＝时，①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由；②若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE+EH是否存在最小值？若存在，请直接写出CE+EH的最小值；若不存在，请说明理由．25如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1分别与x轴、y轴交于点A，C，经过点C的抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6．（1）求抛物线的表达式．（2）M为抛物线上的动点．①N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；②如图2，点M在直线CD下方，直线OM（OM∥CD的情况除外）交直线CD于点B，作直线BD关于直线OM对称的直线BD′，当直线BD′与坐标轴平行时，直接写出点M的横坐标．,参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．﹣2的相反数是（ ）A．﹣B．C．﹣2D．2【分析】依据相反数的定义求解即可．【解答】解：﹣2的相反数是2．故选：D．2．据相关研究，经过40min完全黑暗后，人眼对光的敏感性达到最高点，比黑暗前增加25000倍，将数据25000用科学记数法表示为（ ）A．25×103B．2.5×104C．0.25×105D．0.25×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【解答】解：将数据25000用科学记数法表示为2.5×104，故选：B．3．如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ）A．B．C．D．【分析】根据左视图是从左边看所得到的图形，可直接得到答案．【解答】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故选：A．4．某班50名学生一周阅读课外书籍时间如下表所示：时间/h6789,人数7181510那么该班50名学生一周阅读课外书籍时间的众数、中位数分别是（ ）A．18，16.5B．18，7.5C．7，8D．7，7.5【分析】根据众数、中位数的定义，结合表格数据进行判断即可．【解答】解：由统计表给出的数据可知阅读课外书籍的时间为7小时的有18人，出现的次数最多，所以众数是7，因为有50个学生，所以第25、26个数的和的平均数是中位数，又因为25、26个数分别是7，8，所以中位数是7.5．故选：D．5．如图，AM∥BN，∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，则∠CBN的度数是（ ）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】过C点作CF∥AM，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：过C点作CF∥AM，∵AM∥BN，∴AM∥CF∥BN，∴∠MAC＝∠ACF，∠CBN＝∠FCB，∵∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，∴∠CBN＝∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝∠ACB﹣∠MAC＝90°﹣35°＝55°，故选：C．6．二元一次方程组的解是（ ）A．B．C．D．【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．,【解答】解：，把②代入①得：4y+y＝10，解得：y＝2，把y＝2代入②得：x＝4，则方程组的解集为．故选：C．7．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（ ）A．2B．4C．3D．4【分析】连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，因为CE＝2DE，构造△DGE∽△COE，求出DG＝3，设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，则AG＝6﹣3x，BG＝6+3x，再利用△AGD∽△ADB，列出方程即可解决．【解答】解：连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，∵∠BDC＝45°，∴∠CAO＝∠CDB＝45°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵BC＝6，,∴AB＝BC＝12，∵OA＝OB，∴CO⊥AB，∴∠COA＝∠DGE＝90°，∵∠DEG＝∠CEO，∴△DGE∽△COE，∴＝，∵CE＝2DE，设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，∴AG＝6﹣3x，BG＝6+3x，∵∠ADB＝∠AGB＝90°，∠DAG＝∠BAD，∴△AGD∽△ADB，∴DG2＝AG•BG，∴9＝（6﹣3x）（6+3x），∵x＞0，∴x＝，∴OE＝2，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝，故选：D．8．如图，在四边形DEFG中，∠E＝∠F＝90°，∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，Rt△ABC的直角顶点C与点G重合，另一个顶点B（在点C左侧）在射线FG上，且BC＝1，AC＝2．将△ABC沿GF方向平移，点C与点F重合时停止．设CG的长为x，△ABC在平移过程中与四边形DEFG重叠部分的面积为y，则下列图象能正确反映y与x函数关系的是（ ）,A．B．C．D．【分析】根据移动过程分三个阶段讨论，第一个是点B到达点G之前，即0＜x＜1时，求出y和x的关系式，确定图象，第二个是点C到达点H之前，即1＜x＜2时，求出y和x的关系式，确定图象，第三个是点C到达点F之前，即2＜x＜3时，求出y和x的关系式，确定图象，即可确定选项．【解答】解：过点D作DH⊥EF，∵∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，∴EH＝2，DH＝EF＝2，当0＜x＜1时，重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为x，∴y＝，∵，∴该部分图象开口向上，当1＜x＜2时，如图，,设A'B'与DG交与点N，A'C'与DG交与点M，则S重叠＝S△GMC'﹣S△GNB'，设B'K＝a，则NK＝2a，∵GC'＝x，B'C'＝1，∴GB'＝x﹣1，∵△GKN是等腰直角三角形，∴GK＝NK，∴x﹣1+a＝2a，∴a＝x﹣1，∴NK＝2x﹣2，∴，∵，∴S重叠＝﹣（x2﹣2x+1）＝，∵，∴该部分图象开口向下，当2＜x＜3时，重叠部分的面积为S△ABC，是固定值，∴该部分图象是平行x轴的线段，故选：B．二．填空题（共8小题）9．若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥ ．【分析】根据被开方数是非负数列不等式求解即可．【解答】解：根据题意得，2x﹣3≥0，解得x≥．故答案为：x≥．10．甲、乙两名射击运动员参加预选赛，他们每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是s2甲＝1.2，s2乙＝2.4．如果从这两名运动员中选取成绩稳定的一人参赛，那么应选 甲 （填“甲”或“乙”）．,【分析】根据方差的意义求解即可．【解答】解：∵s2甲＝1.2，s2乙＝2.4，∴s2甲＜s2乙，则甲的成绩比较稳定，故答案为：甲．11．一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了300次球，发现有120次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为 8 ．【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为0.4，然后根据概率公式计算这个口袋中红球的数量．【解答】解：因为共摸了300次球，发现有120次摸到红球，所以估计摸到红球的概率为0.4，所以估计这个口袋中红球的数量为20×0.4＝8（个）．故答案为8．12．关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是 k≥﹣1 ．【分析】利用判别式的意义得到Δ＝22﹣4×（﹣k）≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4×（﹣k）≥0，解得k≥﹣1．故答案为k≥﹣1．13．如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为 2+2 ．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC,，根据三角形的外角性质得到∠ADC＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出DC，进而求出AB．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠DCB＝∠B＝45°，∴∠ADC＝∠DCB+∠B＝90°，∵∠A＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝2，由勾股定理得：DC＝＝＝2，∴DB＝DC＝2，∴AB＝AD+DB＝2+2，故答案为：2+2．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为 ．【分析】根据作图过程可得BF是∠EBC的平分线，然后证明△EBG≌△CBG，再利用勾股定理即可求出CG的长．【解答】解：如图，连接EG，根据作图过程可知：BF是∠EBC的平分线，∴∠EBG＝∠CBG，,在△EBG和△CBG中，，∴△EBG≌△CBG（SAS），∴GE＝GC，在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝BC＝10，∴AE＝＝8，∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，在Rt△DGE中，DE＝2，DG＝DC﹣CG＝6﹣CG，EG＝CG，∴EG2﹣DE2＝DG2∴CG2﹣22＝（6﹣CG）2，解得CG＝．故答案为：．15．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y＝（x＞0）的图象交BC于点D．若CD＝2BD，▱OABC的面积为15，则k的值为 18 ．【分析】过点D作DN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，设OC＝a，CN＝2b，MN＝b，根据▱OABC的面积为15表示出BM的长度，根据CD＝2BD求出ND的长，进而表示出A，D两点的坐标，根据反比例函数系数k的几何意义即可求出．【解答】解：过点D作DN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，,设OC＝a，CN＝2b，MN＝b，∵▱OABC的面积为15，∴BM＝，∴ND＝BM＝，∴A，D点坐标分别为（，3b），（，a+2b），∴•3b＝（a+2b），∴b＝a，∴k＝•3b＝•3×a＝18，故答案为：18．16．如图，∠MON＝30°，点A1在射线OM上，过点A1作A1B1⊥OM交射线ON于点B1，将△A1OB1沿A1B1折叠得到△A1A2B1，点A2落在射线OM上；过点A2作A2B2⊥OM交射线ON于点B2，将△A2OB2沿A2B2折叠得到△A2A3B2，点A2落在射线OM上；…按此作法进行下去，在∠MON内部作射线OH，分别与A1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn交于点P1，P2，P3，…Pn，又分别与A2B1，A3B2，A4B3，…，An+1Bn，交于点Q1，Q2，Q3，…，Qn．若点P1为线段A1B1的中点，OA1＝，则四边形AnPnQnAn+1的面积为 （用含有n,的式子表示）．【分析】先证明△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2，又点P1为线段A1B1的中点，从而可得P2为线段A2B2的中点，同理可证P3、P4、⋯Pn依次为线段A3B3、A4B4、⋯AnBn的中点．结合相似三角形的性质可得△P1B1Q1的P1B1上的高与△P2A2O1的A2P2上的高之比为1：2，所以△P1B1Q1的P1B1上的高为，同理可得△P2B2Q2的P2B2上的高为⋯，从而＝﹣，以此类推来求，从而找到的面积规律．【解答】解：由折叠可知，OA1＝A1A2＝，又A1B1∥A2B2，∴△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2，∴＝＝＝，又点P1为线段A1B1的中点，∴A1P1＝P1B1，∴A2P2＝P2B2，则点P2为线段A2B2的中点，同理可证，P3、P4、⋯Pn依次为线段A3B3、A4B4、⋯AnBn的中点．∵A1B1∥A2B2，∴△P1B1Q1∽△P2A2O1，∴＝＝，则△P1B1Q1的P1B1上的高与△P2A2O1的A2P2上的高之比为1：2，,∴△P1B1Q1的P1B1上的高为，同理可得△P2B2Q2的P2B2上的高为⋯，由折叠可知A2A3＝，A3A4＝，∵∠MON＝30°，∴A1B1＝tan30°×OA1＝1，∴A2B2＝2，A3B3＝4，⋯∴＝﹣＝﹣＝，同理，＝﹣＝﹣＝，⋯，＝﹣＝＝＝＝．故答案为：．三．解答题17．先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝﹣2．【分析】,先把括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，把各分子和分母因式分解，然后进行约分化简，最后代入求值．【解答】解：原式＝×＝×＝x（x+2）．把x＝﹣2代入，原式＝（﹣2）（﹣2+2）＝3﹣2．18教育部下发的《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》要求，初中生每天睡眠时间应达到9h．某初中为了解学生每天的睡眠时间，随机调查了部分学生，将学生睡眠时间分为A，B，C，D四组（每名学生必须选择且只能选择一种情况）：A组：睡眠时间＜8hB组：8h≤睡眠时间＜9hC组：9h≤睡眠时间＜10hD组：睡眠时间≥10h如图1和图2是根据调查结果绘制的不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）被调查的学生有 人；（2）通过计算补全条形统计图；（3）请估计全校1200名学生中睡眠时间不足9h的人数．【考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有【专题】数据的收集与整理；数据分析观念；应用意识．【答案】（1）200；（2）见解答过程；（3）480．【分析】（1）根据C,组的人数和所占的百分比，可以计算出本次共调查了多少名学生；（2）根据（1）中的结果可以计算出B组的人数，然后即可补全条形统计图；（3）根据统计图图中的数据，可以计算出该校学生平均每天睡眠时间不足9h的人数．【解答】解：（1）本次共调查了90÷45%＝200（人），故答案为：200；（2）B组学生有：200﹣20﹣90﹣30＝60（人），补全的条形统计图如图2所示：（3）1200×＝480（人），即估计该校学生平均每天睡眠时间不足9h的有480人．19为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱．（1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为 ；（2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．【考点】概率公式；列表法与树状图法．菁优网版权所有【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】（1）；（2）．,【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为C的概率为，故答案为：；（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果数，其中两个半径恰好选择一首歌曲的有3种结果，所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为＝．20小江与小杰两名同学为学校图书馆清点一批图书，小江清点完600本图书比小杰清点完540本图书少用了5min．已知小江平均每分钟清点图书的数量是小杰的1.25倍，求两名同学平均每分钟清点图书各多少本．【考点】分式方程的应用．菁优网版权所有【专题】分式方程及应用；应用意识．【答案】小杰平均每分钟清点图书12本，小江平均每分钟清点图书15本．【分析】设小杰平均每分钟清点图书x本，则小江平均每分钟清点图书1.25x本，利用时间＝清点图书的总数÷平均每分钟清点图书的数量，结合小江清点完600本图书比小杰清点完540本图书少用了5min，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出小杰平均每分钟清点图书数量，再将其代入1.25x中可求出小江平均每分钟清点图书数量．【解答】解：设小杰平均每分钟清点图书x本，则小江平均每分钟清点图书1.25x本，依题意得：﹣＝5，解得：x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，,∴1.25x＝1.25×12＝15．答：小杰平均每分钟清点图书12本，小江平均每分钟清点图书15本．21如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC∥MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1：3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【答案】约为5.7m．【分析】先求出BC＝4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解．【解答】解：∵山坡BM的坡度i＝1：3，∴i＝1：3＝tanM，∵BC∥MN，∴∠CBD＝∠M，∴tan∠CBD＝＝tanM＝1：3，∴BC＝3CD＝4.8（m），在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan50°≈1.19，∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），即树AB的高度约为5.7m．22如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．,（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定与性质．菁优网版权所有【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）证明见解答；（2）⊙O的半径是4.5．【分析】（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD内接于⊙O，得∠CDE＝∠OBC，再根据等量代换和直角三角形的性质可得∠OCE＝90°，由切线的判定可得结论；（2）如图2，过点O作OG⊥AE于G，连接OC，OD，则∠OGE＝90°，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC是矩形，设⊙O的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠OBC，∵CE⊥AD，∴∠E＝∠CDE+∠ECD＝90°，∵∠ECD＝∠BCF，,∴∠OCB+∠BCF＝90°，∴∠OCE＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线；（2）解：如图2，过点O作OG⊥AE于G，连接OC，OD，则∠OGE＝90°，∵∠E＝∠OCE＝90°，∴四边形OGEC是矩形，∴OC＝EG，OG＝EC，设⊙O的半径为x，Rt△CDE中，CD＝3，DE＝1，∴EC＝＝2，∴OG＝2，GD＝x﹣1，OD＝x，由勾股定理得：OD2＝OG2+DG2，∴x2＝（2）2+（x﹣1）2，解得：x＝4.5，∴⊙O的半径是4.5．23某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50+0.2x，销售价y（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．,【考点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的应用．菁优网版权所有【专题】销售问题；数形结合；一次函数及其应用；二次函数的应用；应用意识．【答案】（1）y＝﹣x+20；（2）P＝﹣x2+16x；（3）原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元．【分析】（1）利用待定系数法求函数关系式；（2）根据销售收入＝销售价×销售量列出函数关系式；（3）设销售总利润为W，根据销售利润＝销售收入﹣原料成本﹣加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（20，15），（30，12.5）代入，可得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+20；（2）设销售收入为P（万元），∴P＝（1﹣20%）xy＝（﹣x+20）x＝﹣x2+16x，∴P与x之间的函数关系式为P＝﹣x2+16x；（3）设销售总利润为W，∴W＝P﹣6.2x﹣m＝﹣x2+16x﹣6.2x﹣（50+0.2x），整理，可得：W＝﹣x2+x﹣50，,W＝﹣（x﹣24）2+65.2，∵﹣＜0，∴当x＝24时，W有最大值为65.2，∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元．24在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝α，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转α得到DE，连接CE，BE．（1）如图1，当α＝60°时，求证：△CAD≌△CBE；（2）如图2，当tanα＝时，①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由；②若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE+EH是否存在最小值？若存在，请直接写出CE+EH的最小值；若不存在，请说明理由．【考点】三角形综合题．菁优网版权所有【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）证明见解析部分．（2）①．②．【分析】（1）首先证明△ACB，△CDE都是等边三角形，再根据SAS证明三角形全等即可．（2）①结论：＝．利用相似三角形的性质解决问题即可．②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，ER，过点R作RT⊥BC于T．利用相似三角形的性质求出CJ＝，推出点E的运动轨迹是射线BE，利用面积法求出RT，可得结论．,【解答】（1）证明：如图1中，∵α＝60°，AC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴CA＝CB，∠ACB＝60°，∵将DC绕点D顺时针旋转α得到DE，∴DC＝DE，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△CAD≌△CBE（SAS）．（2）解：①结论：＝．如图2中，过点C作CK⊥AB于K．∵tan∠CAK＝＝，∴可以假设CK＝3k，AK＝4k，则AC﹣AB＝5k，BK＝AB﹣AK＝k，∴BC＝＝k，∵∠A＝∠CDE，AC＝AB，CD＝DE，∴∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC，∴△ACB∽△DCE，∴＝，∴＝，∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，,∴△ACD∽△BCE，∴＝＝＝．②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，ER，过点R作RT⊥BC于T．∵AC＝5，由①可知，AH＝4，CH＝3，BC＝，∵△CAD∽△BCE，CK⊥AD，CJ⊥BE，∴＝＝（全等三角形对应边上的高的比等于相似比），∴CJ＝，∴点E的运动轨迹是射线BE，∵C，R关于BE对称，∴CR＝2CJ＝，∵BJ＝＝＝，∵S△CBR＝•CR•BJ＝•CB•RT，∴RT＝＝，∵EC+EH＝ER+EH≥RT，∴EC+EH≥，∴EC+EH的最小值为．25如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1分别与x轴、y轴交于点A，C,，经过点C的抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6．（1）求抛物线的表达式．（2）M为抛物线上的动点．①N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；②如图2，点M在直线CD下方，直线OM（OM∥CD的情况除外）交直线CD于点B，作直线BD关于直线OM对称的直线BD′，当直线BD′与坐标轴平行时，直接写出点M的横坐标．【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有【专题】数形结合；分类讨论；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；模型思想．【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝；（2）①点M的坐标为（，）或（，）；②点M的横坐标为3或或．【分析】（1）先由直线解析式求出A，C，D的坐标，再由C，D坐标求出抛物线解析式；（2）①因为直线BD′与坐标轴平行，所以BD′∥x轴和BD′∥y轴分类讨论，以BD′∥x轴为例，画出草图，由于BM平分∠DBD′，又∠AOB＝∠D′BM，等量代换，可以证得△AOB是等腰三角形，求出AB的长度，并且有A和D点坐标，求出∠DAO的三角函数值，过B作BH⊥x轴于H，在直角△ABH中，利用AB的长度，和∠BAH的三角函数值，求出AH和BH的长度，得到B点坐标，进一步得到直线OB的解析式，联立直线OB和抛物线解析式，求得交点M点坐标，当BD′∥y轴，用同样的方法解决．,【解答】解：（1）令x＝0，则y＝x+1＝1，∴C点坐标为（0，1），令y＝0，则，①∴，∴A点坐标为（，0），令x＝6，则y＝，∴D点坐标为（），将C，D两点坐标代入到抛物线解析式中得，，解得，∴抛物线的表达式为：y＝；（2）①设N（n，0），∵四边形CDMN为平行四边形，∴由平移与坐标关系可得M（n+6，），∵点M在抛物线上，∴，∴n2+9n﹣4＝0，∴，∴点M的坐标为（，）或（，）；②第一种情况：如图1，当BD′∥x轴时，分别过A，D作x轴的垂线，垂足分别为H，Q，在直角△ADQ中，AQ＝6+＝，DQ＝，,∴tan∠DAQ＝＝，∴cos∠DAQ＝，∵∠BAH＝∠DAQ，∴cos∠BAH＝，∵直线BD与直线BD′关于直线OM对称，∴∠DBM＝∠D′BM，∵BD′∥x轴，∴∠HOB＝∠D′BM＝∠DBM，∴AB＝AO＝，∴，∴AH＝，∴OH＝AH+AO＝令x＝﹣，则y＝＝，∴B点坐标为（﹣，﹣），设直线OB的解析式为y＝kx，代入点B得，k＝，∴直线OB的解析式为y＝x，联立，解得，，∴点M的横坐标为3或，第二种情况，如图2，当BD′∥y轴时，设BD′交x轴于H，,∴∠COB＝∠OBH，∵直线BD与直线BD′关于直线OM对称，∴∠CBO＝∠OBH＝∠COB，∴CB＝CO＝1，过C作CE⊥BH于E，∴CE∥x轴，∴∠BCE＝∠CAO，∵tan∠CAO＝＝，∴cos∠CAO＝，∴cos∠BCE＝＝，∴CE＝＝，∴＝，∵CE⊥BH，BH⊥x轴，∴∠CEH＝∠BHO＝∠COH＝90°，∴四边形CEHO为矩形，∴EH＝CO＝1，CE＝OH＝，∴BH＝BE+EH＝，∴点B的坐标为（），∴直线OB的解析式为y＝2x，联立，化简得，x211x+4＝0，∴，∵点M在直线CD下方，∴x＜6，,∴x＝，∴点M的横坐标为，即点M的横坐标为3或或．
